2022年山西省晋城市统招专升本数学自考真题(含答案)

2022年山西省晋城市统招专升本数学自考

真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

.设y=cosa、则严=（）

A.—coszB.COSHC.—sirLrD.sirtr

2.

已知43,C,I均为2）阶方阵，其中/为单位矩阵，若力BC=/,则下列各式

中总成立的是()

hBCA=IB.ACB=IC.BAC=ID.CBA=I

3.

设曲线y=—/（、r）在［a,瓦］上连续，则由曲线v=—/（/）,直线x==b及1轴

围成的图形的面积A=()

A.if(.x)dxB.—f/(jr)dxC.[|/(x)|diD.Iff(.x)dxI

JavavaIJa

4.

若y(.r)=尸',则j/"(ln.r)dz=()

A.--+CB.—+CC.ln.r+CD.-ln.r+C'

x.r

5.

在空间直角坐标系中,若向量a与Or轴和轴正向的夹角分别为45°和60°,则向量

a与Oy轴正向的夹角为（）

A.30°B.60°

C.45°D.60°或120°

6.

设函数/(x)的定义域为[0,1],则函数/(Inx)的定义域为)

A.(―8,+8)B.[1,e]c.Loa]D.(O.e]

7.

.设/'(1)在口.21上可积.且/(1)=1"(2)=1.j/Q、)cLr=-1,则]工/'(i)di=

()

A.-1B.OC.1D.2

8.

=cosZ,

曲线1在/=子处的法线方程为()

\y=sin2/

A.m=gB.y=1

C.？=e+1D.3=z—1

9.

若C为单位圆周|之|=1•则下列积分中，值不为零的是()

Afd-Rfd之

,Jccosz，Jr之2+2之+2

「fe'dznf虫

Jez2+5^+6Jcz

10.

•直线上7=弓」■尹与平面21+»=0的位置关系是()

一1LO

A.直线在平面内B.平行

C.垂直D.相交但不垂直

11.

已知函数在闭区间[一：%；%]上连续，则定积分C■/■“sinzdz=()

：-•：••!：｝■•(..…第:领f“.•：

A,-1.—...,,•B.0-----""W'F—1梵!：!,:D.不确定

12.

(y=sinf•-

曲线广(/为参数)在？=■对应点处切线的方程为()

kr=2cos/4

A.汇=1B.y=1C.y=▲、+1D.y=i-1

13.

当z-0时，无穷小量e2，一l是无穷小量sin3①的()

A.低阶无穷小B.高阶无穷小

C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小

14.

—sin-#40,

设f(x)=«*3要使/(才)在(一8,+oo)上连续.则a=()

ax=0,

A.0B.1C.-i-D.3

o

15.

由方程中一siny=1所确定的隐函数y=/(x)的导数包=()

dx

Xx

A.-----------B.---------c.——D.

cosy-ycosj^-xx-cosycosx-J

枝"hm()

i尸+12

C.1

A.UH.一7

16.4

17.

函数J(T)=er—e—的一个原函数是)

A.F(Jt)=er-eB.F(^)=er+e-

r

C.PE)=6r-e-D.F(a)=—e—e

18.

.设/(了)=1.且f(0)=1,则=()

A.x+CB.-5-x2+x+C

C.>+z+CD.yj-2+C

19.

微分方程y'=y-l满足初始条件y\xm0=2的特解是()

A.y=1+CexB.歹=1+6”C.y=2exD.y=l+e-“

20.

则/述2dx=(

设函数/(x)=er,)

JX

A.------FCB.-Inx+CC.—卜CD.Inx+C

Xx

21.

DO[℃>100/CO3

下列级数£丁^~£一，z—，中，共有()个级数发散.

金皿〃+1)喜〃M〃n=i4

A.1B.2C.3D.4

22.

1

y(x)=与二，则x=o是/(*)的()

e7+l

A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点

23.

下列函数中为偶函数的是()

A.y=M+logs(1一、r)B.y=jrsiru、

C.y=ln(y1+.r+.r)D.y

24.

设/(%)的一个原函数为sin2M则，(①)dr

A.cos2xB.sin2jrC.CQS2N+CD.sin2/+C

25.

微分方程计+如=0的通解是

yx

2

A.x+y=25B.3J-+4y=C

C.x2+y2=CD.VT=7

26.

若函数f(z+1)=/,则/(j)=()

AdB.(x+1)2

C.(x-I)2D.x2-1

27.

已知函数N=exln,r.则dy=

A.—d.«-B.卜，ln.r+巳产TC.e'ln-rd.z、D.fjdx

28.

由曲线V=cos2z(z>0)轴，y轴所围成的平面图形面积为)

7t

A.

1

B.

7T

C.

2

I

D.

29.

卜列哪个式子是不正确的

A.limc-'=0B.lime'"=1

n・+8n

1D.lim(1+=e

n-0

30.

如果级数£，，”收敛.则它的和是()

A.«]+〃？++u,B.lim〃“

(一

，t

C.D.以上都不是

二、填空题(20题)

xf(jr2)ff(*)djr=

31.

32.

已知L是抛物线>=H2上点0(0.0)与B(l,l)之间的一段弧，则[rds

(sin2K、八

------■H>0•

已知函数/(/)=v1在i=0点连续,则a=

+a■1<0

33.

参数方程<*-5c°s'，所确定曲线在，=口.处的切线方程为

34Iy=3sin/4

35.

设积分区域D为十44），*则d,rdv=

登3"+5”“

Z---------工的收敛区间为_

36.”1n

37微分方程—4“+4）=0的通解了（才）=

sin^.r

JT金0,

设函数/(l)=«,是常数）为连续函数,则“=

a♦.r=0

38.

lim/—sin?/一〃sin—\=

I7177)

39.

若3=cos孕+isin”,则1+TC,2+w,=

40.

设f(jc)=JC(JC+1)(1+2),,,(x+M)，则/“(0)=

41.

42由曲线）=e-y=e及y轴围成的图形的面积是

43匕V(-〃----+-1-)-(〃---+--2-)-

ear—atN<0♦

函数/(x)=是连续函数,则a=

.«COS2JT+I>0

44.

y2

(:r'—T+1)sinjd.r=

45.'

设函数)•='arctanx,贝!|丁”=

46.

基级数的收敛域是.

47."Tn3

48设/(k,_y)=ln(.rz+y2)co&ry?,则f,(1,0)=

49.

设f(t)dt=jc2+Injr—1,则f(x)=

Ji

设函数/(ln.r)-2i+1.则/coin()

三、计算题（15题）

求极限如（短一答卜

51.

、口(X:1)2(II2)3e，

设y=—,--------2ky-

52,，工+3(.rH-4)

53.

求微分方程e'cosydr-沙2⑦=0满足初始条件y心。=0时的特解.

54.

/sin—+sin2z,i¥0,

设函数/(i)=1i用导数定义计算/(0).

0,1=0,

已知n=八yzTy",e>),/可微.求学字.

55.3x办

56.

设函数/(x)=/一j：/(z)dz,求世工)在区间[0.2]上的最大值与最小值.

设y=cos[f(12)],其中/'具有二阶导数.求也.

57.

设/(X)的一个原函数为一，求

58.

59.

求函数U=玄//在点p(lJJ)处的梯度和沿该梯度方向的方向导数.

将f(j)=-展开为(.r-2)的幕级数.

60.工

求由曲线y=%2与y=x+2所围成的平面图形的面积.

61.

62设函数y=.y〈i)由方程y=(ini)"♦.4确定，求

•rsinxdz

求极限limS—5-------,

°—°x'(er-1)

63.

64.

X=t,

求函数在点2)处沿曲线Jy=2/,在点M处的切线方

，工2+一+♦

z-2?

向的方向导数.

65.

已知函数，=.r(.y)由方程arctan上=In，d+所确定,求乎•.

xdy

四、证明题(10题)

66.

设函数下H)=/(］)/(&)(1>o),其中“工)在区间［”.+8)上连续，/”(外在

x-a

(a,+8)内存在且大于零,求证：FQ)在(a,+8)内单调递增.

67.

证明：/x/(sin.r)d.r=/(sin.r)cLr,并十卜算—ls^nz—d.r.

Jo4JoJo1+cosjr

证明函数f(x)=InQ-+46+1)为奇函数.

68.

69.

涯如⑴在M上连家腼好：。』］上的任船网诵微信/⑴血

0</(《w1,证明:在［0,1］上至少有一点&使得/(f)=&

70.

证明不等式：当a>b>e时，2<也'<：(«々2.71828).

aIn。b

71.

已知方程.r11—x7—x3+.r=0有一正根r=1.证明方程1124°—7才，—3T2+1=0

必有一个小于1的正根.

72.

设/(x)在［0,c］上可导J(H)单调递减且/(0)=0,用拉格朗日中值定理证明：对任

意a.b,04aW64a+6=C,恒有/(«+/>)</(a>

-dzdz

已知二元函数z=xex,证明：X—+y—=X

73.小川

74.

已知明・。2.%是Ar=b的解,证明:。=3ai—a2—2%为齐次线性方程组Ar=0的解.

75.

已知方程4①+3工・3—V=0有一负根w=-2,证明方程4+9］2—5w*=0必有一个

大于一2的负根.

五、应用题(10题)

76.

已知曲线y=a行(a>0)与曲线y=InC在点Q'o，%)处有公切线，试求:

(1)常数a和切点(4,外);

(2)两曲线与1轴围成的平面图形的面积S.

77.

设函数/U)=(.r+2『/(.r),其中/(“在［-2,5］具有二阶导致出/(5)=0,

证明:存在Je(-2,5),使尸"⑶=0.

78.

已知D是抛物线L：y=2x和直线z=,所围成的平面区域.试求：

(1)区域Q的面积；

(2)区域。绕OH轴旋转所形成空间旋转体的体积.

79.

曲线》=£3(］＞0),直线々+),=2以及.V轴围成一平面图形D,试求平面图形D绕

y轴旋转一周所得旋转体的体积.

80.

现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形.折做成

无盖纸箱.问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱的容积最大？

81.

由曲线》=(1一1)(X-2)和二轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所

成的旋转体的体积.

82.

设平面图形D由曲线y=-和直线.y=n=2及］轴围成.求:

（1）平面图形D的面积；

（2）这图形绕I轴旋转一周所得旋转体的体积.

83.

钦做一个容积为Vn?的无盖圆柱形储盘桶，底用铝制，蟾用械制，已知每平方米

铝价是械价的5倍洞怎样做才能使费用最少.

84.

求由抛物线y=F与直线y=x所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周

所形成的旋转体的体积.

85.

将长为〃的铁线成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁吆长各是多

少时，正方形与圆形的面积之和最小？

六、综合题（2题）

已知函数/（X）=3x—1—fi,

Jo1+r

（1）求/（x）在［0,1］上的最大值；

（2）证明：方程f（j-）=0在区间（0,1）内有唯一实数根.

86.

设函数/(x)=ax3+for2+cz-9具有如下件质：

(1)在点x=-1的左侧临近单调减少；

(2)在点1r=-1的右侧临近单调增加；

(3)其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变,

试确定常数的值.

参考答案

1A因为(cos.r)3=cos/z+等)，

则(cos.r)‘z。⑻=cos(才+)=cos(.r+10094)=-cos.r,故应选A.

2.A

A解析：考查逆矩阵及矩阵乘积.因为48C=/,故*=BC,因此3c4=/成立.

3c【精析】由定积分的几何意义知C正确.

【精析】/"(#)=-c-J,/"(In.r)=-----»

.r

*r1

/(lnj)d.r------------dz=—Irur4-C.故应选D.

4.D,'

5.D

设所求的夹角为夕.则有cos30+cosz45°4-cos260°=I,得cos。=±J.8=60°

或120°,应选D.

6.B

［答案1B

【精析】/(.r)的定义域为［0,1］,对于来说应满足0&ln.r=1,即14zWe,

故应选B.

7.D

［答案］D

【精析】.r/'(.r)cLr=［jd/(a)=J/(j)|—f/(.r)cLr

=2/(2)—/(1)—j/(j-)d.r=2—1—(—1)=2.

故应选D.

8.A

［答案］A

【精析】半2cos2fdv

=0♦

dx—sin?da”=i

切线斜率A=0,故法线方程为k=cos?=§.故应选A.

T/

9.D

1答案」D

【精析】I）项中.函数/（2）=C在单位圆周内有奇点Z=。，而其他二项中的函数在单

位圆周内均解析.故由柯西积分定理知.选项1）中的积分值不为零.

10.B

［答案1B

【精析】直线的方向向量为s=<-1,2,3}.平面的法向量”={2,1,0},由于

s♦”=0,直线上的点（0,1,-2）不在平面上，故直线与平面平行,应选B.

11.B

由于被积函数/si；为奇函数I,「Sbsinjrdj：=0.

12.B

［答案］B

d.v

*n

当

O叱

【精析】由于半=d7石-V

2-

一

dr

I>

SI

切线方程为了=1.JLJ.

【精析】lim111=lim件=日，

10sin"LO3、r3

所以与是同阶非等价无穷小.故应选

13De?'-1sin3TD.

14.C

【精析】limLinf=lim1f=1f(O)=a.根据连续的定义可知a=J.

LO3J-O1333

15.B

B

【评注】本题考查由方程所确定的隐函数的导数.方程两边同时对x求导可得

dydy„dyy

y+X'---cosj/--=0,—=------x.

dxdxdrcos7

16.B

17.B

【精析】J/(jJdk=](e"—ef)d_r=|e'dj：-+Je-'d(—h)=e"++C,结合选项

可知B正确.

18.B

[答案1B

【精析】由/'(幻=1,/'(0)=1可知/(H)=.r+1，所以j/(x)d,r=J(T+1)d.r=

}>+?+(：.应选B.

B

【评注】y'=yy'-y-,

y=e^~ldxJ-l-e^~ltkcb:+C=ex(e-x+C)-Cex+1,

v)

将4Ko=2代入y得C=l,y=l+e”.

19.B1

C

【评注】f£S^dx='(lnx)+C=4+C.

20.C'%x

21.B

B

«1001003

【评注】由p级数的敛散性知最发散；由比较判别法知g记扁发散；袋收

敛；由莱布尼茨判别法知

22.B

23.B

［答案］B

【精析】因为/(-x>=(-x)sin(-r)==JQ、).所以y=jsinj,是偶函数.

24D【精析】由原函数及不定积分的定义知，应选D.

25.C

【精析】由也十业=。,得也=一业，分离变量得一共壮=川”

yXyx

两边积分.得)./+G=另即/+V=C为原微分方程的通解，故应选C.

26.C

【精析】令，=1+1,则z=f—1,/(,r+1)=f(t)=(f—1产.则/(z)=(.x—1)2.

应选C.

27.B

rp

dy=d(eJlnjr)=eJdlar+lnxdex=(丁+e'lni)dw,故选B.

28.D

【精析】平面图形的面积$=「cos2/d.r=皿薯*=】.故应选口.

JoZoZ

29.C

—9-1)=物41=全故应选。

30.C

［答案1C

【精析】级数收敛则其和为〃-8时部分和数列《5」的极限，即limS“=lim»*•故

LL:―।

应选C.

31.

4

【精析】py(a-2)=y|/(.r2)f"(J'')d(.r2)

=yj/(-r2)d[/(.r2)]

=4•产(/)+c

4

32.

^(5V5-1)

【精析】由题意得，

fxds=[-rI(2工4dz=[x，1+da,djr=-j^(l+4x3)7I=心(51).

[答案12

【精析】rh函数在口=0处连续，可知)=/(O),

j--U.，T

即Iini(2.r-u)=limS'n*"^=2Iini=a.即a=2.

33,2……”…

34.

y=——x+3V2

35.

4K

[答案]4n

【精析】由二重积分的几何意义知\±rdy即为积分区域的面积,

所以JJclrdy=以=4兀.

D

36.

，，ELni'3"+5"w+1n(3/5)"+11

【评注】收敛半径R=hm---------rr=Inn---lun^--^――=-

n3+5…3(3/5)”+55

।⑶"1⑶"

181+-・181+-

当x=-上时，级数Z（TT,*收敛，当x=±时，级数Z发散,

5gn5*in

所以收敛区间为卜

37.

2r2r

(；e+C2.re

【精析】微分方程对应的特征方程为r2-4r+4=0,得r=2为二重特征根.故通解

2j2l

为为才）Cie+C2xe,Ci,C2为任意常数.

38.

b

［答案］b

【精析】函数在0时为初等函数，在其定义区间是连续的，故若函数为连续函数,

只需使其在广=0处也连续即可,即要满足=八。），所以a=lim业也

ri.sin4r,

hhrn-......=IK

”--bx

39.

-1

【精析】考察重要极限lim打竺=1的应用.

一0JC

1

sin一

1.1

lim—sin〃-zzsin——=lim—sin??—lim/zsin-=0-lim—L=-i

“f8n“f871；J-*007l“f8_L

n

40.0

［答案］o

【精析】1+w2+w4=1+cos率+isin苧+cos粤十isin=1--y+

OMOM乙

争=0­

41.

〃！

匚答案1〃！

【精析】=lim,(')---=lim(.r+1)(.r+2)…()+”)=〃!.

j-*uJCz-*0

42.

1

根据定积分的应用•知所求面积为A=f'(e-eJ)d.r=(e.r-e")=1.

Jo0

43.1

［答案11

【精析】£(；+i，+2)=£(备-德-1T+H+…

本=一圭七洋尸1,故级数的和为1.

44.

X

2

，［答案］1

【精析】lim/(x)=lim(e—«)=1—limfix)=lim(«cos2x+JT)=a•由/(x)的

.r-U,r•“.r»n".，-u'

连续性•知1—4=a♦即a=-y.

45.

1—ySinZ

乙

［答案］1-Jsin2

【精析】|/Il)sin2.rd.r=|sinJ.rcLr

=21sin2.rclr=f(1—cos2.r)(lr

Jt>J0

=(x—《sin2H、=1—4~由12.

46.

2

(1+x2)2

解：J，'=arctan'+)，"=1、+"二=?、、

^1+.V-1+X-(1+X-)(1+广)2

47.

[-33)

[-33)

]

【评注】哥级数的系数a,满足回信=!如色半二=；,所以收敛半径

方

当x=3,级数变为调和级数岸，所以发散；当x=-3,级

8f-IV1

数变为交错级数令与=一，因为%>〃“M，且lim%=O,根据交错级数

wne

审敛法(莱布尼茨定理)，级数£匕且收敛；所以级数之二的收敛域为[-3,3).

“=4〃"3

48.2

/(x»0)=瓜产，/：(1,0)=(In/)，=1•2]=—=2.

49.

2JC+—

x

m裁加油二d+buT两酬』求导可得J⑺=(¥+huT)，二

1

2H-.

1

50.

2ex

【精析】因为.f'(hu)=2.r|1=2e国门，所以『(工)=2eJIl,/(z)=2e\…,

/⑺⑴=2d,所以/<2019)(z)=2e二

51.

lim匚披丝”

【精析】原式=

x*sin.7'

x-ysin2j：

lim-----------

LQJC

1-cos2x

lim

x-0

1(2x)2

2

52.

【精析】两边同取自然对数，得

1nly=21n(工+1)十31n(z+2)--1-ln(x+3)—In(工+4),

乙

两边分别对1求导，得

J_，=2,311

7-工+1十4+220+3)一彳+4'

，=工+2-「2上3_]_1：

J工十3(z+4)..*+11+22(x+3)*+4.

53.

解：微分方程可化为电=卫；即xe'dx=tanK^，

dxtany

两端积分可得（x-l^+C^-lnlcosyl，将vLo=O代入，得-1+G=O,即

G=1.故所求特解为ln|cosM=er-xe，-l.

54.

2

sin—+sin2Al

=j/(0+Aa-)-/(0)Ai

【精析】/(0)imlim

Ar-0Al

zA.2।sin2Ai\

lim(Aisin—H----------)=0+1ml吗

Ar-oA.rAIALOAVT

orsin2Ar

=Llim------=L.0

2Az

55.

【精析】设〃=+>，D=€，则N=f(U.V),

■■■1•，~♦e3•

a工du{E+ydvy

=:---/+-e>/v*

dzdzVc?N工/JT

—=—•—尸—j—・e*•।-石

dya”(w+dv\y

56.

【精析】设y(x)djr=k,

Jc

对/(»的等式两边同时取从0到2的定积分，得「/(力d*=(1<Lr—「Ad八

JGJ0J0

于是k=[/(x)<Lc=掾-2K

JQa

由上式解得k=1■，故/Gr>=/-J，

令f(x)=2x=0得驻点x=Ot

当了e(0.2)时•恒有"n>o•表明/(X)在区间(0,2)内严格单调增加.

所以/<0>=-卷是函数JXG在[0,2]的最小值.

/(2)=是函数/(x)在[0,2]的最大值.

57.

【精析】据题意=-sint/(x2)]•/\jr2)•2x=-2ar/，(x2)$inr/(x2)]»

dk

=[-2/"(x2)—4//(12)]5由1/(/)]—4>[八]2)1cos]/(工I)].

58.

【精析】原式=令厂一，:

1t1f]

=*/(，)--y/a)dt

L0ZJo

12

-T1/<1)-Tex01

=T/<1)-Te+T,

又/(.r)=(e/)'=2ie/，/(l)=2e,

所以--1-e+y.

59.

【精析】易见函数〃在整个R3中可微，因为grad”=（/£,24炉，2个葭）,

所以grad”=（1.2.2）,

函数在点（1,1,1）处沿梯度方向的方向导数为该点处梯度的模：

grad”=JI?+2?+2?=3.

60.

【精析】…

=：*(-1)"(三3”

4n-04

「(jr—2Y

=<o,4).

w-04

61.

2,2(Y2、232°

解：S=j］(x+2)dx-J］，dx=—+2x----=—.

62.

【精析】y=•jr,nz+(1皿/•(x'orY

=•2”+(显>•(ef

,,ln<Lr)Dtr

=e"rin(lnj-)4-J?•r^-•—I-x'+(lnj)•e^'•2lru-•—

iikrxJx

=(In工厂•-ln(lnr)+土］•工联+2(1皿尸】•工31

63.

£sinrd«r-2c

o1-N"sin.L•Lx

原式=lim1_

~7^----=hm-----j----,

/—*0XL。oJy

64.

【精析】曲线在M<1,2,一2)点处对应t=1,故切线的方向向量为I(1,4/,

—8/2)|=(1.4,—8)，其单位向量

!(1,4,—8)=

由

2

票|=—^3>(x2+y+z2)-^

OJC|(1.2,-2)11.2.-2)行'

=[(X2+:/十/)一'—y2(x2十十之21I5

=27f

dyI(i,2,-2)I1U2.-2)

=4

-zy(x2+y+z*)-7

(1.2.-2)27

Ju1,4du8du14

于是\—♦-----—•—

813,2.<l.2>2>9dy(i.2,2)93z<1,2・2)243,

65.

【精析】方程arctan}=InVx2H-v2两边对y求导，得

]

].2m+21y

y/x2-+v22/N+9

X

即=-g—■—f,x-y=