(9月修订版)2015年全国各地中考数学分类解析总汇-考点42-综合性问题(一)

综合性问题

一.选择题

1.（2015•东营，第10题3分）如图，在RSABC中，ZABC=90°.AB=AC.点D是线段AB

上的一点，连结CD.过点B作BG_LCD,分别交CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于

AB的直线相交于点G,连结DF,给出以下四个结论：①姆鲤：②若点D是AB的中点,

ABFC

则AF=YZB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若典则SAABC=9SABDF，

3AD2

其中正确的结论序号是（）

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

考点：相似形综合题.

分析：由△AFG-ABFC,可确定结论①正确；由AAFG学AFD可得AG==AB=1BC,进而

由AAFGJABFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论②正确；当B、C、F、D四点在

同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到N2=NACB由于NABC=90\AB=AC,得至ljNACB=

NCAB=45°,于是得到ZCFD=NAFD=90。，根据垂径定理得到DF=DB,故③正确；因为F

为AC的三等分点，所以SAABF=&AABC，又SABDF=&AABF，所以SAABC=6SABDF，由此确

32

定结论④错误.

解答：解：依题意可得BCIIAG,

.,.△AFG-ABFC,

.AGAF

"BC^CF,

又AB=BC,；.AG=AF.

AB-CF

故结论①正确；

如右图，•.Nl+N3=90°,Zl+Z4=90°,

.'.Z3=Z4.

在AABG与ABCD中，

'/3=/4

<AB=BC，

,ZBAG=ZCBD=90°

.•.△ABG当BCD(ASA),

；.AG=BD,又BD=AD,

.,.AG=AD；

'AG=AD

在AAFG与AAFD中，，NFAD=NFAG=90°，

AF=AF

.,.△AFG孚AFD(SAS)

,"ABC为等腰直角三角形，.•.AC=J^AB；

,.,△AFG当AFD,.".AG=AD=.1AB=1BC；

22

...△AFG-ABFC,...姆鲤，，FC=2AF,

_BCFC

.-.AF=1AC=0^AB.

33

故结论②正确；

当B、C、F、D四点在同一个圆上时，

.-.Z2=ZACB

•.ZABC=90°,AB=AC,

.".ZACB=ZCAB=45O,

.".Z2=45",

.".ZCFD=ZAFD=90",

.〔CD是B、C、F、D四点所在圆的直径,

•.BG±CD,

■-DF=BD'

.-.DF=DB,故③正确;

,.'AF=AAC..,.SAABF=^S->-,-SABDF=-^SAABF>

△ABC；

33AD23

二SABDF=&AABC，即SAABC=9SABDF.

9

故结论④正确.

故选D.

点评：本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度.对

每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑

关联关系，需要善加利用.

2.（2015•乌鲁木齐，第10题4分）如图，在直角坐标系xOy中，点A,B分别在x轴和y

轴，些心.NAOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C,与AB交于点D,反比例函

0B4

数y=X的图象过点C.当以CD为边的正方形的面积为圆寸，k的值是（）

x7

A.2B.3C.5D.7

考点：反比例函数综合题.

分析：设OA=3a,则OB=4a,利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析

式是产x,OA的中垂线的解析式是x='a，解方程组即可求得C和D的坐标，根据

2

以CD为边的正方形的面积为Z即CD2=Z据此即可列方程求得a2的值，则k即可

77

求解.

解答：解:设OA=3a,则OB=4a,

设直线AB的解析式是y=kx+b,

则根据题意得：（3ak+b=0,

lb=4a

解得：・仁一百，

,b=4a

则直线AB的解析式是y=-&+4a,

3

直线CD是NAOB的平分线，则0D的解析式是y=x.

y=x

根据题意得：4，

产一~zx+4a

则D的坐标是（丝干—a）-

7a7a

OA的中垂线的解析式是x=&a，则C的坐标是（^a，-a）-则k=9a2・

22a24

•；以CD为边的正方形的面积为Z

7

则a2=22,

9

，k二岂17.

49

故选D.

点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，正确求得C和D的坐标是解决本题的关键.

二.填空题

3

1.（2015年浙江衢州16,4分）如图，已知直线＞=一2工+3分别交x轴、y轴于点A、

4

1、

B,尸是抛物线丁=一5/+2犬+5上的一个动点，其横坐标为。，过点P且平行于y轴

3

的直线交直线y=--x+3于点Q,则当PQ=BQ时，a的值是一▲.

【考点】二次函数与一次函数综合问题；单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系；勾股

定理；分类思想和方程思想的应用.

【分析】根据题意，设点P的坐标为（凡一;/+2〃+5],则+

3

在y=—11+3令x=0得y=3.，3（0,3）.

-2矿+11〃+8=5同.

由一2。2+11〃+8=5a解得a=4或4=-1.

由一2/+114+8=-5〃解得〃=4+2小或〃=4一26.

综上所述，〃的值是4或-1或4+2后或4-2后

2.（2015•鄂州，第13题3分）下列命题中正确的个数有2个.

①如果单项式3a”/c与2a、b3cz是同类项，那么x=4,y=3,z=l；

②在反比例函数丫=卫中，y随x的增大而减小；

x

③要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用普查方式；

④从-3,-2,2,3四个数中任意取两个数分别作为k,b的值，则直线y=kx+b经过第一、

二、三象限的概率是1.

6

考点：命题与定理.

分析：①根据同类项的定义列方程求解即可；②依据反比例函数的性质解答即可；③具

有破坏性的调查不适合普查；④首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能

的结果与一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的情况，再利用概率公式即可求得

答案

解答：解：①由同类项的定义可知：x=4,y=3,z=l,故①正确；

②k=3>0函数图象在"每个分支上”y随x的增大而减小，故②错误；

③具有破坏性的调查不适合普查，故③错误；

④画树状图得：

共12中情况，当k>0,b>0时，一次函数丫=1«+1>的图象经过第一、二、三象限，故符合

条件的有2个.

・••一次函数丫=1«+15的图象经过第一、二、三象限的概率是：2」.

126

故填：2.

点评：本题考查了同类项的定义、反比例函数的性质、概率的计算以及调查方式的选择，

需要同学熟练掌握相关知识.

3、（2015年浙江舟,15,4分）如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交

错点）上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+2%-l（a是多边

2

形内的格点数，匕是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理现有一张方

格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S=40.

（1）这个格点多边形边界上的格点数6=▲（用含〃的代数式表示）；

（2）设该格点多边形外的格点数为c,则c—。=▲

【答案】（1）82-2a；（2）118.

【考点】网格问题；数形结合思想的应用.

【分析】⑴由“+4-1=40得6=82-2a.

2

（2）•.•方格纸共有共0个格点，；.a+b+c=200.

将6=82-2。代入，得a+82-2a+c=200=>c-a=118.

4.（2015•济南，第21题3分）如图，在菱形ABCQ中，AB=6,ZDAB=60°,AE分别交BC、

BD于点E、F,CE=2,连接CF,以下结论：①aAB/也△C8F；②点E到AB的距离是2、行；

@tanADCF=^l2；©AABF的面积为北如.其中一定成立的是①②③（把所有

75

正确结论的序号都填在横线上）.

考点：四边形综合题.

分析：利用SAS证明与△CBF全等，得出①正确，根据含30。角的直角三角形的性

质得出点E到AB的距离是2我，得出②正确，同时得出；△4BF的面积为也遂得出

5

④错误，得出得出③正确.

7

解答：解：二•菱形48C7）,

：.AB=BC=6,

丁ZDAB=60°f

：.AB=AD=DBfNABD=/DBC=60。,

在△ABF与△C3F中，

A（SAS）,

・••①正确；

过点E作EG_LA8,过点F作M”_LCO,MHLAB,如图：

VCE=2,BC=6,ZABC=120°,

；・BE=6-2=4,

EGLAB,

：.EG=2yl3,

.•.点E到AB的距离是2愿，

故②正确；

'：BE=4,EC=2,

:・S^BFE：Szk1w=4：2=2：1，

S2ABF：SZ\FBE=3：2，

•♦•△AM的面枳为=/SAABE1*x6X2盗手，

故④错误；

•「'SaAM《X6X3«=如，

•___厂_］为巨2哂

•*SADFC=SAADB-SAABF=尔3~---

：S^DFCmX6XFM=^^'

；.FM=^^

5_

_W3

：./)M=MF=5Q,

V3<35

Z.CM=DC-DM=6-8卫，

5-5

W3

.*/…MF~5~373

..tanZDCF=—=--

CM217

T

故③正确:

故答案为：①②③点评：此题考查了四边形综合题，关键是根据菱形的性质、等边三角形

的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析.此题难度较大，注意掌握辅助线的作法,

注意数形结合思想的应用.

三.解答题

1.(2015•湖北，第25题10分)如图，AB是。0的直径，点C为。O上一点，AE和过点C

的切线互相垂直，垂足为E,AE交。0于点D,直线EC交AB的延长线于点P,连接AC,

BC,PB：PC=1：2.

(1)求证：AC平分NBAD：

（2）探究线段PB,AB之间的数量关系，并说明理由;

（3）若AD=3,求AABC的面积.

考点：圆的综合题.

分析：（1）首先连接OC,由PE是。0的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得

OCIIAE,又由OA=OC,易证得NDAC=NOAC,即可得AC平分NBAD；

（2）由AB是的直径，PE是切线，可证得NPCB=NPAC,即可证得APCB-APAC,然

后由相似三角形的对应边成比例与PB：PC=1：2,即可求得答案；

（3）首先过点0作OH_LAD于点H,ROAH=1AD=四边形OCEH是矩形，即可得

22

AE=a+OC,由OCIIAE,可得APCOsAPEA,然后由相似三角形的对应边成比例，求得OC

2

的长，再由aPBCsAPCA,证得AC=2BC,然后在RtaABC中，AC2+BC2=AB2,可得（2BC）

2+BC2=52,即可求得BC的长，继而求得答案.

解答：（1）证明：连接OC,

,「PE是。O的切线，

.'.OC±PE,

；AE_LPE,

.,.OCIIAE,

.,.ZDAC=ZOCA,

•••OA=OC,

.1.ZOCA=ZOAC,

.-.ZDAC=ZOAC,

.l.AC平分/BAD；

(2)线段PB,AB之间的数量关系为：AB=3PB.

理由：,JAB是00的直径，

.-.ZACB=90°,

.­.ZBAC+ZABC=90°,

•-0B=0C,

/.ZOCB=ZABC,

•••ZPCB+ZOCB=90°,

；.NPCB=NPAC,

,•2P是公共角，

.,.△PCBsAPAC,

.PCPB

'PA^PC'

.-.PC2=PB»PA,

1/PB：PC=1：2,

.-.PC=2PB,

.-.PA=4PB,

.1.AB=3PB；

(3)解：过点0作0H_LAD于点H,则AH=2AD=心，四边形OCEH是矩形,

22

.-.OC=HE,

.".AE=—+0C,

2

•/OCIIAE,

...△PCOsAPEA,

.OCPO

"AE=PA'

•1•AB=3PB,AB=2OB,

2

3

,QC_PB+OBLPB

"3+OC-PB+ABPB+3PB'

.•.oc=2

2

；.AB=5,

,..△PBCSAPCA,

.PB_BC_1；

'"PC^AC^2'

.-.AC=2BC,

在RtAABC中，AC2+BC2=AB2,

(2BC)2+BC2=52,

；.AC=2遥，

-'-SAABC=-^AC»BC=5.

2

点评：此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及相似三角形

的判定与性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.

2.（2015•海南，第23题13分）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，ZBCD=60°,射

线AP交BC的延长线于点E,射线BP交DE于点K,点O是线段BK的中点.

(1)求证：AADP^AECP；

(2)若BP=n・PK,试求出n的值；

(3)作BM_LAE于点M,作KN_LAE于点N,连结MO、NO,如图2所示，请证明AMON

是等腰三角形，并直接写出NMON的度数.

考点：四边形综合题.

分析：(I)根据菱形的性质得到ADIIBC,根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等

三角形的判定定理证明结论：

(2)作PIIICE交DE于I,根据点P是CD的中点证明CE=2PI,BE=4PI,根据相似三角形

的性质证明结论；

(3)作OG_LAE于G,根据平行线等分线段定理得到MG=NG,又OG_LMN,证明AMON

是等腰三角形，根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出NMON的度数.

解答：(1)证明：•.・四边形ABCD为菱形,

.".ADIIBC,

.".ZDAP=ZCEP,ZADP=ZECP,

在ZiADP和AECP中，

'/DAP=NCEP

<ZADP=ZECP>

DP=CP

「.△ADP%ECP；

(2)如图1,作PIIICE交DE于I,

则驾JE,又点P是CD的中点，

CEDC

.PI=X

"CE

/△ADP^^ECP,

•.AD=CE,

.».KP~_PI.~_~^1―,

KBBE4

，BP=3PK,

；.n=3；

(3)如图2,作OG_LAE于G,

；BM-LAE于，KN_LAE,

••.BMHOGIIKN,

,・,点O是线段BK的中点,

.-.MG=NG,又OGJ_MN,

.•,OM=ON,

即AMON是等腰三角形，

由题意得，ABPC,AAMB,AABP为直角三角形,

设BC=2,则CP=1,由勾股定理得，BP=V3>

则AP=V?'

根据三角形面积公式，BM=^②，

7

由(2)得，PB=3PO,

.,.OG」BM=^②，

321

MG=.|MP=.1^,

tanZMOG=J^V3，

OG

.-.ZMOG=60",

.NMON的度数为120°.

图2

点评：本题考查的是菱形的性质和相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质,

灵活运用判定定理和性质定理是解题的关键，注意锐角三角函数在解题中的运用.

3.(2015•海南，第24题14分)如图，二次函数丫=a*2+5*+3的图象与x轴相交于点A(-3,

0)、B(1,0),与y轴相交于点C,点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H

(3,0),AD平行GC交y轴于点D.

(1)求该二次函数的表达式；

(2)求证：四边形ACHD是正方形；

(3)如图2,点M(t,p)是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M

的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N.

①若四边形ADCM的面积为S,请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围：

考点：二次函数综合题.

分析：(1)根据二次函数y=ax?+bx+3的图象与x轴相交于点A(-3,0)、B(1,0),应

用待定系数法，求出a、b的值，即可求出二次函数的表达式.

(2)首先分别求出点C、G、H、D的坐标；然后判断出AO=CO=DO=HO=3,AH±CD,

判断出四边形ACHD是正方形即可.

(3)①作ME_Lx轴于点E,作MF_Ly轴于点F,根据四边形ADCM的面积为S,可得S=S

四边形AOCM+SAAOD，再分别求出S四边舷AOCM、SAAOD即可一

②首先设点N的坐标是(t).pi),则NI=|ti|,所以SACMN=SACOM+SACON=‘(|t|+|ti|),再

2

根据tVO,ti>0,可得SACMN=2(t-t)=—>据此求出t「t=1；然后求

22142

出ki、k2的值是多少，进而求出ti、t2的值是多少，再把它们代入S关于t的函数表达式，

求出S的值是多少即可.

解答：解：(1)・.・二次函数产ax?+bx+3的图象与x轴相交于点A(-3,0)、B(l,0),

,pa-3b+3=0

(a+b+3=0

解得二-1

b=-2

.•.二次函数的表达式为y=-x2-2x4-3.

.••点C的坐标为(0,3),

,.*y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

二点G的坐标是(-1,4),

•・,点C的坐标为(0,3),

.•.设CG所在的直线的解析式是y=mx+3,

则-m+3=4,

.*.m=-1,

nG所在的直线的解析式是y=-x+3,

「•点H的坐标是(3,0),

设点D的坐标是(0,p),

则£2=-1，

0~(-3)0-3

..p=-3,

,/AO=CO=DO=HO=3,AH±CD,

四边形ACHD是正方形.

（3）①如图2,作MEJ_x轴于点E,作MFJ_y轴于点F,

图2

,四边形ADCM的面积为S,

­"S=S四边彩AOCM+SAAOD，

•,AO=OD=3,

--SAAOD=3X3-T2=4.5>

;点M(t,p)是y=kx与y=-x?-2x+3在第二象限内的交点，

・••点M的坐标是(t,-t2-2t+3),

/ME=-t2-2t+3,MF=-t,

--S四边形AOCM=-^X3X(-t2-2t+3)JX3X(-t)=-至——，

2"222

.•.s=-冬-义+国+4.5=-国2-8+9,-3<t<0.

22222

②如图3,作NI_Lx轴于点I,

设点N的坐标是(ti，pi),

则NI=|t,|,

3

•*-SACMN=SACOM+SACON^(|)，

2

*/t<0,ti>0,

-

-0-SACMN=—(川+由|)=—(tt)

2214

.•%2

y=kx

联立»

y=-x-2x+3

可得x?-(k+2)x-3=0,

,』、t是方程的两个根，

't[+t=k+2

.•4

t「=-3

2

(ft)J(%+t)2-4tit=(k+2)2-4x(-3)=(I)=普

k2=-f

a、k=-及时，

2

由x2+(2--?)x-3=0,

2

解得xi=-2,或XcW(舍去)•

x22

b、k=-与、h

2

由x2+(2-殳x-3=0,

2

解得X3=-a，或X4=2(舍去)，

2

；.t=-2,或t=一2

2

t=-2时，

S=-冬一g+9

22

=-虽4-&(-2)+9

22

=12

t=-&寸，

2

s=--A(一卫)+9

2422

-_-9--9->

8

・•.S的值是12或暨.

8

点评：(1)此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想

的应用，考查了数形结合方法的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的

信息解答相应的问题的能力.

(2)此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，以及方程的根与系数的关系，要熟练

掌握.

(3)此题还考查了三角形的面积的求法，以及正方形的判定和性质的应用，要熟练掌握.

3.(2015•宜昌，第20题8分)如图，在RtZSABC中，/ACB=90。，AC=6,BC=8,点D

为边CB上的一个动点(点D不与点B重合)，过D作DOLAB,垂足为O,点B，在边AB

上，且与点B关于直线DO对称，连接DB，，AD.

(1)求证：/XDOBS^ACB；

(2)若AD平分/CAB,求线段BD的长；

(3)当AABD为等腰三角形时，求线段BD的长.

考点：相似形综合题.

分析：(1)由NDOB=/ACB=90。，ZB=ZB,容易证明△DOBS^ACB；

(2)先由勾股定理求出AB,由角平分线的性质得出DC=DO,再由HL证明

RtAACD^RtAAOD,得出AC=AO,设BD=x,则DC=DO=8-x,由勾股定理得出

方程，解方程即可；

(3)根据题意得出当△ABD为等腰三角形时，AB,=DB,,由△DOBS/IACB,得出

空要=g,设BD=5X,贝IJAB，=DB，=5X,BO=B，O=4X,由AB，+B，O+BO=AB,得出

BD-AB5

方程，解方程求出x,即可得出BD.

解答：(1)证明：VDO1AB,

,ZDOB=ZDOA=90°,

/.ZDOB=ZACB=90°,

又

/.△DOB^AACB；

(2)解：VZACB=90°,

•**AB=VAC2+BC2=V62+82=10，

：AD平分NCAB,DCJ-AC,DO±AB,

/.DC=DO,

在RtAACD和RtAAOD中,

[AD=AD,

1DC=DO'

/.RtAACD^RtAAOD(HL),

**.AC=AO=6,

设BD=x,贝ijDC=DO=8-x,OB=AB-AO=4,

在Rtz^BOD中，根据勾股定理得：DC)2+OB2=BD2,

即(8-x)2+42=X2,

解得：x=5,

；.BD的长为5；

(3)解：：点B，与点B关于直线DO对称，

.•.ZB=ZOBZD,80=8-0,BD=B,D,

VZB为锐角,

...N0BD也为锐角，

二ZAB'D为钝角，

.•.当^ABD为等腰三角形时，AB，=DB-

,/△DOB^AACB,

•.0B_BC=_8^4

''BD^ABIOs'

设BD=5x,

贝ijAB，=DB，=5x,BO=B,O=4x,

•.•AB，+B，O+BO=AB,

；.5x+4x+4x=10,

解得：X=1P,

13

.\BD=M

13

点评：本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的

判定与性质、角平分线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(2)(3)

中，需要根据题意列出方程，解方程才能得出结果.

4.(2015•宜昌，第21题8分)如图，已知点A(4,0),B(0,473)＞把一个直角三角尺

DEF放在aOAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动.其中

ZEFD=30°,ED=2,点G为边FD的中点.

(1)求直线AB的解析式；

(2)如图1,当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=X(kxO)的解析式；

x

(3)在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F?如果能，

求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由.

考点：反比例函数综合题.

分析：(1)设直线AB的解析式为产kx+b,把点A、B的坐标代入，组成方程组，解方程

组求出k、b的值即可；

(2)由RtaDEF中，求出EF、DF,在求出点D坐标，得出点F、G坐标，把点G

坐标代入反比例函数求出k即可；

(3)设F(t,-盯+4我)，得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解析式

为丫=巴用待定系数法求出t、m,即可得出反比例函数解析式.

解答：解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,

VA(4,0),B(0,45/3).

.f4k+b=0

'1b=4V31

解得：尸-咻

[b=4V3

...直线AB的解析式为：y=-丘+4日；

(2)•.,在RtZ\DEF中，NEFD=30°,ED=2,

，EF=2仃，DF=4,

:点D与点A重合，

AD(4,0),

•*.F(2,273)1

AG(3,V3),

•反比例函数y=■喽过点G,

X

.，.k=3百，

・♦•反比例函数的解析式为：丫=电后；

x

(3)经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：

•点F在直线AB上，

•,♦设F(t,-，

又：ED=2,

*,«D(t+2,-2V5),

•点G为边FD的中点.

•,«G(t+1,-V5t+3"\/^),

若过点G的反比例函数的图象也经过点F,

设解析式为y="

x

’一行+W^^

则1,

整理得：(-仃+3«)(t+1)=(-5/耳+4丁&t,

解得：t=2

2

4

工经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F,这个反比例函数解析式为：

yk

点评：本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函

数的解析式、坐标与图形特征、解直角三角形、解方程组等知识；本题难度较大，综

合性强，用待定系数法确定一次函数和反比例函数的解析式是解决问题的关键.

5.(2015•宜昌，第24题12分)如图1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角坐标系中两

点，其中m为常数，且m>0,E(0,n)为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形

ABCD,使AB=2BC,画射线OA,把^ADC绕点C逆时针旋转90。得△ADC,连接ED，,

抛物线y=ax?+bx+n(awO)过E,A'两点.

(1)填空：ZAOB=45°,用m表示点A，的坐标：N(m,-m)：

(2)当抛物线的顶点为A―抛物线与线段AB交于点P,且空=工时，△»()£与^ABC是

AP3

否相似？说明理由；

(3)若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M,过M作MNJ_y轴，垂

足为N：

①求a,b,m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10,请你探究a

的取值范围.

考点：二次函数综合题.

专题：综合题.

分析：(1)由B与C的坐标求出OB与OC的长，根据OC-OB表示出BC的长，由题意

AB=2BC,表示出AB,得至IJAB=OB,即三角形AOB为等腰直角三角形，即可求出

所求角的度数；由旋转的性质得：OD，=D，A，=m,即可确定出A，坐标；

(2)AD-OE^AABC,理由如下：根据题意表示出A与B的坐标，由空=工，表示

AP3

出P坐标，由抛物线的顶点为A，，表示出抛物线解析式，把点E坐标代入整理得到m

与n的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；

(3)①当E与原点重合时，把A与E坐标代入y=ax2+bx+c,整理即可得到a,b,

m的关系式；

②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时

的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C(3m,0),此时MN的最大值为10,

求出此时a的值；若抛物线过点A(2m,2m),求出此时a的值，即可确定出抛物线

与四边形ABCD有公共点时a的范围.

解答：解：(1)VB(2m,0),C(3m,0),

/•OB=2m,OC=3m,即BC=m,

VAB=2BC,

/.AB=2m=0B,

VZABO=90°,

...△ABO为等腰直角三角形，

ZAOB=45°,

由旋转的性质得：OD'=D'A'=m,即A'(m,-m)；

故答案为：45；m,-m；

(2)AD-OE^AABC,理由如下：

由已知得：A(2m,2m),B(2m,0),

•♦•BP—_—1，

AP3

•*.P(2m,in),

2

为抛物线的顶点，

，设抛物线解析式为y=a(x-m)2-m,

•••抛物线过点E(0,n),

•'•n=a(0-m)2-m>即m=2n,

/.OE：OD，=BC：AB=1：2,

VZEOD,=ZABC=90°,

.'.△D^E^AABC；

(3)①当点E与点O重合时，E(0,0),

抛物线y=ax2+bx+c过点E,A,

.fn=0

♦,(2，

am+bnri-n=-m

整理得：am+b=-1,BPb=-1-am；

②•.•抛物线与四边形ABCD有公共点，

二抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，

若抛物线过点C(3m,0),此时MN的最大值为10,

Aa(3m)2-(1+am)WmR,

整理得：am=L即抛物线解析式为产工2_1，

22ir2

由A(2m,2m),可得直线OA解析式为y=x,

'y=x

联立抛物线与直线OA解析式得：12_3，

产京X

解得：x=5m,y=5m,即M(5m,5m),

令5m=10,即m=2,

当m=2时，a=l；

4

若抛物线过点A(2m,2m),则a(2m)2-(1+am)・2m=2m,

解得：am=2,

Vm=2,

；・a=l，

则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为LaSl.

4

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定

与性质，直线与抛物线的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性

质是解本题的关键.

6.（2015•湘潭，第25题10分）如图，已知AB是。。的直径，过点A作。O的切线MA,

P为直线MA上一动点，以点P为圆心，PA为半径作。P,交。O于点C,连接PC、OP、

BC.

（1）知识探究（如图1）：

①判断直线PC与。O的位置关系，请证明你的结论；

②判断直线OP与BC的位置关系，请证明你的结论.

（2）知识运用（如图2）：

当PA>OA时，直线PC交AB的延长线于点D,若BD=2AB,求tan/ABC的值.

考点：圆的综合题.

分析：（I）①PC与。O相切.易证明△PAO之△PCO,贝IJ/PAONPCO,由PA是。。的

切线，可知NPAO=NPCO=90。，即可证明结论；

②OP〃BC.由（1）可知NPOA=/POC,根据圆周角定理可知NB=NPOA,根据同

位角相等可证明OP〃BC.

（2）根据OP〃BC,可知四口,由BD=2AB,可知AD=6OA,OD=5OB,所以PD=5PC,

0D-PD

设设PA=PC=R,OA=i•，根据勾股定理歹方程求出R与r的数量关系，即可在RtAPAO

中求出tanZABC=tanZPOA.

解答：（1）①PC与。O相切.

证明：如图1,连接OC,

在△PAO和△PCO中，

，0A=0C

'PO=PO>

,PA=PC

/.△PAO^APCO,

.•.ZPAO=ZPCO,

；PA是。。的切线，AB是。。的直径，

.•.ZPAO=ZPCO=90°,

...PC与。0相切.

②OP〃BC.

证明：VAPAO^APCO,

/.ZPOA=ZPOC,

ZB=ZPOA,

，OP〃BC.

(2)解：如图2,

VBD=2AB,

/.BD=40B,AD=60A,

•••-BDz:-，4

OD5

VOP/7BC,

BD_CD_4

•・而询3'

，PD=5PC,

设PA=PC=R,OA=r,

；.AD=6r,PD=5R,

".'PA2+AD2=PD2,

•*.R2+(6r)2=(5R)2

解得：R=&,

2

点评：本题主要考查了圆的有关性质、切线的性质与判定、平行线分线段成比例定理、勾股

定理以及锐角三角函数的综合应用，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅

助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.

7.(2015•湘潭，第26题10分)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A(-1,0)、

B(3,0)两点，交y轴于点C,连接BC,动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运

动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ,当点Q

到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1,当aBPO为直角三角形时，求t的值；

(3)如图2,当t<2时，延长QP交y轴于点M,在抛物线上是否存在一点N,使得PQ的

中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)根据二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(-1,0)、B(3,0)两点，应用待定

系数法，求出二次函数的解析式即可.

(2)首先根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点Q

的坐标各是多少；然后分两种情况：①当NQPB=90。时；②当/PQB=90。时；根据

等腰直角三角形的性质，求出t的值各是多少即可.

(3)首先延长MQ交抛物线于点N,H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所

在的直线的解析式，然后PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点

N即可.

解答：解：(1)•••二次函数y=x?+bx+c的图象经过A(-1,0)、B(3,0)两点，

.fl-b+c=0

[9+3b+c=0

解得卜-2.

...二次函数的解析式是：y=x2-2x-3.

(2)".'y=x2-2x-3,

点C的坐标是(0,-3),

ABC=7(3-0)2+[0-<-3)]

设BC所在的直线的解析式是：尸mx+n,

则付吁

[n=-3

解得下.

[n=-3

.♦.BC所在的直线的解析式是：y=x-3,

\•经过t秒，AP=t,BQ=&t,

•••点P的坐标是(t-1,0),

设点Q的坐标是(x,y),

VOB=OC=3,

.,.ZOBC=ZOCB=45°,

则y=&txsin450=&tx乎=3

.*.BP=^/2tXcos45°=^2

.'-x=3-t,

点Q的坐标是（3-t,t）.

当/QPB=90°时，

点P和点Q的横坐标相同，

,点P的坐标是（t-1,0）,点Q的坐标是（3-t,t）,

.'•t-1=3-t,

解得t=2,

即当t=2时，△BPQ为直角三角形.

当NPQB=90°时，

*/ZPBQ=45%

，BP=V^BQ,_

：BP=3-(t-1)=4-t,BQ=V21-

->.4-t=V2xV2t

即4-t=2t,

解得t=l

3

即当t=S寸，Z\BPQ为直角三角形.

3

综上，可得

当aBPQ为直角三角形，t=2或2.

3

(3)如图3,延长MQ交抛物线于点N,H是PQ的中点,

设PQ所在的直线的解析式是y=cx+d,

丁点P的坐标是(t-1,0),点Q的坐标是(3-3t),

.(c(t-1)+d二。

[c(3-t)+d=t

C=4-2t

解得，2.

t-t

+t-t2

•'.PQ所在的直线的解析式是尸一

4-2t4-2t

+-t2

••.点M的坐标是(0,------)

4-2t

..t-1+3-tt+0t

,-----------=1»----z:-»

222

，PQ的中点H的坐标是(1,上)

2

假设PQ的中点恰为MN的中点，

22

工X2-t7=3t-t

Vlx2-0=2,

24-2t4-2t

，点N的坐标是（2,卫二L）,

4-2t

又•••点N在抛物线上,

9一t4-2x2-3=-3,

4-2t

解得t而_3或t=_V57+3（舍去）,

22

...当t<2时，延长QP交y轴于点M,在抛物线上不存在一点N,使得PQ的中点恰

为MN的中点.

点评：（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想

的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用

获取的信息解答相应的问题的能力.

（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练

掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等.②等腰三角形的两个

底角相等.③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握.

8.（2015•永州,第26题10分）已知抛物线尸ax?+bx+c的顶点为（