2020-2021学年衢州市五校联盟高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年衢州市五校联盟高二上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共10小题，共40.0分)

1.设全集为R，集合4={K€Z|-l<x<3},集合B={1,2},则集合力CCRB=().

A.{0,3}B.(-1,1)U(2,3]

C.(0,1)U(1,2)U(2,3]D.{-1,0}

%:嗤需畏鼠就唾察唾工

IK等卜静唾双氧

2.已知实数制般满足条件.!%错谴溷则使得目标函数

:即喳骡鬻士裁唾黑黑

序游展

字=卷就我嬲聊取得最大值的鬻岁的值分别为()

A.0,12B.12,0C.8,4D.7,5

3.已知以F为焦点的抛物线y2=4久上的两点力、B满足荏=3而，则弦4B的中点到准线的距离为

()

A.IB.IC.2D.1

4,函数/⑺=的图象大致为()

y।

A.

!/lX

1/

C.X/_>t\

D.\

5.若1、Q、匕表示直线，a、夕表示平面,下列命题正确的是()

A.亦a,aCamillaB.alla,allb=>blla

c-alla,bla=>alb

D.aRa}all£

6.以椭圆9+y2=i的焦点为顶点,同时以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程是()

c-T-y2=1D*―/=I

三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC,Z.BAC=90°,AB=AC,

则下列异面直线所成角最大的是（

A.PA^BC

B.PB与AC

C.PC^AB

D.无法确定

8.观察下列事实|对#|刎=1的不同整数解（时感:的个数为4,|对书］刎=嚣的不同整数解感:的

个数为8,|对川刎=笔的不同整数解《“蔚的个数为12,……，则|W⑶闸|=30的不同整数解

:的路感:的个数为（）

A.76B.80C.86D.92

9.已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,则此几何体的所有侧面的

面积中最大的是（）

-20f■20—

正视图侧视图

*20-►1

俯视图

A.:MB展熄B.期物怎-小C.黛映像瞰FD.颤琳医短

10.当x>l时，不等式aWx+二恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.(-oo,2)B.[2,+oo]C.[3,+河D.(-oo,3]

二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）

222

11.设椭圆£+、=1和双曲线=1的公共焦点分别为6、F2,P为这两条曲线的一个交点,

贝欧丽||恒匚-

12.仇章算术》是我国古代数学经典名著.在仇章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面

体称为“鳖席”.己知某“鳖腌”的三视图如图所示，则该“鳖腌”的体积为

正(主)视图侧(左)视图

俯视图

13.已知a2s讥。+acosO-2=0,b2sin9+bcosO-2=0(a,b,9ER,且aHh),直线/过点a2),

B(b,b2),则直线，被

圆(久-cosdy+(y—sinO)2=4所截得的弦长为.

14.函数y=3s讥(3、+9—3的最小正周期为.

15.如图，双曲线的中心在坐标原点。，4C分别是双曲线虚轴的上下顶点，8是双曲线的左顶点,

F为双曲线的左焦点，直线48与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2,则的余弦值是

16.已知二次函数y=/(%)的图象为开口向下的抛物线，且对任意％eR都有f(1+%)=f(l-%).若

向量五=(m,—1),b=(m,—2)，则满足不等式/(方•3)>/(—1)的血的取值范围为.

17.定义运算ax=x~y(x,y巳％).当％>0,y>0时％区y+(2y］的最小值为.

三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)

18.已知sin©—a)=，且a为第四象限角，求下列各式的值.

(l)tan(a-J)；

2sin%+sE2a.

cos2a

19.如图在四面体。—4BC中，已知4。=BC=4C=5,A8=DC=6,sin^DAB=1,M为线段4B

上的动点(不包含端点).

(1)证明：AB1CD；

(2)求二面角D-MC-B的余弦值的取值范围.

20.己知公差不为。的等差数列的前n项和为无,$1=1且$1，S3,S10—1成等比数歹

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设“数列伯„｝的前n项和为7；,求使得心＞当成立的n的最小值.

anan+lo

21.已知椭圆方程为/+4*=16,求出其顶点、焦点坐标及离心率.

22.已知函数/'(%)=|x3+2x2—5x+a(xeR).

⑴当a=号时，求函数图象在点(-1,6)处的切线方程;

(2)若/(久)有三个零点，求a的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：

本题主要考查交、并、补集的混合运算，属于基础题.由题可得4=[0,1,2,3},进而得出集合anCRB.

解：A={0,1,2,3},B={1,2},

所以AC(CRB)={0,3}.

故选A.

2.答案：D

'眦嗤鬻唾鬻鹏唾察喷其

眦噂黑叫驴氧

解析:试题分析：由■<SH**•勒曾秀.知B,C不在可行域内，根据4,0选项的况朋计算z分别为4200,

凰:喳圈+即49唾艇北

国般，三展

4900,故选D

考点：本题主要考查简单线性规划问题。

点评：简单题，解决简单线性规划问题，往往遵循“画、移、解、答”等步骤。

3.答案：A

解析：

解：设BF=m,由抛物线的定义知

AAr=3m,BB]=m,

ABC^p,AC=2m,AB=4m,kAB=V3,

直线ZB方程为y=V3(x—1),

与抛物线方程联立消y得37-10%+3=0,

所以4B中点到准线距离为詈+1=|+1=*

故选A.

设BF=m,由抛物线的定义知和进而可推断出AC和4B,及直线4B的斜率，则直线的

方程可得，与抛物线方程联立消去y,进而跟韦达定理求得/+*2的值，则根据抛物线的定义求得弦

4B的中点到准线的距离.

本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题.常需要利用抛物

线的定义来解决.

4.答案:B

解析：解：函数/（久）=1。叫久，底数小于1,单调递减；恒过（1,0）；

结合选项8正确，

故选：B.

根据对数函数的图象可得答案.

本题考查了对数函数的图象，是基础题.

5.答案：C

解析：解：4根据线面平行的性质可知，〃/a不一定成立，有可能是异面直线.

B当b<t-a,结论成立，当bua,则结论不成立.

C.根据线面垂直和线面平行的性质可知，若〃/防bla,则a1b成立.

。.若a〃a,a//p,贝Ua〃6或au/?,.,.结论不成立.

故选：C.

6.答案：C

解析：解：椭圆过+/=1的顶点为（—2,0）和（2,0）,焦点为（一VX0）和（遮,0）.

•••双曲线的焦点坐标是（一2,0）和（2,0）,顶点为（一百,0）和（百,0）.

可得双曲线的a=百，c=2,贝股=1,

2

•••双曲线方程为：--y2=1.

37

故选：C.

先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程.

本题主要考查了利用椭圆与双曲线的性质求解双曲线的方程，解题的关键是熟练掌握椭圆与双曲线

的性质，正确找出题中的相关量.

7.答案：A

解析：解：如图，

p

•；P4=PB=PC,.•.顶点P在底面的射影为底面三角形的外心，设为。，

VZ.BAC=90°,AB=AC,■-0为B4的中点,

贝IMO1BC,又PO1BC,可得BC1平面P力。，贝UP41BC,

P4与BC所成角为90°；

假设PB14C,•••PO1AC,；.AC1平面PBC,贝!MC1BC,与NB力C为90°矛盾；

同理PC与2B所成角小于90。.

故P4与BC所成角为最大角，等于90。.

故选：A.

由已知画出图形，证明P4与8c所成角为90。，再由反证法说明B,C错误，则答案可求.

本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用反证法证明数学问题，是中档题.

8.答案：B

解析：试题分析：记|利近刎=碱;霞隹瓣，的不同整数解。混蔚的个数为一奠礴，则依题意有

翼霞=琳=邮幻|，典③：=霭=4反鼠频禽=：展=4次第，……，由此可得宣翻＞=+：：,所以

国|昔|刎=麓的不同整数解4时,威：的个数为/1现=瓶颤=颤，选艮

考点：归纳推理.

9.答案：C

解析：试题分析：此几何体为四棱锥如图所示.底面为边长为20的正方形，高,遨=观,且感为雷

中点.侧面,懿哪面积最大为』求我嫁、呢丙蓊=怎醐7依融露.故C正确.

p

BC

考点：二视图.

10.答案：D

解析：

本题考查了基本不等式，要注意不等式成立的条件，考查不等式恒成立问题，属于中档题.

利用％：22(%>0)求解，注意等号成立的条件，有条件x〉1可将x-1看成一个整体求解，结合

不等式恒成立问题求解即可.

解：因为不等式aWx+二v恒成立，

X-1

由=T-1+—-+1>21/(X-1)X—,+1=3,当且仅当工=2时取等号.

即x+Fl的最小值为3，

所以a<3.

故选D

11.答案：3

272

解析：解：•.•椭圆卷+、=1和双曲线尤2=1的公共焦点分别为a、F2,

•••TH—2=3+1,m=6,

\PFi\+IPF2I=2V6,\\PFr\-\PF2\\=2V3,

两式平方相减可得,4IPFJ•\PF2\=12,

■■■\PF1\-\PF2\=3.

故答案为：3.

2?2

先根据椭圆£+5=1和双曲线拳--=1的公共焦点分别为6、F2,确定小的值，再利用椭圆、双

曲线的定义，即可求得IPF1I•IPF2I的值•

本题考查椭圆与双曲线的综合，考查椭圆与双曲线定义，正确运用定义是关键.

12.答案：8

解析：解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为三棱锥，侧棱P41底面A8C,

底面三角形4BC是以N4BC为直角的直角三角形.

该几何体的体积了=|x|x4x3x4=8.

故答案为：8.

由三视图还原原几何体，该几何体为为三棱锥，侧棱PA1底面4BC,底面三角形力BC是以N4BC为直

角的直角三角形.再由棱锥体积公式求解.

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

13.答案：2百

匕）2

解析:试题分析：由条件求得4+,+=2,经过两点（0小），（仇炉）的直线方程为的+a）x-y-ab=

0.再由a和b是方程sin。•x2+cos3x—2=0的两个根，可得a+b=—；啰，

smd

ab=二彳，故直线卿cos。％+sinOy-2=0.求得圆心（cos。,s伉。）到直线Z的距离d的值，再故由弦长

公式可得弦长.

(心2(a+b)

cos3=------

22ab22

vasin3+acos3-2=0,bsin3+bcosd-2=0,_7vsin0+cos0=1,

sin0=—

4+£+匕)2=2

经过两点(a,a2),(b”2)的直线方程为咚三二—,即(b+a)x-y-ab=0.

b^—(izb—o.

再由。和b是方程sin。•/+cos。％-2=0的两个根，a+b=———,ab=-故直线［即

cosO,2八

_布尤7+==3

即cos。％+sindy-2=0.

由于圆心(cos。,s讥8)到直线I的距离d="iM警!=L故由弦长公式可得弦长为2g二定=

Vcos20+sin20

2百，

故答案为2W.

14.答案:y

解析:解：•••数y=3s讥(3%+9-3,

其最小正周期T=拳

故答案为：拳

利用正弦函数的周期公式即可求得答案.

本题考查正弦函数的周期及其求法，属于基础题.

15.答案:包

14

解析：

本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理和双曲线简单性质的灵活运用.

利用双曲线的简单性质求出直线方程，求出三角形三个顶点的坐标，利用余弦定理求得cosNBDF的

值.

解：由题意得4(0”)，C(O,—b),B(—a,0),F(-c,0),5=2.

.・.BF=c—a=a,80的方程为二+^=1,即b%—ay+ah=0,

—ab/

DC的方程为1，即b%+cy+Z?c=0,即b%+2ay+2ab=0,

—ay+ab=0

+2ay+lab=O'

得<D（-表-1），又b=Vc2—a2=

:-FD=J（-c+2+?=杵，

80=卜+轲2瑞=杵,

三角形BDF中，由余弦定理得M=品2+302—2I-a2-I-a2cosz.BDF

997979

cosZ-BDF=—.

14

故答案为：C.

14

16.答案:(-1,1)

解析:解：•・・对任意％eR都有f(l一%)=/(I+%).

故函数的对称轴为1=1,

•・,a=(m1-1),b=(科一2)，

•••得b=病+2，

\m2+2—1|<|-1-1|

解得-1<zn<1

故答案为：(—1,1)

由已知中二次函数y=/(%)的图象为开口向下的抛物线，且对任意久eR都有/(I-x)=/(I+%).我

们可以判断函数的图象是以％=1为对称轴，开口方向朝下的抛物线，再由向量五=(皿-1),b=

(m,-2),结合二次函数的性质和向量数量积运算，我们可以得到一个关于TH的不等式，解不等式即

可求出租的取值范围.

本题考查的知识点是二次函数的性质，绝对值不等式的解法，平面向量的数量积的运算，其中根据

二次函数的性质和向量数量积运算，将不等式1)转化为一个关于根的不等式，是解答

本题的关键.

17.答案:V2

2

解析：解：•咆”号

x2-y2.4y2T2x2+2y

x0y+2y）x=------------1--------------=------------

xy2xy2xy

...立丝>空包=V2,

2xy2xy

由丁x>OyO,

x2+y>2x2y2=,

答案为：V2.

通过新定可得%③y+2)因%=软;利用基本不等式得论.

本题以新定义为景，查函数的最值，涉及到本不等式知识，注解题法积累，属于中.

18.答案：解：（1）sing-仇）=£・•.cosa=

va为第四象限角，・•.sina=-V1-cos2a=一、

贝Utana=吧竺4

cosa3’

41

.(■加、tana-1--1„

,,tan(a)==~=7；

'4，1+tana1+(一-)

2sin2a+sin2a2sin2a+2sinacosa

(2)-----------z--------=----------————

coszacos^a—sinzcr

4

_2sina_2tana2x(一§)8

cosa-sintz1-tana7,

解析：(1)由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值；

(2)化弦为切求解交叱空巫

本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题.

19.答案：证明：(1)作取4B中点。，连D。，C。,由4C=BC,0

为中点，i^OCLAB.

由AD=5,AO=3,sin^DAB=1,知。。=4,故。。14B,

•••AB1平面DOC,CD在平面DOC内，AB1CD.

解：(2)由(1)知AB_L平面DOC,AB在平面ABC内，

故平面DOC1平面力BC.

以。为原点，0B为久轴，。。为y轴，Oz垂直平面48C,

建立空间直角坐标系。-xyz.

故0(0,0,0),5(3,0,0),C(0,4,0),4(一3,0,0),

设。M=m,(-3<m<

3),则M(m,0,0),

在△DOC内，作DE10C,

连E。，由。。=。。=4,

DC=6,

解得EO=gDE="

22

故。(0,/子).

设平面DMC的法向量为元=(x,y,z),则诙=(0,—[,*),CM=

n-CO=-|y+^z=0

由取X=4V7，得记=(4V7,y/7m,3m).

n-CM=mx-4y=0

平面MCB的法向量为记=(0,0,1),

\3m\

•••|cos<m-n>|=3

V112+6m2

\3m\3_9

•.--3<m<3,••-Icos<m-n>|=

V112+6m2藐一运

设。为二面角D—MC—B的平面角，则一白＜cos。

1616

.■二面角。—MC—B的余弦值的取值范围是[-总勺.

解析：(1)作取4B中点。，连D。，CO,推导出。C14B,0D1.AB,从而AB1平面。0C,由此能证明

AB1CD.

(2)以。为原点，0B为x轴，0C为y轴，Oz垂直平面力BC,建立空间直角坐标系。-盯z.利用向量法能

求出二面角。-MC-8的余弦值的取值范围.

本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面

间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.答案：解：(1)公差不为0的等差数列｛an｝的前几项和为$,51=1且»,S3,Sio—l成等比数歹U，

所以瑾=S1O-1.

设等差数列｛即｝的公差为d,

所以(3a1+-y-d)2=10a1+~~~d—1,解得d=3(0舍去)，

故=3n—2.

(2)由(l)an=3n—2,

所以刈=[^=2(六一焉)，

oTl—Z3?1+1

所bl以、IF"=C2X/