吉林省通化一中2024届高考临考冲刺数学试卷含解析

吉林省通化一中2024届高考临考冲刺数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知的面积是,,,则（）A．5 B．或1 C．5或1 D．2．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则A．1 B．2 C．3 D．43．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是()A．至少有一个样本点落在回归直线上B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关4．已知椭圆的焦点分别为，，其中焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．5．集合的真子集的个数为()A．7 B．8 C．31 D．326．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（）A． B． C． D．7．记为等差数列的前项和.若，，则（）A．5 B．3 C．－12 D．－138．已知向量，且，则等于（）A．4 B．3 C．2 D．19．近年来，随着网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途，随机抽取了名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏；③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.其中正确的个数为（）A． B． C． D．10．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．11．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切，与相切于点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，且向量与的夹角为_______.14．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．15．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．16．已知为双曲线的左、右焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线的右支相交于点，若是上的一个靠近点的三等分点，且，则四边形的面积为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）解不等式：；（2）求证：．18．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）记的最小值为，且正实数满足.证明：.19．（12分）已知函数，.（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围；（2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20．（12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：处罚金额（单位：元）5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？21．（12分）已知函数，（1）若，求的单调区间和极值；（2）设，且有两个极值点，，若，求的最小值.22．（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在区间内无解，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】∵，,∴①若为钝角，则，由余弦定理得，解得；②若为锐角，则，同理得.故选B.2、D【解析】

先用公差表示出，结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列，所以，解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.3、D【解析】

对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误；所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误；若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误；相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．故选D．【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、B【解析】

根据题意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解.【详解】易知，且故有，则故选：B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题5、A【解析】

计算，再计算真子集个数得到答案.【详解】，故真子集个数为：.故选：.【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.6、B【解析】

由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得与的夹角.【详解】根据平面向量数量积的垂直关系可得，，所以，即，由平面向量数量积定义可得，所以，而，即与的夹角为.故选：B【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.7、B【解析】

由题得，，解得，，计算可得.【详解】，，，，解得，，.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，考查了学生运算求解能力.8、D【解析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．【详解】因为，且，，则．故选：．【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．9、C【解析】

根据利用主要听音乐的人数和使用主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用主要听音乐的人数为，使用主要看社区、新闻、资讯的人数为，所以①正确；使用主要玩游戏的人数为，而调查的总人数为，，故超过的大学生使用主要玩游戏，所以②错误；使用主要找人聊天的大学生人数为，因为，所以③正确.故选：C.【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.10、B【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.【详解】依题意，，而，即，解得，则.故选：B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.11、B【解析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．【详解】由题意原几何体是正三棱柱，．故选：B．【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．12、D【解析】

可设的内切圆的圆心为，设，，可得，由切线的性质：切线长相等推得，解得、，并设，求得的值，推得为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值．【详解】可设的内切圆的圆心为，为切点，且为中点，，设，，则，且有，解得，，设，，设圆切于点，则，，由，解得，，，所以为等边三角形，所以，，解得.因此，该椭圆的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

根据向量数量积的定义求解即可．【详解】解：∵向量，且向量与的夹角为，∴||；所以：•（）2cos2﹣2＝1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题．14、【解析】

代入求解得,再求准线方程即可.【详解】解：双曲线经过点,,解得,即．又,故该双曲线的准线方程为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.15、【解析】

试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为．考点：几何体的体积的计算．16、60【解析】

根据题中给的信息与双曲线的定义可求得与,再在中,由余弦定理求解得,继而得到各边的长度,再根据计算求解即可.【详解】如图所示：设双曲线的半焦距为.因为,,,所以由勾股定理,得.所以.因为是上一个靠近点的三等分点,是的中点,所以.由双曲线的定义可知：,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.则.则,得.则的底边上的高为.所以.故答案为：60【点睛】本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法,需要根据双曲线的定义表示各边的长度,再在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量的关系.属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）代入得，分类讨论，解不等式即可；（2）利用绝对值不等式得性质，，，比较大小即可.【详解】（1）由于，于是原不等式化为，若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得．综上所述，不等式解集为．（2）由已知条件，对于，可得．又，由于，所以．又由于，于是．所以．【点睛】本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学运算能力，属于中档题.18、（1）或；（2）见解析【解析】

（1）根据，利用零点分段法解不等式，或作出函数的图像，利用函数的图像解不等式；（2）由（1）作出的函数图像求出的最小值为，可知，代入中，然后给等式两边同乘以，再将写成后，化简变形，再用均值不等式可证明.【详解】（1）解法一：1°时，，即，解得；2°时，，即，解得；3°时，，即，解得.综上可得，不等式的解集为或.解法二：由作出图象如下：由图象可得不等式的解集为或.（2）由所以在上单调递减，在上单调递增，所以，正实数满足，则，即，（当且仅当即时取等号）故，得证.【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和均值不等式的运用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.19、（1）；（2）不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.【解析】

（1）分类时，恒成立，时，分离参数为，引入新函数，利用导数求得函数最值即可；（2），导出导函数，问题转化为在上有解．再用导数研究的性质可得．【详解】解：（1）因为当时，恒成立，所以，若，为任意实数，恒成立.若，恒成立，即当时，，设，，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以当时，取得最大值.，所以，要使时，恒成立，的取值范围为.（2）由题意，曲线为：.令，所以，设，则，当时，，故在上为增函数，因此在区间上的最小值，所以，当时，，，所以，曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程在上有实数解.而，即方程无实数解.故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.【点睛】本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题．20、（1）降低（2）【解析】

（1）计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；（2）闯红灯的市民有80人，其中类市民和类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的概率值.【详解】解：（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为；不进行处罚，行人闯红灯的概率为；所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低；（2）由题可知，闯红灯的市民有80人，类市民和类市民各有40人故分别从类市民和类市民各抽出两人，4人依次排序记类市民中抽取的两人对应的编号为，类市民中抽取的两人编号为则4人依次排序分别为，，，，，，，，，，，，共有种前两位均为类市民排序为，，有种，所以前两位均为类市民的概率是.【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.21、（1）增区间为，减区间为;极小值，无极大值；（2）【解析】

（1）求出f（x）的导数，解不等式，即可得到函数的单调区间，进而得到函数的极值；（2）由题意可得，，求出的表达式，，求出h（t）的最小值即可．【详解】（1）将代入中，得到，求导，得到，结合，当得到：增区间为，当，得减区间为且在时有极小值，无极大值.（2）将解析式代入，得，求导得到，令,得到,，，，，，，，因为，所以设,令，则所以在单调递减,又因为所