2021-2022学年北京市延庆区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市延庆区八年级（上）期末数学试卷

注意事项：

i.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

一、选择题

1.下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图形的是（）

2.若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则/I的度数为（）

a/10

4o°

A.40°B.50°

若，=一1,则下列分式的值为（）的是（）

下列各式中与四是同类二次根式的是（）

A.\/6B.79D./18

5,下列计算错误的是（）

A.y（-3）2=3B.V3XV2=VGc.+=D.瓜・瓜=瓜

6,下列运算正确的是（）

r6B-W1+3x^±y=-i

A.§=D.

V+3yx-y

7.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）

A.5,12,13B.1,2,VsC.1,存2D.4,5,6

8.如图所示在△48。中，边上的高线画法正确的是（）

BHC

9.

10.

11.为庆祝建党100周年，某邮政局推出纪念封系列，且所有纪念封均采用形状、大小、

质地都相同的卡片，背面分别印有“改革、开放、民族、复兴”的字样，正面完全

相同.如下图，现将6张纪念封洗匀后正面向上放在桌子上，从中随机抽取一张,

抽出的纪念封背面恰好印有“改革”字样的可能性大小是

改革民族开放复兴改革复兴

12.如图，线段43,相交于点O,AO=BO,添

加一个条件，能使△40。三△8。0,所添加的条件

的是.

13,等腰三角形一边长为5,另一边长为8,则其周长是

14.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只

用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的

平分线.如图：一把直尺压住射线OB,另一把直尺

压住射线并且与第一把直尺交于点P,小明说:

“射线OP就是的角平分线.“小明的做法,

其理论依据是.

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15.小丽同学在学习了利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法后，进行如下操作：首

先画数轴，原点为O,在数轴上找到表示数2的点4,然后过点工作

且4B=1；再以。为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P,如图，

那么点P表示的数是.

16.在瓦中，/。=90°，Z,B=30°，BC=4,点。是边的中点，点E

是边43上的动点，点F是边4C上的动点，则DE+EF的最小值是.

17.计算：

(1)\/12-^27+|-闺；

⑵2百x;西+4郎.

18.已知：如图，点4,F,C,。在同一条直线上，点3和点E在直线的两侧,

且=BC//FE,N4=/D.

求证：AB=DE.

E

2x।7

19.解方程:--------1-1=--------

n+3+6

21

20.计算：学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：-----甲、乙

两位同学的解答过程分别如下：

甲同学：

21

X2—1X—1

=------------------①

(X+1)(1—1)X—1

21

=-------------------------------(2)

(2+1)(力—1)(x+1)(①—1)

2-1

=(，+])("1)③

=------------------

(4+1)3-1产

乙同学：

21

X2—1X—1

=------------------------

(1+l)(x—1)X—1°

=_____?____________.+1____②

(力+1)(力-1)(N+1)(N-1)

=2—+1)③

=1-x@

老师发现这两位同学的解答过程都有错误.

请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改

正.

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⑴我选择同学的解答过程进行分析.(填“甲”或“乙”)

⑵该同学的解答从第_____步开始出现错误(填序号)，错误的原因是

(3)请写出正确解答过程.

1T+1x—1

21.当，=四一1时，求代数式______!___________________的值.

x—2*J;2—4a?+4x1

22.如图，点。是等边△48。的边475上一点，过点。作

BC的平行线交47于点石.

(1)依题意补全图形；

(2)判断△4DE的形状，并证明.

23.列方程解应用题：

第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口

市联合举行.北京冬奥会的配套设施“京张高铁”-北京至张家口高速铁路，已经

全线通车，全长约175千米.原京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持

设计建造的中国第一条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式

解决了火车上山的问题.京张高铁的平均速度是原京张铁路的5倍，可以提前5小

时到达，求京张高铁的平均速度.

24.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点，点A,

B,。均落在格点上.

(1)计算线段的长度

⑵判断的形状

(3)写出△48。的面积

⑷画出△4BC关于直线I的轴对称图形△4氏。1.

।-----~\—।r1

!B

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25.如图，△ABC中，ZABC=45°»F是高4。和高BEA

的父点，AC=y/5，BD=2.

求线段OF的长度.

26.尺规作图:

已知：如图1,直线MN和直线MN外一点P.

P

图1

求作：直线PQ,使直线PQ〃川N.

小智的作图思路如下：

①如何得到两条直线平行？

小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中

有“内错角相等，两条直线平行”.

②如何得到两个角相等？

小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角

相等.小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的

定理.最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”.

③画出示意图：

M.4N

④根据示意图，确定作图顺序.

在直线上取点H-，作射线，作角平分线(尺规作图

——►作出P0=R4交45于点°——，作直线PQ

(1)使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1(保留作图痕迹)；

⑵完成下面的证明：

证明：・「AB平分/PAN,

NPAB=ZNAB.

PA^PQ,

：.NPAB=NPQA().

NNAB=ZPQA.

PQ//MN().

(3)参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完

成.

•P

MN

图2

(温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明)

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27.如图，ZAOB=45°,O。是/40B的角平分线，点。是射线OB上的一点，点W

为线段的中点，过点M作OD的垂线，交射线。/于点E,交射线OC于点E,

连接E。，交OC于点G.

(1)依题意补全图形；

(2)猜想和EG的数量关系并证明；

(3)求证：ED+EF=2EM.

备用图

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4、不是轴对称图形，故此选项错误；

8、是轴对称图形，故此选项正确；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；

。、不是轴对称图形，故此选项错误；

故选：B.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对

称图形进行分析即可.

此题主要考查了轴对称图形的概念，关键是正确找出对称轴的位置.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

在左图中，先利用三角形内角和计算出边。所对的角为50。，然后根据全等三角形的性

质得到/I的度数.本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三

角形的对应角相等.

【解答】

解：在左图中，边a所对的角为180°-60°—70°=50°,

因为图中的两个三角形全等，

所以/I的度数为50°.

故选艮

3.【答案】D

【解析】解：/选项，原式=-],故该选项不符合题意；

B选项，x+l=0,分式没有意义，故该选项不符合题意；

C选项，原式=—^=2,故该选项不符合题意；

一1

。选项，原式=0,故该选项符合题意；

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故选：D.

根据分式的值为()的条件是分子等于0且分母不等于0即可得出答案.

本题考查了分式的值为()的条件,掌握分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0

是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：A.述与否不是同类二次根式；

B.y/9=3与逐不是同类二次根式；

C.y/12=2通与g是同类二次根式；

D=3方与四不是同类二次根式.

故选：C.

先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义判定即可.

本题考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简.

5.【答案】C

【解析】解：4、原式=|—3|=3,所以工选项的计算正确；

B、原式=存公=述，所以B选项的计算正确；

C、通与四不能合并，所以。选项的计算错误；

D、原式=及，所以。选项的计算正确.

故选C.

根据二次根式的性质对4进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二

次根式的加减法对。进行判断；根据二次根式的除法法则对。进行判断.

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式

的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二

次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

6.【答案】D

【解析】解：/加3,

二选项A不符合题意;

x2+y2,

---―：—加+y，

x+y

选项8不符合题意；

..N+3/

■y+3

二选项c不符合题意；

-x+y-(x-y)

-------=---------="1

x—yx-y

.•・选项。符合题意；

故选：D.

对每个选项逐个判断，即可得出答案.

本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决问题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：4、•••52+122=132,二能构成直角三角形，故本选项错误；

夙•••/+22=(g)2,.•.能构成直角三角形，故本选项错误；

C、•.•12+(通)2=22,.•.能构成直角三角形，故本选项错误；

；52+42/62,.•.不能构成直角三角形，故本选项正确.

故选：D.

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长。，b,C满足a2+/=c2,

那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：在△43。中，43边上的高线画法正确的是3,

故选：B.

直接利用高线的概念得出答案.

此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键.

9.【答案】H23

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【解析】解：根据题意得4—320,

解得c23.

故答案为：H23.

根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解.

本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数.

10.【答案】40°

【解析】解：=60°，AB=20°，

ZX=AACD-ZB=60°-20°=40°.

故答案为：40°.

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题

的关键.

11.【答案】1

O

【解析】解：•.•背面印有“改革”字样的卡片有2张，共有6张卡片，

从中随机抽取一张，抽出的纪念封背面恰好印有“改革”字样的可能性大小是:2=1

63

故答案为：

分别求出背面印有“改革”字样的卡片数和总的卡片数，再根据概率公式计算即可.

此题考查了概率，用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比,是一道基础题，

比较容易.

12.【答案】CO=DO

【解析】解：添加。。=DO,

(AO=BO

在△40。和ABOD中IAAOC=NBOD,

[CO=DO

故答案为：CO=DO.

添加。0=0。，再加上条件40=30,对顶角/AOC=/3OO,然后利用S4S判

定△AOC三△BO。即可.

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS，

力S4、AAS.HL.

注意：444、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参

与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

13.【答案】18或21

【解析】解：当5为底边时，腰长为8,则这个等腰三角形的周长=5+8+8=21；

当8为底边时，腰长为5,则这个等腰三角形的周长=5+5+8=18；

故这个等腰三角形的周长是18或21.

故答案为：18或21.

由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分5为底边与8为底边两种情况进行讨论.

本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解.

14.【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上

【解析】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PEL49,PF1.BO,

•.•两把完全相同的长方形直尺，

PE=PF,

,OP平分角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），

故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上.

过两把直尺的交点P作PE_LAO,PF_L80,根据题意可得PE=P歹，再根据角

的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得0P平分NAOB.

第14页，共23页

此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这

个角的平分线上.

15.【答案】a

【解析】解：在母△OAB中，。4=2,AB=1,

：,OB=y/OA2+AB2=/22+12=x/5.

以点。为圆心，03为半径与正半轴交点P表示的数为西.

故答案为：瓜

根据勾股定理可计算出OB的长度，即点P在数轴正半轴表示的数.

本题考查勾股定理的应用及数轴上点的坐标的表示，根据题意先计算的长度是解题

关键.

16.【答案】3

【解析】解：如图.作点。关于4B的对称点。，过点。作。PJ.4C于点E,交AB

于点E,连接OE.

则。E=D'E，DE+EF=D'E+EF=D'F,

当。时，O'F取最小值，即。E+EF取最小值.

•二8。=4,点。是边的中点，Z.B=30°

:.BD=；BC=2,BC=^>/3,AB=^s/3,

ZB=30°,/C=90°，

=60°,

ZFEA=30°,Z.D'EB=30°-ADEB=30°,

：,DE=BD=2,D'E=2，

EB-y/SBD-2\/3,

EA=AB-BE=|\/3-2瓜=|\/3,

1

FA=—v^3,

o

EF=V3EA=\/3x=1,

o

D'F=D'E+EF=2+1=3.

.•.DE+EF的最小值是3.

故答案为3.

作点。关于43的对称点。，过点。作。尸，力。于点E,交4B于点E,连接。E.

则DE=D'E,DE+EF=D'E+EF=D'F,当。'FJ_4C时，D'F取最小值，

即。E+EF取最小值，据此解答即可.

本题考查了最短路线问题，直角三角形的性质，熟练掌握特殊直角三角形的性质是解题

的关键.

17.【答案】解：（1）原式=2通—3+遍

=3\/3-3；

（2）原式=2x-x-1/20x5x-

44V5

=1x\/20

O

_\/|

=丁

【解析】（1）直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简得出答案;

⑵直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案.

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.【答案】证明：•••6。〃尸石,

...ZBCA=4DFE.

：AF=DC,

AF+FC=DC^CF.

：,AC=DF.

在△ABC和△OEF中，

第16页，共23页

ABCA=4DFE

AC=DF,

AA=AD

/\ABC三/\DEF{ASA).

:.AB=DE.

【解析】根据已知条件得出△ABC三△OFF,即可得出4B=OE.

本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据平行线的性质

和全等三角形的判定解答.

19.【答案】解：去分母得：4l+21+6=7,

移项合并得：6i=1,

解得：2=

6

经检验，①=1是分式方程的解.

0

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到立的值，经检验即可

得到分式方程的解.

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整

式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

20.【答案】甲②通分时，第二个分式，根据分式的基本性质，分式的分子也应该乘

以(a;+1)

【解析】解：(1)选择甲同学或乙同学均可；

故答案为：甲(答案不唯一，也可以填乙)；

(2)甲同学从第②步开始出现错误，

其错误原因是：通分时，第二个分式，根据分式的基本性质，分式的分子也应该乘以

(2+1);

故答案为：②，通分时，第二个分式，根据分式的基本性质，分式的分子也应该乘以

3+1);

乙同学从第③步开始出现错误，

其错误原因是：同分母分式相减，分母不变，把分子相减；

故答案为：③，同分母分式相减，分母不变，把分子相减；

(3)原式—(力+1)(/一])(/+])(]_1)

2一比一1

(X+1)(/—1)

_1—X

(力+1)(1-1)

]

N+1

⑴分析甲或乙同学的解答过程均可；

⑵根据分式的基本性质分析甲同学的错误，根据同分母分式加减法运算法则分析乙同

学的错误；

⑶先通分，然后再计算.

本题考查异分母分式的加减，掌握通分和约分的技巧是解题关键.

21.【答案】解：原式.立立—土二1

x—2x+1x+1

x—2x—1

x+1z+1

]

X+1'

当x=>/2—1时，

【解析】直接利用分式的混合运算法则将原式化简，再将工的值代入计算可得.

本题主要考查分式的化简求值，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘

法运算.

22.【答案】解：⑴图形如图所示:

(2)结论：△4DE是等边三角形.

理由：•；△ABC是等边三角形，

第18页，共23页

ZX=ZB=ZC=60%

DE//BC,

：.NADE=ZB=60°,

ZAED=ZC=60°,

ZX=ZADE=ZAED=60°,

.•.△4ZZE是等边三角形.

【解析】（1）根据要求画出图形即可；

（2）结论：△力OE是等边三角形.根据三个角是60°的三角形都是等边三角形证明即可.

本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，属于中考常考题型.

23.【答案】解：设原京张铁路的平均速度为立千米/时，则现在京张铁路的平均速度为

5工千米/时.

210175一

依寇息，1^：---=----F5,

x5x

解得：a;=35,

经检验：H=35是所列方程的解，并且符合题意.

5z=5x35=175,

答：京张高铁的平均速度为175千米/时.

【解析】设原京张铁路的平均速度为c千米/时，则现在京张铁路的平均速度为5工千米

/时.由题意：原京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国第

一条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问

题.京张高铁的平均速度是原京张铁路的5倍，可以提前5小时到达，列出分式方程，

解方程即可.

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

24.【答案】VW等腰直角三角形5

【解析】解：（X）AB=\/12+32=710>

故答案为：v^lO；

⑵根据网格可知：AB=AC=VW'/BAG=90°,

△AB。是等腰直角三角形；

故答案为：等腰直角三角形；

(2t)/\ABC的面积=—xxy/10=5,

故答案为：5;

⑷如图，△4BQ1即为所求.

(1)根据勾股定理即可求出AB的长度；

(2)根据网格即可判断ZVIBC的形状；

⑶结合⑵即可求出LABC的面积；

⑷根据轴对称的性质即可画出△4BC关于直线I的轴对称图形.

本题考查了轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是掌握轴对称

的性质.

25.【答案】解：•二和BE是△ABC的高，

AADB=AADC=4BEC=90°.

ZC+ADAC=90°,ZC+ADBF=90°,

ADAC=4DBF,

-1•ZABC=45°,

：.ZDAB=45°.

NABC=NDAB.

：,DA=DB,

在么?!。。与△BDF中，

(NADC=NBDF

<DA=DB,

[ADAC=ZDBF

;./\ADC=