专题19 整式加减的应用（解析版）

专题19整式加减的应用1．一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（，单位：km）第一次第二次第三次第四次xx-52（9-x）(1)求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．（用含x的式子表示）(2)若每千米耗油0.5L，则该出租车4次行驶共耗油多少升？（用含x的式子表示）【答案】(1)这辆出租车所在的位置是向东（13）km；(2)该出租车4次行驶共耗油（x﹣）升．【分析】（1）把路程相加，求出结果，看结果的符号即可判断出答案；（2）求出每次记录的路程的绝对值，相加求和，再用所得的和乘以每千米耗油量即可得到答案．（1）解：x+（）+（x﹣5）+2（9﹣x）＝13，∵9＜x＜26，∴13＞0，∴经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置是向东（13）km．（2）解：∵9＜x＜26，∴这4次行驶的路程之和为|x|+|﹣x|+|x﹣5|+|2（9﹣x）|＝x＋＋x－5＋2（x－9）＝x﹣23，（x﹣23）×0.5＝（x﹣）（升）．答：该出租车4次行驶共耗油（x﹣）升．【点睛】本题考查了整式的加减，绝对值等知识点的应用，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，用数学解决实际问题，题型较好．2．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）：户月用水量单价不超过的部分元超过但不超过的部分元超过的部分元(1)当时，某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费；(2)设某户月用水量为，当时，求该用户应缴纳的水费（用含、的整式表示）；(3)当时，甲、乙两用户一个月共用水．已知甲用户用水量超过了，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的整式表示）．【答案】(1)33（元）(2)（元）(3)（元）【分析】（1）根据用户用水情况，根据不同单价计算其应缴的水费（2）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费（3）先判断甲用户的用水量大致范围，再进行计算(1)解：（元）(2)解：（元）(3)解：因为甲用户用水量超过了甲应交水费：（元）所以乙用水量范围：乙应交水费：（元）甲乙共缴纳水费：（元）【点睛】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，整式的计算等知识点，熟练掌握以上知识点，根据不同情况列出式子是解题的关键．3．今年暑假小明家买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，这套住宅的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示（图中长度单位：米）．(1)求出用含x、y的代数式表示这套房的总面积是多少平方米？(2)当，时，若铺1平方米地砖平均费用120元，求这套住宅铺地砖总费用．【答案】(1)平方米(2)4560元【分析】（1）结合图形和对应的面积公式，即可表示出这套房的总面积；（2）结合（1）中的表达式和费用的计算公式，即可求解．(1)由题意得，该住房的面积为：平方米；(2)由（1）可知，当时，总费用为：（元）【点睛】此题主要考察列代数式、代数式的化简和图形面积的计算公式，属于中档难度的应用题．解题的关键是数形结合思想和图形面积公式．4．某工厂计划用100张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用三种方法中的一种剪裁，其中方法A：一张白板纸裁成5个侧面；方法B：一张白板纸裁成4个侧面与3个底面；方法C：一张白板纸裁成3个侧面与6个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按方法A剪裁的有x张白板纸，按方法B剪裁的有y张白板纸．(1)按方法C剪裁的有_______张白板纸．（用含的代数式表示）(2)将100张白板纸裁剪完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含的代数式表示，结果要化简）(3)当时，最多可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？【答案】(1)100-x-y(2)一共可以裁出的侧面个数为（2x+y+300）个，一共可以裁出的底面个数为（600-6x-3y）个(3)最多可以制作该种型号的长方体纸箱101个【分析】（1）根据题意用100张白板纸减去按方法A剪裁的x张白板纸，再减去按方法B剪裁的有y张白板纸即可；（2）由题意把x张白板纸，y张白板纸，（100-x-y）张白板纸可以裁剪出的侧面个数和底面个数分别相加即可；（3）由题意把2x+y=107代入（2）中求出的侧面和底面的代数式，即可解答．(1)解：由题意得：按方法C剪裁的有（100-x-y）张白板纸，故答案为：100-x-y.(2)由题意得：x张白板纸可以裁剪出5x个侧面，y张白板纸可以裁剪出4y个侧面，3y个底面，（100-x-y）张白板纸可以裁剪出3（100-x-y）个侧面，6（100-x-y）个底面，所以：一共可以裁出的侧面个数为：5x+4y+3（100-x-y）=2x+y+300（个），一共可以裁出的底面个数为：3y+6（100-x-y）=600-6x-3y（个），答：一共可以裁出的侧面个数为（2x+y+300）个，一共可以裁出的底面个数为（600-6x-3y）个.(3)∵2x+y=107，∴一共可以裁出的侧面个数为：2x+y+300=107+300=407（个），一共可以裁出的底面个数为：600-6x-3y=600-3（2x+y）=279（个），∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱，∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱101个，答：最多可以制作该种型号的长方体纸箱101个．【点睛】本题考查认识立体图形，整式的加减，列代数式，代数式求值，根据题目的已知条件并结合图形求出一共可以裁出的侧面个数和底面个数是解题的关键．5．深圳市云端学校有一块长方形花园，长12米、宽10米．花园中间欲铺设纵横两条小路（图1中空白部分），横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是x米．（1）填空：在图1中，横向道路的宽是米（用含x的代数式表示）；（2）试求图1中花园道路的面积；（3）若把纵向道路的宽改为原来的2倍、横向道路的宽改为原来的，如图2所示．设图1与图2中花园的面积（阴影部分）分别为S1、S2，用含x的代数式分别表示出S1、S2，并比较S1与S2的大小．【答案】（1）2x；（2）（34x﹣2x2）平方米；（3）S1＜S2．【分析】（1）根据横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍即可求解；（2）根据题意，由花园的面积=长方形的面积﹣道路的面积求解即可；（3）根据花园的面积=长方形的面积﹣道路的面积分别求出S1、S2，再比较即可．【详解】解：（1）设纵向道路的宽是x米，∵横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，∴横向道路的宽为2x米．故答案是：2x；（2）花园道路的面积＝12×2x+10x﹣x•2x＝34x﹣2x2（平方米）．答：在图（一）中花园的道路的面积为（34x﹣2x2）平方米；（3）在图（一）中，花园的面积为：S1＝12×10﹣（34x﹣2x2）＝120﹣34x+2x2（平方米），在图（二）中，横向道路的宽为：，纵向道路宽为：则花园的面积为：S2＝12×10﹣（12x+10×2x﹣x•2x）＝120﹣32x+2x2（平方米），∵x＞0，∵S1﹣S2＝（120﹣34x+2x2）﹣（120﹣32x+2x2）＝﹣2x＜0，∴S1＜S2．【点睛】本题考查了列代数式、整式的加减的应用、长方形的面积，正确表示出花园道路的面积是解答的关键．6．某公交车原有乘客（3a-b）人，中途有一半人下车，又上车若干人，使车上共有乘客（8a-5b）人（注：题目中给定的a，b符合实际意义）试求（1）上车的乘客人数是多少人？（2）当a=10时，b=8时，上车的乘客有多少人？【答案】（1）人；（2）29人【分析】（1）根据公交车原有乘客人，中途有一半人下车，则下车的人数人，再由又上车若干人，使车上共有乘客人，即可得到上车的乘客人数人；（2）根据（1）求得的结果把a=10

，b=8

代入计算即可．【详解】解：（1）公交车原有乘客人，中途有一半人下车，∴下车的人数人，又∵又上车若干人，使车上共有乘客人，∴上车的乘客人数人答：上车的乘客人数是人；（2）当

a=10

时，b=8

时，人，∴上车的乘客有29人，答：上车的乘客有29人．【点睛】本题主要考查了整式的加减计算和代数式求值，解题的关键在于能够根据题意准确求出上车的乘客的代数式．7．如图，是某住宅的平面结构示意图，图中标注了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：米），解答下列问题：（1）用含x，y的式子表示地面总面积；（2）当x＝4，y＝2时，如果铺1平方米地砖的费用为20元，那么地面铺地砖的费用是多少元？【答案】（1）15xy平方米；（2）2400元【分析】（1）先分别算出客厅的面积，厨房的面积，卧室的面积，卫生间的面积，然后把这四个面积加起来即可得到答案；（2）把x＝4，y＝2代入（1）中计算的结果先求出地面总面积，然后计算地面铺地砖的费用即可．【详解】解：（1）由题意得：客厅的面积为：8xy（米2），厨房的面积为：x×2y＝2xy（米2），卧室的面积为：2x×2y＝4xy（米2），卫生间的面积为：xy（米2），∴地面总面积为：8xy+2xy+xy+4xy＝15xy（米2）．（2）当x＝4，y＝2时，地面总面积为：15×4×2＝120（米2）；∴地面铺地砖的费用为：120×20＝2400（元）．答：地面铺地砖的费用为2400元．【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的加法，代数式求值，解题的关键在于能够根据题意表示出地面总面积．8．某工厂第一车间有人，第二车间人数比第一车间人数的少20人，第三车间人数是第二车间人数的多10人．（1）求第三车间有多少人？（用含的代数式表示）（2）求三个车间共有多少人？（用含的代数式表示）（3）如果从第二车间调出10人到第一车间，原第三车间人数比调动后的第一车间人数少多少人？【答案】（1）第三车间有(x−15)人；（2）三个车间共有(x−35)人；（3）原第三车间人数比调动后的第一车间人数少25人．【分析】（1）先表示出第二车间的人数，再表示出第三车间的人数即可；（2）把表示三个车间的人数的代数式相加即可得到答案；（3）先表示出调动后第一车间的人数，再用调动后第一车间的人数减去第三车间的人数即可．【详解】解：（1）∵第二车间的人数比第一车间人数的少20人，即第二车间的人数为(x−20)人，∵第三车间人数是第二车间人数的多10人，∴第三车间的人数为：×(x−20)＋10＝(x−15)人；（2）三个车间共有：x＋x−20＋x−15＝(x−35)人；（3）∵调动后第一车间的人数为（x＋10）人，∴（x＋10）−（x−15）＝x＋10−x＋15＝25（人），答：原第三车间人数比调动后的第一车间人数少25人．【点睛】此题考查了整式加减的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出正确的代数式进行解题．9．按顺序完成以下运算：①取任一个三位数（设百位数字为a，十位数字为b个位数字为c），使它的首位和来位的差大于1；②交换首位和末位数字而构成另一个数；③求此前两个三位数的差；④交换这个差的首位和末位数，又一个的；⑤将第三步所得的数与第四步所得的数加的成下面问题；（1）用代数式表示③中的两个三位数的用①的三位数减②的三位数是_____________；（2）用代数式表示④的三位数是_____________；（3）计算⑤的结果（要求写出计算过程）．【答案】（1）；（2）；（3）1089【分析】根据题意列出代数式，按照题目中的步骤计算即可；【详解】根据①可设三位数为：，＞1，根据②可得：，根据③可得：，根据④得：，根据⑤得：，．【点睛】本题主要考查了整式的加减，准确分析计算是解题的关键．10．今年秋季，长白山土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满．设装运甲种土特产的汽车有x辆，装运乙种土特产的汽车有y辆，根据下表提供的信息，解答以下问题．（1）装运丙种土特产的车辆数为（用含x、y的式子表示）；（2）用含x、y的式子表示这10辆汽车共装运土特产的吨数；（3）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含x、y的式子表示）．【答案】（1）装运丙种土特产的车辆数为10-x-y；（2）这10辆汽车共装运土特产的吨数为60-2x-y；（3）销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为90000-4200x-4000y．【分析】（1）根据“装运丙种土特产的车辆数＝总汽车辆数10−装运甲种土特产的车辆数−装运乙种土特产的车辆数”列式表达便可；（2）根据“装运甲种土特产的每辆车运载重量×装运甲种土特产的车辆数＋装运乙种土特产的每辆车运载重量×装运乙种土特产的车辆数＋装运丙种土特产的每辆车运载重量×装运丙种土特产的车辆数＝10辆汽车共装运土特产的数量”列出代数式并化简便可；（3）根据“甲种土特产每吨利润×甲种土特产的总吨数＋乙种土特产每吨利润×乙种土特产的总吨数＋丙种土特产每吨利润×丙种土特产的总吨数＝总利润”列出代数式，并化简便可．【详解】（1）由题意得，装运丙种土特产的车辆数为：10−x−y（辆）答：装运丙种土特产的车辆数为（10−x−y）；（2）根据题意得：4x+5y+6(10-x-y)=4x+5y+60-6x-6y=60-2x-y答：这10辆汽车共装运土特产的数量为（60-2x-y）吨；（3）根据题意得：=4800x+5000y+90000-9000x-9000y=90000-4200x-4000y．答：销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为（90000-4200x-4000y）元．【点睛】本题主要考查了列代数式，正确理解各种数量关系之间的运算关系是列代数式的关键所在．11．小亮房间窗户的窗市如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）

（1）请用代数式表示窗帘的面积：______，用代数式表示窗户能射进阳光的面积：______（结果保留）（2）当，时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（取）（3）小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少？【答案】（1），；（2）窗户能射进阳光的面积是；（3）此时窗户能射进阳光的面积更大，比图1的大．【分析】（1）先根据圆的面积公式可求出窗帘的面积；再将长方形窗户的面积减去窗帘的面积即可得；（2）根据题（1）的结论，将a、b的值代入求解即可得；（3）根据题（1）的方法一样，列出代数式，再将两者进行比较即可得．【详解】（1）由圆的面积公式得：窗帘的面积为因为窗户能射进阳光的面积等于窗户的面积减去窗帘的面积所以窗户能射进阳光的面积为故答案为：，；（2）当，时答：窗户能射进阳光的面积是；（3）在图2中，窗户能射进阳光的面积为即此时窗户能射进阳光的面积更大此时窗户能射进阳光的面积比图1的大．【点睛】本题考查了列代数式、整式的加减，理解题意，正确列出代数式是解题关键．12．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：一次性购物优惠办法少于200元不予优惠低于500元但不低于200元九折优惠500元或超过500元其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠（1）王老师一次性购物600元，他实际付款元．（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款元，当x大于或等于500元时，他实际付款元．（用含x的代数式表示）．（3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？【答案】（1）530；（2），；（3）两次购物王老师实际付款为元【分析】（1）根据题意将600元分成两部分进行付款，其中500元部分打九折，剩下100元部分打八折，据此进一步计算即可；（2）根据题意，当x小于500元但不小于200时，整体打九折，据此求解即可；然后根据当x大于或等于500元时，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠进一步计算化简即可；（3）根据题意可知王老师前后两次购物货款为元以及元，然后按照相应的优惠政策进一步列出式子并加以化简即可.【详解】（1）（元），（2）当x小于500元但不小于200时，打九折，付款为：元，当x大于或等于500元时，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，付款为：元，故答案为：，；（3）由题意得：第一次购物货款为元，且，∴此时付款为：元，第二次购物货款为：元，且，∴此时付款为：元，∴两次购物王老师实际付款为：元，答：两次购物王老师实际付款为元.【点睛】本题主要考查了列代数式与整式的加减运算的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.13．今年秋季，斗门土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙，丙三种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一士特产，且必须装满，设装运甲种士特产的汽车有x辆，装运乙种特产的汽车有y辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：土特产种类甲乙丙每辆汽车运载量（吨）436每吨土特产获利（元）10009001600（1）装运丙种土特产的车辆数为辆（用含有x，y的式子表示）；（2）用含有x，y的式子表示这10辆汽车共装运土特产的数量；（3）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x，y的式子表示）．【答案】（1）(10﹣x﹣y)；（2）(60﹣2x﹣3y)吨；（3）(96000﹣5600x﹣6900y)元．【分析】（1）根据“装运丙种土特产的车辆数总汽车辆数装运甲种土特产的车辆数装运乙种土特产的车辆数”列式表达便可；（2）根据“装运甲种土特产的每辆车运载重量装运甲种土特产的车辆数装运乙种土特产的每辆车运载重量装运乙种土特产的车辆数装运丙种土特产的每辆车运载重量装运丙种土特产的车辆数辆汽车共装运土特产的数量”列出代数式并化简便可；（3）根据“甲种土特产每吨利润甲种土特产的总吨数乙种土特产每吨利润乙种土特产的总吨数丙种土特产每吨利润丙种土特产的总吨数总利润”列出代数式，并化简便可．【详解】解：（1）由题意得，装运丙种土特产的车辆数为：（辆故答案为：；（2）根据题意得，，答：这10辆汽车共装运土特产的数量为吨；（3）根据题意得，答：销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为元．【点睛】本题主要考查了列代数式和整式的加减应用，正确理解各种数量关系之间的运算关系是列代数式的关键所在．14．一个长方形一边长为，另一边长为.（1）用含有的式子表示这个长方形的周长；（2）若满足，求它的周长.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；（2）将（1）中的代数式变形，再把代入求解即可.【详解】（1）这个长方形的周长为化简得，；（2）当，满足时，它的周长等于=【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．如图，在一个长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛.若圆形的半径米，广场长为米，宽为米.⑴①广场的总面积为__________平方米；②每个花坛的面积为__________平方米；③广场空地的面积为__________平方米.⑵若广场的长为米，宽为米，圆形花坛的半径为米，求广场空地的面积（结果保留）.【答案】⑴①②③⑵平方米【分析】（1）①直接利用长方形面积公式计算；②利用圆面积公式计算，然后乘以；③利用总面积减去四个花坛的面积即可；（2）把代入计算，即可得到答案.【详解】解：（1）根据题意得：①；②；③；故答案为①；②；③；（2）当时，；∴广场空地的面积为：.【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是得到四个角的花坛的面积正好为一个圆的面积．16．如图,正方形ABCD的边长是a,正方形ECGF的边长是8.(1)用含a的式子表示三角形BFG的面积(2)用含a的式子表示阴影部分的面积,并求当a=4时,阴影部分的面积【答案】（1）；（2），当.【分析】（1）根据三角形的面积公式，即可求解；（2）根据割补法，用代数式表示阴影部分面积，再代入求值，即可.【详解】（1）；（2），当时，【点睛】本题主要考查用代数式表示几何面积问题和多项式的加减法法则，根据几何图形，用割补法求出阴影部分的面积是解题关键.17．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如下表：居民每月用电量单价（元/度）不超过50度的部分0.5超过50度但不超过200度的部分0.6超过200度的部分0.8已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：一月份二月份三月份四月份五月份六月份－50＋30－26－45＋36＋25根据上述数据，解答下列问题：（1）小刚家用电量最多的是月份，实际用电量为度；（2）小刚家一月份应交纳电费元；（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．【答案】(1)五、236;(2)85;(3)当0＜x≤50时，电费为0.5x元;当50＜x≤200时，电费为(0.6x－5)元;当x＞200时，电费为(0.8x－45)元【分析】（1）根据正负数表示的意义，进行计算即可；（2）根据收费标准，根据第二档计算即可求出费用；（3）分三种情况，列出代数式即可.【详解】解：（1）∵－50<－45<－26<＋25<＋30<＋36，∴小刚家五月份用电量最多，实际用电量为：200+36=236（度）；（2）∵一月份用电量为：200-50=150（度），∴应缴电费为0.5×50+0.6×(150-50)=85(元)；（3）当0＜x≤50时，电费为0.5x元；当50＜x≤200时，电费为0.5×50＋(x－50)×0.6＝25＋0.6x－30＝(0.6x－5)元；当x＞200时，电费为0.5×50＋0.6×150＋(x－200)×0.8＝25＋90＋0.8x－160＝(0.8x－45)元.【点睛】本题主要考查正负数的实际意义以及列代数式，弄清题意是解题的关键.18．某家具厂生产一种课桌和椅子课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子；方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款．某校计划添置100张课桌和x把椅子（x＞100）．（1）用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？（2）当x＝300时，通过计算说明该校选择上面的两种购买方案哪种更省钱？（3）若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），当x＝300时，请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需的费用．【答案】（1）方案一：80x+12000，方案二：64x+16000；（2）方案二比较省钱；（3）方案一购买100张桌子，再用方案二买200把椅子最省钱，所需费用为32800元【分析】（1）根据各自的优惠方案，用代数式表示所需费用即可；（2）当x＝300时，分别求出（1）中两个代数式的值，通过比较做出答案；（3）方案设计问题，可以两个方案结合在一起使用，先用方案一购买100张桌子，赠送100把椅子，再利用方案二买200把椅子比较省钱．【详解】案一购买100张桌子，再用方案二买200把椅子最省钱，所需费用为32800元解：（1）方案一：200×100+80×（x﹣100），即，80x+12000，方案二：200×80%×100+80×80%x，即，64x+16000，（2）当x＝300时，80x+12000＝36000元，64x+16000＝35200元，因此方案二省钱，答：方案二比较省钱．（3）使用方案一购买100张桌子，赠送100把椅子，再用方案二买200把椅子，200×100+80×80%×200＝32800元，答：用方案一购买100张桌子，再用方案二买200把椅子最省钱，