专题10 比较线段的长短(解析版)（重点突围）

专题10比较线段的长短考点一作线段（尺规作图）考点二线段的和与差考点三线段的应用考点一作线段（尺规作图）例题：（2022·山东烟台·期中）如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使．要求：不写作法，但要保留作图痕迹，标注大写字母．【答案】作图见解析【分析】根据线段的和差的尺规作图方法作图即可．【详解】解：如图所示，线段AB即为所求；先作射线AP，再以A为圆心，以线段a的长为半径画弧与射线AP交于点C，再以点C为圆心，以线段c的长为半径画弧交射线AP于D，再以D为圆心，以线段b的长为半径画弧交射线AP于E，最后以E为圆心，以线段b的长为半径画弧交射线AP于B，线段AB即为所求；【点睛】本题主要考查了尺规作图—线段的和差，熟知相关作图方法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·上海市罗南中学阶段练习）已知线段、，且（如图），画一条线段，使它等于．（不写画法或作法，保留画图或作图痕迹）【答案】见解析【分析】作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段，即可．【详解】解：如图，作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段，线段即为所求．【点睛】本题考查了作线段，线段的和差，数形结合是解题的关键．2．（2022·河北廊坊·七年级期末）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规在射线MH上作线段MP，使MP＝3b－a，不写作法，保留作图痕迹．【答案】见解析【分析】在射线MH上依次截取MA=AB=BC=b，再在CM上截取CP=a，则MP满足条件．【详解】解：如题所示：MP为所求．【点睛】本题考查了本题考查了尺规作图--简单作图，掌握尺规作图的基本方法是解答本题的关键．3．（2022·江苏扬州·七年级期中）如图，线段AB，请先画图再完成作答．(1)按要求作图：反向延长线段AB到点C，使，分别取AB、AC的中点D、E；(2)若，求DE的长，【答案】(1)画图见解析(2)3cm【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）先求出BC的长，再根据线段的中点的定义解答即可．（1）解：如图所示：（2）∵AB=2cm，∴AC=2AB=4cm，∴BC=AC+AB=4+2=6(cm)；∵E是AC的中点，∴CE=AE＝2cm；∵D是AB的中点，∴BD=AD=AB＝1cm，∴DE=AD+AE=3cm．【点睛】本题考查的的是作一条线段等于已知线段，线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的中点的含义与线段的和差关系”是解本题的关键．考点二线段的和与差例题：（2021·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）如图，已知线段AB＝12cm，点C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点．(1)若AC＝4cm，求DE的长；(2)若把“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”，当AC＝4cm时，求DE的长．（请画出图形，说明理由）【答案】(1)6cm(2)DE的长是6cm，图形、理由见解析【分析】（1）由AB＝12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE＝DC+CE＝6cm；（2）分两种情况：①当点C在线段AB上；②当点C在直线AB上；根据线段的中点与和差关系可得DE的长．（1）解：∵AB＝12cm，AC＝4cm，∴BC＝AB﹣AC＝8cm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC＝AC＝2cm，CE＝BC＝4cm，∴DE＝DC+CE＝6cm；（2）解：分两种情况：①当点C在线段AB上，由（1）得DE＝6cm；②当点C在直线AB上，如下图所示，BC＝AC+AB＝4+12＝16cm，∵AC＝4cm，且D是AC的中点，∴CD＝AC＝2cm，又∵E分别是BC的中点，∴CE＝BC＝8cm，∴DE＝CE﹣CD＝8﹣2＝6cm，∴当C在直线AB上时，线段DE的长度是6cm．综上所述，DE的长是6cm．【点睛】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．【变式训练】1．（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）如图，已知点C在线段AB上，点M，N分别在线段AC与线段BC上，且MC，BN＝2NC．(1)若AC＝9，BC＝6，求线段MN的长；(2)若MC：NC＝5：2，MN＝7，求线段AB的长．【答案】(1)8；(2)13.5．【分析】（1）由AC＝9及AM＝MC可求解CM的长，由BN＝2NC及BC＝6可求得CN的长，再利用MN＝CM+CN可求解；（2）由MC：NC＝5：2，MN＝7，可求解MC，CN的长，结合AM＝MC，BN＝2NC可求解AM，BN的长，利用AB＝AM+MN+BN计算可求解．（1）解：（1）∵AM＝MC，∴CM＝AC，∵AC＝9，∴CM＝6，∵BN＝2NC，∴CN＝BC，∵BC＝6，∴CN＝2，∴MN＝CM+CN＝6+2＝8；（2）解：∵MC：NC＝5：2，MN＝7，∴MC＝5，CN＝2，∵AM＝MC，BN＝2NC，∴AM＝2.5，BN＝4，∴AB＝AM+MN+BN＝2.5+7+4＝13.5．【点睛】本题主要考查了两点之间距离，熟练掌握两点间距离计算的方法进行计算是解决本题的关键．2．（2022·贵州·遵义市播州区新蓝学校七年级阶段练习）如图，已知B、C在线段AD上．(1)图中共有_____条线段；(2)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC_____BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．【答案】(1)6(2)①=；②AD＝20cm【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；（2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6．（2）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案为：＝．②∵BD＝4AB，AB＝CD，∴BC＝3AB，∵BC＝12，∴AB＝4，∴AD＝AB+BD＝4+4×4＝20（cm），【点睛】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．3．（2022·江苏扬州·七年级期末）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：(1)当AC＞BC时，点D在线段上；当AC＝BC时，点D与重合；当AC＜BC时，点D在线段上；(2)当AC＜BC时，若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．【答案】(1)AC，点C，BC(2)28cm【分析】（1）由“折中点”的定义判断（2）由“折中点”的定义判断D在BC上，列式计算即可（1）解：当AC＞BC时，由“折中点”的定义可知点D在线段AC上；当AC＝BC时，点D与点C重合当AC＜BC时，点D在线段BC上（2）如下图，∵E为线段AC中点∴AE=EC=8cm∴BD=AE+EC+CD=8+8+6=22(cm)∴CB=BD+DC=22+6=28(cm)【点睛】本题考查了线段的加减，理解新定义“折中点”并画出图形是解题关键．考点三线段的应用例题：（2022·全国·七年级专题练习）【操作】结合图形，完成以下填空：（1）点在线段AB上，如图1，图中有______条线段；（2）点，在线段AB上，如图2，图中有______条线段；（3）点，，在线段AB上，如图3，图中有______条线段；【猜想】点，，，……，在线段AB上，如图4，图中有___________条线段（用含n的代数式表示）【应用】春节期间，10位同学之间互通电话（每两位同学之间只通一次电话）祝福，求10位同学之间通电话的次数．【答案】操作：（1）3；（2）6；（3）10；猜想：；应用：45．【分析】操作：（1）直接由图即可求解；（2）直接由图即可求解；（3）直接由图即可求解；猜想：总结规律即可求解；应用：当n=8时，代入求值即可．【详解】解：操作：（1）点在线段AB上，如图1，图中有3条线段；（2）点，在线段AB上，如图2，图中有6条线段；（3）点，，在线段AB上，如图3，图中有10条线段；猜想：点，，，……，在线段AB上，如图4，图中有条线段；应用：（次）．答：10位同学之间通电话的次数为45．【点睛】此题主要考查从特殊到一般的数学思想，总结出规律是解题关键．【变式训练】1．（2022·河北石家庄·七年级期末）往返于A、B两地的客车,途中要停靠C、D两个车站,如图所示.则需要设定几种不同的票价?需要准备多少种车票?【答案】设定6种，准备12种车票.【分析】先求出线段条数，一条线段就是一种票价；考虑往返情况，乘以2就可以求解．【详解】总线段条数为3+2+1=6,所以需要设定6种不同的票价.因为同一段路,往返时起点和终点正好相反,所以需要准备12种车票.【点睛】本题考查线段的定义，解题的关键是掌握线段的定义，计算不要遗漏.2．（2020·山东聊城·七年级期中）如图，点，，在线段上．（1）图中共有几条线段？说说你分析这个问题的具体思路．（2）你能用上面的思路来解决“8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛”这个问题吗？【答案】（1）10，思路见解析；（2）28【分析】(1)从左向右依次固定一个端点A，B，C，D找出线段，最后求和即可；(2)设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，根据数线段的特点列出式子化简即可，把8位同学看作直线上的8个点即可得出结果．【详解】解：(1)共有10条线段，

以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD、AE，以点B为左端点向右的线段有线段BC、BD、BE，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CE，以点D为左端点的线段有线段DE，共有10条线段；(2)设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则倒序排列有，两式相加得=，把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行场比赛．【点睛】本题考查的是线段的计数问题，主要是数线段的技巧和方法，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．一、选择题1．（2022·上海理工大学附属初级中学期末）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（

）A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较【答案】B【分析】由AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，则AB>CD．【详解】∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，∴AB>CD．故选：B．【点睛】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．2．（2022·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学七年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从“A”处爬到“B”处（只能向上、向右爬行），爬行路线共有（）A．3条 B．4条 C．5条 D．6条【答案】A【分析】只能向上或向右走，就是最短的路线，可以用列举的方法进行求解．【详解】解：如图，根据规则可得：一共有3种不同的走法．故选：A．【点睛】本题考查了线段问题，利用求最短路线的方法：清晰的分类是解题的关键．3．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点为线段的中点，点为的中点，若，，则线段的长（

）A．7 B． C．6 D．5【答案】C【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案．【详解】解：∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝AB＝×16＝8，∵AD＝AE＋DE，DE＝AE，∴AE＋AE＝8，∴AE＝6，DE＝2，∵点C为DB的中点，∴CD＝BD＝×8＝4，∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，故选：C．【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．4．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，已知线段AB＝4cm，延长AB至点C，使AC＝11cm．点D是AB的中点，点E是AC的中点，则DE的长为（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【答案】B【分析】根据线段中点得出AD＝2cm，AE＝5.5cm，结合图形即可得出结果．【详解】解：∵AB＝4cm，点D是AB的中点，∴AD＝AB＝2cm．∵AC＝11cm，点E是AC的中点，∴AE＝AC＝5.5cm．∴DE＝AE－AD＝5.5－2＝3.5cm故选：B．【点睛】题目主要考查线段中点的计算，找准线段间的数量关系是解题关键．5．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（

）A．13cm B．6cm C．3cm D．1.5cm【答案】C【分析】首先根据题意，结合中点的性质，分别算出、的长，然后再根据线段之间的数量关系进行计算，即可得出结果．【详解】解：如图，∵cm，又∵的中点为，∴，∵cm，∵的中点为，∴，∴．故选：C【点睛】本题考查了中点的性质、线段的和、差关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题．6．（2022·云南·陆良县板桥镇第二中学七年级阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2017厘米的线段，则线段盖住的整点共有（

）个A．2018或2019 B．2017或2018 C．2016或2017 D．2015或2016【答案】B【分析】分线段的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度+1，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论．【详解】解：若线段的端点恰好与整点重合，则2017厘米长的线段盖住个整点，个整点，若线段的端点不与整点重合，则2017厘米的线段盖住2017个整点．∴2017厘米的线段盖住2017或2018个整点．故选：B．【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键．二、填空题7．（2022·山东·阳谷县阿城中学七年级阶段练习）从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有______种．【答案】10【分析】根据题意得出共有车票，根据往返两个站点的票价相同，即可求出有几种票价．【详解】解：由题意可知共有5个站点，∴共有种车票，但往返两个站点的票价相同，即有种票价，故答案为：10．【点睛】本题考查了有关线段、射线、直线的应用，主要考查学生的理解能力，本题用了排列和组合的内容．8．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）已知点是线段上的一点，且将线段分成3∶2两部分，点为线段的中点，，则线段的长为___________cm．【答案】或##15或10【分析】分两种情况：当时，当时，先利用线段中点求出的长度，得到的长度，即可求出答案．【详解】解：当时，如图，∵点为线段的中点，，∴，∵，∴，∴；当时，如图，∵点为线段的中点，，∴，∵，∴，∴；∴线段的长为或，故答案为：或．【点睛】此题考查了线段的中点定义，求图形中的线段长度，掌握图形中各线段的关系是解题的关键，注意分情况解答．9．（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）一条直线上有，，三点，，，点，分别是，的中点，则______．【答案】或【分析】因为直线上三点A、B、C的位置不明确，所以要分B在A，C两点之间和A在C、B两点之间两种情况，分别结合图形并根据中点的定义即可求解．【详解】解：根据题意由两种情况若B在A，C两点之间，如图：则,，(cm)；若C在A，B两点之间，如图：则，(cm)，故答案为：13cm或5cm．【点睛】本题主要考查了线段中点定义、线段的和差等知识点，根据题意正确画出符合题意的图形是解答本题的关键．10．（2022·山东·诸城市龙源学校七年级阶段练习）已知：线段AC和BC在同一直线上，如果AC＝10cm，BC＝6cm，D为AC的中点，E为BC的中点，则DE＝______．【答案】2cm或8cm##8cm或2cm【分析】根据题意分情况讨论A，B，C三点的位置关系，考查学生对图形的理解与运用，要考虑点B在线段AC上时和点B在线段AC的延长线上时．【详解】∵D为AC的中点，E为BC的中点，∴①如图，当点B在线段AC上时，依题意得，cm，

②如图，当点B在线段AC的延长线上时，依题意得，cm，

故答案为：2cm或8cm【点睛】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，数形结合分类讨论是解题的关键．11．（2022·广东·龙门县平陵中学七年级期中）把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB上取一点P，使AP：PB＝1：3，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为18cm，则三段绳子中最短的一段的长为_____．【答案】12cm或3cm##3cm或12cm【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到绳子对折成线段AB时，哪一点是绳子的端点或者哪一点是绳子的对折点的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题．【详解】解：如图，∵AP：PB＝1：3，∴2AP＝PB＜PB，①若绳子是关于A点对折，∵2AP＜PB，∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB＝18cm，∴三段绳子中最短的一段的长为：2AP＝＝12（cm）；②若绳子是关于B点对折，∵AP＜2PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB＝18cm，∴PB＝9cm，∴AP＝＝3（cm），故答案为：12cm或3cm【点睛】本题考查了线段的和差倍份，在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，学会分类讨论是解题的关键．12．（2022·山东威海·期末）如图，点，点在线段上，点，点分别为，的中点．若，，则的长为________．【答案】m+n【分析】先根据中点的定义可得EC=AC、DF=BD，再根据线段的和差可得AC+BD=AB-CD=m-n，最后根据=EC+CD+DF求解即可．【详解】解：∵点、点分别为、的中点∴EC=AC,DF=BD∵，∴AC+BD=AB-CD=m-n∴=EC+CD+DF=AC+CD+BD=(AC+BD)+CD=(m-n)+n=m+n．故答案为m+n．【点睛】本题主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，通过识图、明确线段间的关系成为解答本题的关键．三、解答题13．（2022·湖南·双牌县第一中学九年级阶段练习）如图，已知点C是线段上的点，D是延长线线上的点，且，，，求的长.【答案】【分析】根据，，可求出的长，即可得的长，根据，可求出的长，即可得．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了线段的和差倍分和线段上两点间的距离的计算，解题的关键是掌握这些知识点，求出线段的长．14．（2022·广东广州·七年级期末）如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上一点，AC＝4cm，M是AB的中点，N是AC的中点．求：(1)线段CM的长；(2)求线段MN的长．【答案】(1)1cm(2)3cm【分析】（1）根据M是AB的中点，求出AM，再利用CM＝AM−AC求得线段CM的长；（2）根据N是AC的中点求出NC的长度，再利用MN＝CM＋NC即可求出MN的长度．（1）解：AB＝10，M是AB的中点，AM＝5，又AC＝4，CM＝AM﹣AC＝5﹣4＝1（cm）．线段CM的长为1cm；（2）解：N是AC的中点，NC＝2，MN＝NC＋CM，2＋1＝3（cm），线段MN的长为3cm．【点睛】本题主要考查两点间的距离，线段中点的运用，知道线段的中点把线段分成两条相等的线段是解题的关键．15．（2021·贵州毕节·七年级阶段练习）（1）如图，已知平面内A、B两点用没有刻度的直尺和圆规按下列要求尺规作图，并保留作图痕迹①连接AB；②反向延长线段AB到C，使AC＝AB；③延长线段AB到D，使AD＝3AB．（2）若点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，AB＝4cm，求线段EF、CD的长度，并说明线段EF、CD的数量关系．【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）EF＝8cm，CD＝16cm，CD＝2EF【分析】（1）根据要求作图即可．（2）根据线段中点的定义可得出答案．【详解】解：（1）①如图，线段AB即为所求．②如图，线段AC即为所求．③如图，线段AD即为所求．（2）∵AB=AC=4cm，AD=3AB=12cm，点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，∴AE=2cm，AF=6cm，∴EF=AE+AF=8cm，CD=AC+AD=16cm，∴CD=2EF．【点睛】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段等知识，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义．16．（2022·河南周口·七年级期末）如图，已知射线AD，线段a，b．(1)尺规作图：在射线AD上作线段AB，BC，使，．（保留作图的痕迹，不要求写出作法）(2)若cm，cm，求线段AC的长．【答案】(1)见解析(2)8cm或2cm【分析】（1）分两种情况在射线AD上作线段AB，BC，使AB＝a，BC＝b；（2）结合（1）根据a＝5cm，b＝3cm，即可求线段AC的长．（1）解：如图，线段AB，BC（或）即为所求；，（2）解：由图可得AC＝a＋b＝8cm，或A＝a−b＝2cm．【点睛】本题考查了作图−基本作图，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法．17．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）如图，已知D为AB的中点，AC的长为6，CD的长为1．(1)求AB的长度；(2)若点E为BC中点，试求DE的长度．【答案】(1)10(2)3【分析】（1）根据AC和CD得到AD，再根据中点的定义求出AB；（2）先求出BC，根据中点的定义得到CE，再加上CD即可得到DE．（1）解：∵AC=6，CD=1，∴AD=AC-CD=5，∵点D为AB中点，∴AB=2AD=10；（2）∵AB=10，AC=6，∴BC=AB-AC=4，∵E为BC中点，∴BE=CE=2，∴DE=CD+CE=1+2=3．【点睛】本题考查了中点的定义，线段的和差，解题的关键是掌握中点平分一条线段．18．（2022·上海理工大学附属初级中学期末）根据所示图形填空，已知：线段a、b，且a＞3b，画一条线段，使它等于a﹣3b．(1)画射线_____；(2)在射线_____上，截取______＝a；(3)在线段______上，顺次截取______＝______＝_______＝b；线段______就是所要画的线段．【答案】(1)AF(2)AF，AB(3)BA，BC，CD，DE，AE【分析】结合图形，根据作图步骤，利用线段的和差定义求解即可．（1）解：画射线AF，故答案为：AF；（2）解：在射线AF上，截取AB＝a，故答案为：AF，AB；（3）解：在线段BA上，顺次截取BC＝CD＝DE＝b；线段AE就是所要画的线段，故答案为：BA，BC，CD，DE，AE．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝AB，此时点C就