新湘教版七年级上册数学培优讲义

七年级上册有理数第一讲有理数益思对话认识数学领域中的中国面孔“一个国家只有数学蓬勃开展，才能表现它的国力强大。”——〔法〕拿破仑自1840年鸦片战争始，腐败的清王朝屡次对外战争的失败，致使国门洞开，一次次丧权辱国的割地赔款，使国人清醒地认识到西方世界科学技术之强大，而科学技术的强大又是建立在根底科学的强大之上，而根底科学的语言与工具之一就是数学，虽然，中华民族有着渊远博大、自成一派的数学体系，甚至从公元一世纪至十一世纪初长达一千多年的时间里傲立于世界数学之巅，但随着十四世纪中叶明王朝建立之后，统治者奉行八股文的科举制度，在国家科举考试中大幅度削减数学内容，自此中国古代数学开始全面衰弱，而几乎与此同时，西方世界正值文艺复兴时期，崇尚科学之风盛行，近代高等数学也在这种气氛中开始萌芽、开展、壮大，并为科学技术的开展提供了强有力的工具，而我国直至十九世纪末才开始近代高等数学的学习与研究，虽然经过几代数学工作者的奋力追赶，但时至今日仍能深切感受到与西方兴旺国家之间不小的差距，世界著名华人数学家、沃尔夫奖获得者陈省身曾说，我所做的一切只为实现一个理想——使中国成为21世纪数学大国，正是这种共同理想的鼓励之下，一批又一批志士仁人前赴后继投身其中。益思互动1.整数和分数统称为有理数。2.有理数还可以这样定义：形如〔其中均为整数，县〕的数是有理数，这种表达形式被用来证明或判断某个数是不是有理数。3．有理数的数系表：4．有理数可以用数轴上的点表示。5．零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。6．如果两个数的和为0，那么称这两个数互为相反数，如果两个数的积为1，那么称这两个数互为倒数。7．有理数的运算法那么：〔1〕加法：两数相加，同号的取原来的符号、并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0；一个数与0相加，仍得这个数。〔2〕减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。〔3〕乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘，积为0。乘方：求个相同因数口的积的运算称为乘方，记为。〔4〕除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。益思练场1．以下说法中，正确的选项是〔〕A．负数和负分数统称为有理数B．正分数、负分数统称为分数C．正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D．0不是有理数2．把以下各数填相应的大括号里：正整数的有：{}；负整数的有：{}；正分数的有：{}；负分数的有：{}。3．数轴上原点及其左边的点表示是〔〕A．负整数B．正整数C．负数D．负数和04．如以下图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，假设点C表示的数为1，那么点A表示的数为〔〕A.B.C.D. 5．数轴上到原点的距离为2的点所表的数是。6．请你指出以下图中哪些不是数轴？并说出你判断的理由。益思精析类型一：有理数的概念【例1.1】有如下四个命题：①有理数的相反数是正数；②负数与正数的和为零；③两个负有理数的比值是正数；④两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和。其中真命题有〔〕A．4个 B．3个C．2个 D．1个【例1.2】一组数按规律依次为：〔1〕请猜测：依此规律=；〔2〕如果我们定义一种新运算；。【变式1】定义一种对正整数的“F运算”： ①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为〔其中k是使为奇数的正整数〕，并且运算重复进行，例如，取=26，那么假设，那么第449次“F运算”的结果是。类型二：比拟大小【例2】比拟与的大小【变式2.1】有理数满足，那么中最大数是，最小数是。【变式2.2】以下说法正确的选项是〔〕A．“黑”和“白”是具有相反意义的量 B．“快”和“慢”是具有相反意义的量C．“向北走4.5m”和“向南走8m”是具有相反意义的量D．“+15m”就表示向东走15m【例3.1】有如下4个判断性语句：①符号相反的数互为相反数；②任何有理数的绝对值都是非负数；③一个数的相反数一定是负数；④如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数，其中正确的有〔〕个。A．1 B．2 C．3 D．4【变式3.1】数在数轴位置如以下图所示，那么大小顺序为。〔用不等号连接〕【变式3.2】有理数等于它的倒数，有理数等于它的相反数，那么类型二：科学计数法【例4.1】据统计全球每分钟大约会有340000名婴儿诞生，婴儿出生数用科学计数法可表示为名。【例4.2】尽管受到国际金融危机的影响，但长沙市经济依然保持了平衡增长，据统计，截止到今年4月底，我市金融机构存款余额约为1193亿元，用科学记数法应记为〔〕A．元B．元C．元D．元【变式4】横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥〔ShellzhenBayBridge〕是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长4770米，这个数字用科学计数法表示为〔保存两个有效数字〕〔〕A．B．C． D．【例4.3】一个四位数的正整数用科学计数法，在保存三位有效数字以后为，那么满足该条件的四位数有〔〕个。A．8B．9C．10D．11【变式4.1】一个五位数的正整数用科学计数法，在保存三位有效数字以后为，那么满足该条件的五位数有个。类型三：找规律【例5】观察下面一组数据，探求其规律：〔1〕写出第7、8、9项的三个数；〔2〕第2010个数是什么？〔3〕如果这一组数据无限排列下去，与哪两个数越来越近？【变式5】时，；当时，；当时，；….那么的值为。益思拓展A．夯实根底1．如果两个数的和为正数，那么〔〕A．这两个数都是正数B．一个数为正，一个数为0C．两个数一正一负，且正数绝对值大D．必属上面三种之一2．以下说法正确的选项是〔〕A．负数没有倒数B．大于1的正数的倒数比自身小C．任何有理数都有倒数D．的倒数是3．某市水质检测部门2008年全年共监测水量达万吨，将数字用科学记数法〔保存两位有效数字〕表示为〔〕A. B．C．D．4．今年某市约有名应届初中毕业生参加中考，用科学记数法〔〕A．B．C．D．B．能力拓展5．一个数的平方是，这个数的立方是〔〕A． B．C．或 D．或6．有如下三个结论甲：中至少有两个互为相反数，那么；乙：中至少有两个互为相反数，那么；丙：中至少有两个互为相反数，那么。其中正确结论的个数是〔〕A． B．C． D．7．如果一个有理数的偶次幂是正数，那么这个有理数〔〕A．一定是正数B．一定是负数C．是正数或是负数D．可以是任意的有理数8．甲数是的相反数，乙数比甲数的相反数大，那么乙数比甲数大。C．综合创新9．在等式□□的两个方格内分别填一个数，使这两个数互为相反数且等式成立，那么第一个方格内的数是。10.互为相反数,互为倒数，的绝对值等于3，求的值。aadbec在五环图案内，分别填写五个数,如图,其中是三个连续偶数225476〔〕,是两个连续奇数()，且满足,例如，请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入以下图：12．互为相反数，互为倒数，且。13．三个互不相等的有理数，既可以表示为的形式，也可以表示为的形式，试求的值。

第二讲数形结合话数轴益思对话笛卡尔〔ReneDescartes,1596-1650〕，法国数学家，笛卡尔在数学上的最大奉献是提出了解析几何学的主要思想和方法，并指明了其开展方面，他在《几何学》中，将逻辑、几何、代数方法结合来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的轮廓，从此，数和形就走到了一起。数形结合切换体验想体验一下数形相结合吗？问题是笛卡尔与欧拉都研究过的，你想试一试吗？如图，四个图都称作平面图，观察图和表中对应数值，探究其中的规律并作答。〔1〕数一数每个图各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少区域，并将结果填入表中〔其中已填好〕。〔2〕根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系。数学符号的严历在和科学的开展过程中，人类创造了用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性。纵观历史，数学的开展创造了数学符号，新的教学符号的使用又反过来促进了数学的开展，历史就是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步继续走下去，数学的每个进步都伴随着新的数学符号的产生。“+”是15世纪德数数学家魏德美创造的，它的意思是：在横线上加上一竖，表示增加。“－”也是德国数学家魏德美创造的，它的意思是：从加号中减去一竖，表示减少。“×”是18世纪美国教学家欧德莱最先使用的，它的意思是：表示增加的另一种方法，因而把加号斜过来写。“÷”是18世纪瑞士人哈纳创造的，它的含义是分解的意思，因此用一条横线把两个圆点分开。“=”是16世纪英国学者列科尔德创造的，列科尔德认为世界上再也没有比这两条平行且相等的直线更相同的东西了，所以用来表示两数相等。17世纪初，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中，第一次使用“”表示根号。17世纪德国数学家莱布尼茨在几何学中用“∽”表示相邻似，用“≌”表示全等。益思互动为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的在关模型，如直尺，杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴(numberaxis)模型，数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象。数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来。数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想——数形结合思想。利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要表达在：1．运用数轴直观地表示有理数(rationalnumber)；2．运用数轴形旬地解释数相反数(oppositenumber)；3．运用数轴准确地比拟有理数的大小；4．运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题。益思练场1．的值是〔〕A． B．C． D．2．假设，那么以下不等式中，成立的是〔〕A． B．C． D．3．实数、在数轴上的位置如下图，那么以下各式中，正确的选项是〔〕A． B．C．D．4．如图，在数轴上表示到原点的距离为个单位长度的点是〔〕A．点D B．点AC．点A和点DD．点B和点C5．假设，那么等于〔〕A．0 B．C． D．以上答案都不对6．绝对值小于的整数有〔〕A．个 B．个C．个 D．个7．假设,那么的值为〔〕A．B．C． D．8．如果与1互为相反数，那么等于〔〕A． B．C． D．9．实数、在数轴上的位置如下图，那么以下结论中，正确的选项是〔〕 B．C．D．益思精析类型一：绝对值的几何意义【例1】〔1〕数轴上有A、B两点，如果点A对应的数是，且A、B两点的距离为，那么点B对应的数是。〔2〕点A、B分别是数，在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到A＇B＇，且线段A＇B＇的中点对应的数是，那么点A＇对应的数是，点A移动的距离是。【变式1.1】将，，，，按从小大的顺序排列，并用“<”连接：.【变式1.2】把满足中的整数表示在数轴上，并用不等号连接。【变式1.3】2008年8月8日，第29届奥运会在北京开幕，5个城市的国际标准时间〔单位：时〕在如图的数轴上表示，那么北京时间2008年8月8日20时应是〔〕。A．伦敦时间2008年8月8日11时B．巴黎时间2008年8月8日13时C．纽约时间2008年8月5时D．首尔时间2008年8月8日19时【例2】阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数、，A、B两点之间的距离表示为|AB|,当A、B两点中有一点在原点时，不防设点A在原点，如图①，|AB|=|OB|；当A、B两点都不在原点时：〔1〕如图②上，点A、B都在原点的右边，|AB|=|OB||OA|；〔2〕如图③，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB||OA|；〔3〕如图④，点A、B都在原点两边|AB|=|OA|+|OB.综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|.答复以下问题：〔1〕数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是；〔2〕数轴上表示和的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么为；〔3当代数式取最小值时，相应的的取值范围是。【变式2.1】如以下图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数、、，那么表示〔〕A.A、B两点间的距离B.A、C两点间的距离C.A、B两点到原点的距离之和D.A、C两点到原点的距离之和【变式2.2】求的最小值。【变式2.3】假设，那么。【变式2.4】设，那么下面四个结论中正确的选项是〔〕。A．没有最小值B．只有一个使取最小值C．有有限个使取最小值D．有无限多个使取最小值类型二：绝对值的应用【例3】李明家在一条东西走向的街道上，他家东面100米处有一家超市A，西面600米处有一家医院B，李明在东面离家800米的学校C上学，假设李明家为原点，向东为正方向，以100米为单位长度，画出数轴。〔1〕超市A、医院B、学校C各表示的数是多少？〔2〕超市A到医院B的路程是多少？〔3〕一天李明从家去医院打针，然后赶回学校上课，最后回家，李明这天所走的路程是多少？【变式3.1】按照要求在数轴上完成点的移动，并说明移动后的点所表示的数。〔1〕点A在数轴上表示的数是，将点A向右移动个单位长度，点S表示的新数是多少？如图〔1〕，数轴上A、B两点所表示的有理数的和是。实数、在数轴上的位置如图〔2〕所示，那么以下结论正确的选项是〔〕A．B．C．D．【变式3.2】在数轴上和有理数、、对应的点的位置如以下图所示。有下面四个结论：①;②；③；④，其中，正确的结论有〔〕。A．4个 B．3个C．2个 D．1个【变式3.3】、为理数，且将四个数按由小到大的顺序排列是。【变式3.4】两数、，如果比大，试判断与的大小。类型三：数轴与绝对值【例4】，且，那么。【变式4.1】，求的值。【变式4.2】，求的值。【变式4.3】：，在数轴上给出关于、的四种情况如下图，那么成立的是，〔写出所有正确的序号〕【例5】电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步由向左跳一个单位，第二步由向右跳两个单位到，第三步由向左跳三个单位到，第四步由向右跳四个单位到……按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数。【变式5】〔1〕工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？〔2〕如果工作台由5个改为6个，那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短？〔3〕当流水线上有个工作台时，怎样放置工具箱最适宜？益思拓展A．夯实根底1．〔1〕如果数轴上一点A所表示的数是3，那么与点A相距4个单位的点所表示的数是。〔2〕数轴上，在表示到的点之间，表示整数的点共有个，在表示到的点之间，表示整数的点总共有个。2．如以下图，数轴上A、B两点分别对应实数、，那么以下结论正确的选项是〔〕 B．C． D．3．、在数轴上的位置如下图，把、、、按照从小到大的顺序排列，并用“<”连接起来。4．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边处，玩具店在书店东边100处，小明从书店沿街向东走了，接着又向东走了，此时小明的位置在〔〕A．文具店B．玩具店C．文具店西边D．玩具店东边B．能力拓展5．试求的最小值。6．假设，那么使成立的的取值范围是。7．父亲是儿子现在年龄时，儿子已经10岁了，当儿子是父亲现在年龄时，父亲将82岁，问父子相差几岁？.数轴上有A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么点B对应的数是。C．综合创新9．，比拟与的大小。10．，那么。11．假设，那么使成立的的取值范围是。

12、在某寄宿制中学，有十位同学要去洗衣服，而洗衣服的地方只有一个水龙头，每次只能让一位同学洗衣服，其他同学得等待，这十位同学洗衣服所花的时间分别是现在要你帮他们安排一下洗衣服的顺序，使得他们等待的时间总和最小，怎样安排？最少等待时间为多少？13．在数轴上，N点与原点的距离是N点与30所对应的点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是多少？

第三讲绝对值益思对话马丁·加德纳(MartinGardner,1914-)，当代美国作家，《科学美国人》杂志的主编，他以撰写趣味数学文章而闻名于世，有“数学园丁”、“数学传教士”的美称，《科学美国人》杂志数学游戏专栏20余年的连载文章，使他成为“数学神庙的守护神”，著有《数学游戏》、《啊哈！灵机一动》等。茶杯与硬币这是一道如今称为“急转弯”的问题，它自身的喻义已打破人们传统的思维，而向着诡辨方向开展，这也许正是灵机一动！【题】如图，四枚硬币放在三只玻璃杯中，使每只玻璃杯中的硬币数都是奇数。【解】奇数个奇数和仍是奇数，这样的问题似乎无解，但请你注意下面的解法——将其中两只玻璃杯摞起来，就找到答案了。〔注：此题还有其他解答，读者不妨一试〕。益思互动1．在数轴上，数对应的点与原点的距离称为数的绝对值，记作。2．任何一个数的绝对值都是非负数，也就是说，任何一个数的绝对值都不小于零，即。3．任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且。4．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.两个负数，绝对值大的反而小；两个数，假设绝对值相等，那么这两个数可能相等，也可能互为相反数。6．常用公式：；；在数轴上，的意义是数对应的点与原点的距离；的意义是数对应的点与数的对应点之间的距离。益思练场1．在以下语句：①是相反数；②与互为相反数；③是的相反数；④和互为相反数；⑤0的相反数是0，其中正确的选项是〔〕A．①② B．②③⑤C．①④⑤ D．③④⑤2．一个数的相反数小于它本身，这个数是〔〕A．有理数 B．正数C．负数 D．零3．假设,b互为相反数，且，那么有〔〕A．B．C．D．4．在所有的有理数中，绝对值最小的是。5．在数轴上，与表示5的点的距离等于10的点有个，它们表示的数分别是。6．当时，；假设，那么为。7．化简的结果是〔〕A． B.C． D．益思精析类型一：去绝对值问题【例1】三个数、b、c在数轴上的对应的点如下图，化简【变式1.1】化简：【变式1.2】、、在数轴上表示的数如图年示，请化简：类型二：求值问题【例2】,且，那么为。【变式2】的值等于。类型三：非负数问题【例3】假设与互为相反数，求的值。【变式3】如果|，那么方程的解是。类型四：分类讨论问题【例4】、、满足，且，那么代数式的值为。【变式4】假设，那么不能等于，，，这四个数中的〔〕A．B．C．D．类型五：几何意义问题【例5】具有非负性，其最小值为了，试探究为有理数时，有没有最小值？如果有，求出这个最小值；如果没有，请说明理由。【变式5】代数式的最小值为。【变式5.1】试求的最小值。类型六：条件绝对值问题【6】、、、是有理数，，且，那么。【变式6】,且，那么。益思拓展A．夯实根底1．的值是〔〕A． B．C． D．2．数是〔〕A．正数 B．负数C．非正数 D．零3．假设为有理数，那么以下说法中，正确的选项是〔〕A．的值是正数B．的值是负数C．的值是正数D．的值小于1B．能力拓展4．使代数式的值为正整数的值是〔〕A．正数 B．负数C．非零的数 D．不存在的5．的相反数是最大的负数，的绝对值是最小的正整数，那么。6．、、为有理数，且，求的值。如果，，那么的绝对值等于。C．综合创新8．假设，那么以下不等式中，成立是〔〕A． B．C． D．9．，且，求的值。10．、、都是负数，并且，那么是〔〕A．负数 B．非负数C．正数 D．非正数

11．假设，那么.12．试求的值。13．为四个连续的正整数，在它们之间添加上“+”，“—”符号，并依次计算，所得可能的最小非负数是多少？假设只能用“—”和绝对值，但不需要依次〔自然顺序〕，那么所得的最小非负数是多少？

第四讲有理数及其运算益思对话数学中的两大“诺贝尔奖”大家都知道诺贝尔奖中没有数学这个科学之王的份额，这无疑使在数学中取得成就的人失去了受表彰的时机，正是在这种情况下，世界上先后树起了两个数学大奖：一个是四年颁发一次的菲尔兹奖，另一个是每年颁发的沃尔夫大奖，这两个奖项被人们称为“数学中的诺贝尔奖”。菲尔兹奖菲尔兹奖是用已故加拿大数学家、教育学家J.C菲尔兹的姓氏命名的，为了使北美洲数学迅速开展并赶上欧洲，他第一个在加拿大推进研究生教育，并全力筹备和主持了1924年在多伦多召开的第届国际数学家大会，这是在欧洲之外召开的第一次国际数学家家大会，正是这次大会使他过分劳累，从此健康状况再也没有好转，当他得知这次大会的经费有结余时，就萌发了把它作为基金设立一个国际数学奖的念头，他为此积极奔波于欧美各国谋求广泛支持，并打算于1932年在苏黎民召开的第九届国际数学家大会上亲自提出建议，但不幸的是未等到大会开幕他就去世了，他立下遗嘱，把自己留下的遗产加到上述剩余的经费中，第九届国际数学家大会立即接受了这一建议，为赞菲尔兹的远见卓识，组织才能和他为促进数学事业的国际交流的所表现的无私奉献的伟大精神，大会一致同意将该奖命为“菲尔兹奖”。它的产生很特点：数学界的国际权威学术团体——国际数学联合会主持，从全世界第一流40岁以下的数学家中评选；在每隔4年召开一次的国际数学大会上隆重颁奖，开始时每次获奖者只有2人，1965年，得到一位不希望透露姓名的人的赞助后而从1966年起获奖者增加到2～4人，因此获奖的时机比诺贝尔和沃尔夫奖还要少；获奖者是当时最著名的、成果最卓著的数学家。沃尔夫奖1976年1月1日，沃尔夫及其家族捐献1000万美元成立了沃尔夫根底会，其宗旨主要是为了促进全世界科学艺术的开展。沃尔夫1897年生于德国，其父是德车汉诺威城的一位五金商人，也是该城犹太社会的名流，沃尔夫曾在德国研究化学，并获得博士学位，第一次世界大战前，他移居古巴，他用近20年的时间，做了大量实验，历近艰辛，成功地创造了一种熔炼废渣回收铁的方法，从而成为万百富翁，1961～1973年，他曾任古巴驻以色列大使，他沃尔夫基金会的倡导者和主要捐献人，活尔夫于1981年逝世。沃尔夫基金会的理事会主席由以色列政府官员担任，评奖委员会由世界著名的科学家组成，以前沃尔夫基金会只设数学、物理、化学、医学、农业5个奖，后增设艺术奖，于是现在有6个奖，1978年开始颁发，通常是每年颁发一次，由于沃尔夫数学关具有终身成就奖的性质，所以获奖的数学家都是蜚声数坛的当代数大师，他们的成就在相当程度上代表了当时数学的水平和进展。一、有理数的运算归根结底是运用符号法那么，确定结果的符号后再运算各项的绝对值是根本法，在有理数的运算过程中，虽然掌握运算法那么是关键，但是由于题目的种类繁多，特点不一，别是有些数学竞赛题，往往数值大，项数多，次数高，显得很复杂，其实大多数有隐含的某种规律，因此运算技巧不可无视，而技巧来自细心的观察和大胆的探索，有理数满足的运算律：①加法交换律：；②加法结合律：；③乘法交换律：；④乘法结合律：；⑤乘法对加法的分配律：。二、有理数的运算是代数的重点，也是难点。对于数学这门根底性很强的学科，学会巧算，有利于打牢根底，提高代数解题能力，培养我们思维的灵活性和敏捷性。有理数的计算常用的技巧与方法有：1．拼凑法；〔1〕一般把同号的数加在一起；〔2〕遇到分数可反分母相同的结合起来相加；〔3〕遇到小数应当把当中相加得整数的小数结合起来；〔4〕代数和为零的数加在一起；〔5〕遇到因数是分数时，可把便于约分的因数结合在一起；〔6〕遇到因数是小数时，可把相乘得整数的因数结合在一起。2．活用分配律：〔1〕遇到个分母不同的分数的代数和乘以一个数时，假设通分较繁，可分配律简化计算；〔2〕遇到个积的代数和，而每个积里恰好有相同的因数，可逆用分配律使计算简化。3．数列求和。益思练场1．写成省略加号和括号的形式后为的式子是〔〕A．B．C．D．2．有理数、在数轴对应的位置如图1-5所示，那么的值〔〕大于0B．小于0C．等于0D．大于3．一只蚂蚁从某点M出发，在一条直线上来回爬行，把它向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各路路程分别为：cm，cm，cm，cm，cm，cm，cm。〔1〕这只蚂蚁最后是否回到出发点M？〔2〕蚂蚁离出发点M最远时是多少？4．假设干个不等于0的有理数相乘，积的符号〔〕A．由因数的个数决定B．由正因数的个数决定C．由负因数的个数决定D．由负因数和正因数的个数决定5．假设两个有理数的和与它们的积都是正数，那么这两个数〔〕A．都是正数B．是符号相同不为0的数C．都是负数D．都是非负数6．计算：益思精析类型一：加减运算问题【例1】【变式1】类型二：乘除运算问题【例2】计算：【变式2】类型三：裂项相消问题【例3】【变式3.1】【变式3.2】类型四：数列求和问题【例4】【变式4.1】【变式4.2】〔为自然数〕类型五：整体相除问题【例5】【变式5】类型六：乘法运算问题【例6】【变式6.1】。【变式6.2】计算的结果为。益思拓展A．夯实根底1．甲数减去乙数的差与甲数比拟，必为〔〕A．差一定小于甲数B．差不能大于甲数C．差一定大于甲数D．差的大小取决于乙是什么样的数2．B．能力拓展6.8.用简便方法计算.

10..C.综合创新.12.、互为相反数，、互为倒数，试求的值。14．试求的值。代数式第五讲从数到式益思对话G·波利亚〔Georgepolya,18871985〕，著名美国数学家和数学教育家1976年中选美国国家科学院院士，其烽学研究涉及复变函数、概率论、数论、教学分析、组合数学等众多领域长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，这方面的名著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜测》等，它们被译成多种文字，广为流传。算式的规律一次数学课上，俄国数学家拉钦斯基讲完正课内容，看看还有些时间，便即兴在黑板上写了下面一串算式：1 =133+5=237+9+11=3213+15+17+19=53“谁能看出这些算式里有些什么规律？”拉钦斯基写完算式便向他的学生发问，不一会儿，学生们一一讲出自己的发现。“非常棒！”拉氏称赞道：“规律正是如此，请问，谁能说出它的道理？”教室里鸦雀无声，〔你也想试一试吗？〕“第k个等式的起止项谁能说说？”拉氏又问道。好一阵后，一个男孩举起了手说：“它从第个奇数起，到个奇数止。”“很好！”拉氏鼓励道，接着他又补充说：“，而，这样第个等式的左边为。”说着他在黑板上写道：“利用上面一串等式，我们还可以推导出的求和公式，这个留给大家去考虑。”益思互动“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra)可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”，著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不同词句而只用符号所构成的语言。”用字母表示数是数学开展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类开展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式(algebraex-pression)，求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。益思练场1．假设“！”是一种数学运算符号，并用1！=1，2！=2×1，=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，那么的值为〔〕A． B．99！C．9900 D．2！2．某种长途的收费方式如下：接通的第一分钟收费元，之后的每一分钟收费元，如果某人打该长途被收费元，那么此人打长途的时间是〔〕A．分钟 B．分钟C．分钟 D．分钟3．某商品原价为元，春节促销，降价20%，如果节后恢复到原价，那么应将现售价提高〔〕A．15% B．20%C．25% D．30%针对药品市场价格不标准的现象，药监部门对局部药品的价格进行了调整，某药品原价为，经过调整后，药价降低了60%，那么该药品调整后的价格为元。按程序→平方→→→进行运算，结果用的代数式表示是。〔填人运算结果的最简形式〕6．是整数，现在有两个代数式：〔1〕；〔2〕，其中，能表示“任意奇数”的〔〕A．只有〔1〕 B．只有〔2〕C．有〔1〕和〔2〕D．一个也没有益思精析类型一：定义新运算【例1】规定，试计算[][]的值。【变式1.1】在数的原有运算法那么中，我们补充定义新运算“”如下：当时，,当时，,那么当时，〔〕()的值为(“”和“”仍为有理数运算中的乘号和减号)。【变式1.2】现规定一种新的运算“*”：=，如==，那么〔〕A． B．8C． D．类型二：用字母表示数量关系【例2】某商店进了一批奥运“福娃”小头饰，每件“福娃”小头饰的进价为元，假设要获利20%，那么每件“福娃”小头饰的零售价应定为〔〕A．(元)B．〔元〕C．〔元〕D．〔元〕【变式2.1】浓度为的盐水公斤与浓度为的盐水公斤混合后的溶液浓度是()A.B.C.D..【变式2.2】某商场经销一批电视机，进价为每台元，原零售价比进价高%，后根据市场变化，把零售价调整为原零售价的%，调整后的零售价为每台()元。A．B．C．D．类型三：算式的规律【例3】有一组是单项式：请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为。【变式3.1】瑞士中学教师巴尔未成功从光谱数据中得到巴尔末公式，从而翻开了光谱微妙的大门，请按这种规律写出第七个数据是。【变式3.2】一列数：将这列数排成以下形式。第1行第2行第3行第4行第5行……按照上述规律排下去，那么第10行从左边第5个数等于。类型四：密码学中的规律【例4】为确保信息平安，信息需加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密复原为明文，某种加密规那么为：明文对应的密文为，，例如，明文，对应的密文是，，当接收方收到密文是时，解密得到的明文是〔〕A． B．C．1 D．【变式4.1】在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将英文26个字母〔不管大小写〕依次对应1，2，3，…，26这26个自然数〔见表格〕，当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号.字母abcdefghijklm序号12345678910111213序号nopqrstuvwxyz序号14151617181920212223242526按上述规定，将明码“love”译成密码是〔〕A．gawq B．shxcC．sdri D．love【变式4.2】为确保信息平安，信息需要加密传输，发送方由明文→密文〔加密〕，接收方由密文→明文〔解密〕，加密规那么为：明文、、对应的密文为，，，例如明文1,2,3对应的密文为2,8,18。如果接收方收到密文7，18，15，那么解密得到的明文为〔〕A．4,5,6 B．6,7,2C．2,6,7 D．7,2,6类型五：数列中的规律【例5】.【变式5.1】【变式5.2】观察右图寻找规律，在“？”处填上的数字是〔〕A．128B．136C．162D．188类型六：信息学中的规律【例6】下表是表示数字输入的计算程序：nn平方+n÷n-n答案计算当时，输出的结果是〔〕A． B．C． D．【变式6.1】按如以下图所示的程序运算，叵开始输入的值为48，我们发现第一次得到的结果为24，第二次得到的结果为12，…，请你探索第2009交得到的结果为。【变式6.2】线路出以下程序且当输入的的值为1时，输出值为1；输入的值为时，输出值为，那么当输入的值为时，输出值为。益思拓展A．夯实根底1．如果是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数，这个四位数是〔〕A． B．C． D．2．图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的，设为第个〔为正整数〕正方形中三角形的个数，那么以下关系式中正确的选项是〔〕A． B．C． D．3．有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克元和元，根据柜台组调查，将两种粮果按甲种糖果千克与乙种糖果千克的比例混合，取得了较好的销售效果，现面糖果价格有了调整，甲种糖果单价上涨，乙种糖果单价下跌，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，那么等于〔〕A． B．C． D．4.给出依次排列的一列数这一列数的第项是。B．能力拓展5．数学的美无处不在，数学家们研究发现，弹拔琴弦发出声音上下，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比拟和谐，例如，三根弦长度之比是15:12:10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拔，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组。6．观察以下等式：，，，，……请你把发现的规律用字母表示出来，.7．有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数，例如，29就是这样的两位数，因为，请你找出所有这样的两位数。8．对于数和，规定☆运算如下：☆=，请比拟5.1☆2.32.3☆5.1C．综合创新9．计算机中常用的十六进制是适16进1的记数制，采用数字0~9和字母A~F共16个记数符号，这些记数符号与十进制的数之间的对应关系如下表：例如：十进制中的36=16+10，可用十六进制表示1A；在十六进制中，E+D=1B等，由上可知，在十六进制中，求2×F的值。10．根据如图1-8所示的程序计算，假设输入的值为1,那么输入出的值为。11．从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9+32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52。〔1〕请你推测出，从1开始，个连续的奇数相加，它们的和的公式是什么？〔2〕计算：①1+3+5+7+9+11+13+15+17+19；②11+13+15+17+19+21+23+25。〔3〕，求整数的值。〔4〕请你提出一个类似的问题，并探索其中的规律。12．先阅读下面的材料，再解答后面的问题。现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一局部，有一种密码的明文〔真实文〕按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，E，…，N，M这26个字母依次对应1，2，3，…25，26这26个自然数，〔见下表〕③给出一个变换公式：将明文转换成密文，如即A变为S；将密文转换成明文，如，即X变为P，13→3×〔13-8〕-1=14，即D变为F。〔1〕按上述方法将明文“NEI”为密文；〔2〕按上述方法将密文“DWN”复原成明文。13．设(为大于0的自然数)。〔1〕探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；〔2〕假设一个数的算术平方根是一个自然数，那么称这个数是“完全平方数”，试找出这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数〔不必说明理由〕。

第六讲代数式初步益思对话德国数学家大卫·希尔伯特〔1862-1943〕是20世纪最伟大的数学家之一，他的奉献是巨大而又多方面的，研究领域涉及代数不变式、代数数域、几何根底、变分法、积分方程、无穷维空间、物理学和数学根底等，他的《几何根底》是近公代理化方法的代表作，且由此推动形成了“教学公里化学派”。财产问题牛顿所在的乡村有一个百货商，他在一次年终结算后发现自己的财产增加了一倍，细细想来，三年的经营中，除掉每年100镑用于开销外，他每年可嫌到当年财产1/3，他的最初财产数却对人秘而不宣。当他把经营情况告诉前来购物的小牛顿后，牛顿默默算了一阵后说：“你家最初财产是1480镑”。商人听后愕然不解：“你是如何猜到的？”牛顿是用解方程得到的，设商人的最初财产为镑。第一年后财产：第二年财产：第三年财产：这样有方程益思互动一、整式1．单项式描述性定义数与字母的积的代数式是单项式2．单项式中的系数和次数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数单项中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数3．多项式的定义几个单项式的和就是多项式多项式的项：多项式中，每个单项式是多项式的项。多项的次数：多项式中，多项式的次数是次数最高的项的次数。4．多项式的排列把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母的升幂排列。二、同类项1．同类项定义同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。2．合并同类项法那么合并同类项法那么：同类的项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。三、去括号与添括号1．去括号法那么括号前是“+”，把括号的它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”去掉，括号里各项都改变符号。2．添括号法那么添括号后，括号前面是“+”号，那么括到括号里的各项都不改变符号。添括号后，括号前面是“-”号，那么括到括号里的各项都改变符号。四、整式的加减1．直接的整式加减问题注意：整式加减实质就是合并同类项，在运算中，如果遇到括号，就要运用去括号法那么〔或分配律〕，去掉括号再合并同类项，只要算式中没有同类项，就是运算结果。2．间接的整式加减问题几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，其一般步骤是：〔1〕根据题意列出代数式；〔2〕用加减号连接成整式加减；〔3〕去括号及合并同类项。3．化简求值问题求代数式的值，一般不直接把字母的取值代入代数式求值，而是先把代数式化简，然后再代入求值。益思练场1．在代数式中不是整式的共有〔〕个A．0 B．1 C．2 D．42．分别说出以下多项式的项数、次数、最高次项、常数项。〔1〕〔2〕3．。4．〔1〕代数式与是同类型，那么。〔2〕假设与的和是单项式，那么。5．〔1〕一个长方形的一边的长是，另一边的长是，那么这个长方形的周长是。〔2〕比少的代数式是。〔3〕，那么等于。〔4〕假设互为相反数，互为倒数，的绝对值是，那么方程的解是。6．〔1〕以下计算正确的选项是〔〕A．B．C．D．〔2〕以下式中去括号正确的选项是〔〕A．B．C．D．〔3〕代数式的值〔〕A．与的大小无关B．与的大小有关C．仅与的大小有关D．仅与的大小有关〔4〕以下说法中，正确的有〔〕①②是次项式，它的常项是，把它按的升幂排列是。益思精析类型一：同类项的概念【例1】单项式是类项，那么。【变式1.1】合并的结果为。【变式1.2】假设单项式的和仍为单项式，求的值。类型二：合并同类项【例2】合并多项式中的同类项。【变式2.1】合并同类项类型三：整式的加减【例3】一个多项式与的和是，求这个多项式。【变式3.1】，求〔1〕；〔2〕【变式3.2】，且,求类型四：化简求值【例4】化简求值：【变式4.1】，求的值【变式4.2】关于的式子的值与字母的取值无关，求式子的值。类型五：等比求值【例5】假设【变式5】类型六：特殊值求值【例6】求【变式6】，求的值类型七：整式求值【例7】。【变式7.1】时的值是64；当时的值为1，求当时该代数式的值。益思拓展A．夯实根底1．假设单项是同类项，那么，。2．假设多项式合并同类项后是三次二项式，那么应满足的条件是。3．计算4．=。B．能力拓展5．一个多项式加上。6．先化简再求值：，其中。7．.求.8..C.综合创新，.，求.

.12、假设的值与字母的取值无关，求的值。13、，求〔1〕；〔2〕。一元一次方程第七讲一元一次方程益思对话罗蒙诺索夫(JIOMOHOCOB,1711-1965),俄国学者、诗人。俄国唯物主义哲学和自然科学的奠基人，生于俄国北部库尔岛的一个渔民家庭。生卒年份罗蒙诺索夫去世后，有人为他的生平撰写了一道趣题：罗蒙诺索夫生活在18世纪，他出生年份的四个数字之和等于10，且个位与十位数字相同；他去世年份的四个数字之和为19，且这个年份的十位数字被个位数字除后，商为1且余1，求他的生卒年份。他的出生年份应为17××或16××，又由题设知为而或。前者无整数解，后者有解，从而知罗氏生于1711年，类似地，我们可以求得他卒于1765年。益思互动1．方程含有未知数的等式叫做方程，判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式，二是含有未知数，二者缺一不可。2．方程与等式的区别方程是等式，而等式不一定是方程。3．方程的解使方程左、右两边的值相等的末知数的值叫方程的解，只含有个末知数的方程的解，也叫方程的根。注意：判断一个数〔或一组数〕是不是某方程的解，只需看两点：〔1〕它〔或它们〕是方程中未知数的值；〔2〕将它〔或它们〕分别代入方程的左边和右边，假设左边等右边，那么〔或它们〕是方程的解，二者缺一不可。4．解方程求方程解的过程叫解方程。注意：〔1〕求方程的解有多种方法，不管用什么方法，求方程的解的过程都叫解方程。〔2〕方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值〔或几个数值〕，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程，所以“方程的解”中的“解”是一个名词，“解方程”中的“解”是一个动词。一元一次方程的最简形式及标准形式方程(，其中、是数，是未知数)叫一元一次方程的最简形式。方程(是未知数，、是数，且)叫做一元一次方程的标准形式。注意：方程或，只有浸透时，才是一元一次方程，反之，如果明确指出方程或是一元一次方程，就隐含着条件。解一元一次方程的一般步骤:变形名称具体做法依据1．去分母方程两边都乘各分母的最小公倍数等式性质12．去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分配率3．移项把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边移项法那么4．合并同类项把方程化为的形式合并同类项法那么5．系数化为1方程两边都除以未知数系数，得到方程的解等式性质2益思练场1．以下方程的变形是移项的是〔〕A．B．C．D．方程是一元一次方程，那么为〔〕A．B．C．D．3．假设方程的解也是方程的解，那么为〔〕A．B．C．D．4．当时，关于的方程的解是零。5．解以下方程①②③④益思精析类型一：去括号解方程解方程【变式1.1】解方程【变式1.2】解方程类型二：分数方程【例2】解方程【变式2.1】解方程类型三：一元一次方程解的讨论【例3】解方程，其中为数。【变式3】解关于的方程：

类型四：利用同解方程的原理求字母系数。【例4】关于的方程与有相同的解，求这个相同的解。【变式4】为何值时，关于的方程是同解方程。类型五：整数解问题【例5】假设为整数，那么使方程的解也是整数的值有个。【变式5】关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数有。类型六：对称轮换式一元一次方程的解法。【例6】解关于的方程【变式6】假设，解

A．夯实根底1．检验以下各数是不是方程的解〔1〕；〔2〕；〔3〕2．解方程3．关于的方程是一元一次方程，求方程的解。B．能力拓展4．关于的方程的解是正整数，求正整数的值，并求出此时方程的解。5．解方程

6．设为正整数，表示不超过的最大整数，解方程7．假设关于的方程有无数个解，试求的值。C．综合创新8．对有理数规定运算*的意义是：的解是。9．.解关于的方程：10．是关于的一元一次方程，且有唯一解，那么。

第八讲情景应用题〔一〕益思对话柯西〔Canchy,1789-1857〕,法国数学家，他的纯数学和应用数学的功力相当深碍，很多数学定理和公式都以他的名字命名，如柯西不等式、柯面积分公式等，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人。平路与坡路的距离一个旅行者从下午三点步行到当天晚上八点钟，他先走的是平路一然后爬山，到达山顶后就沿原路先下坡，再走平路，回到出发，最，他在平路上每小时走4英里，爬山每小时走3英里，下坡每小时走6英里，请问旅行者一共走了多少英里路？我们的探索可以从这里开始，首先画一个图形〔如图〕，我们的目标是：求AB+BC+CB+BA，即2(AB+BC)代数化处理：设平路AB=英里，斜坡BC=英里，那么去时，平路花时故2〔AB+BC〕=5×4=20〔英里〕，即旅行者共走了20英里。益思互动列二元一次方程解应用题的一般步骤是：一、审题在读题的根底上，弄清题意，找出题目中的等量关系式，并在此根底上，选择某个等量关系式进行“翻译”。二、设元在“翻译”等量关系的过程中，对未知的某个量用字母〔如〕表示，〔1〕直接设元(2)间接设元〔3〕辅助设元。三、列出方程用含有未知数的代数式表示出题目中的数量关系，列出方程。四、解方程解所列出的方程，求出未知数的值。五、检验员检验所求出的解是否是所列方程的解，另外还要检验方程的解是否符合题意，不符合题意的解舍去。六、写出答句。在以上六个步骤中，“审题”是最重要的一个步骤，其中找出等量关系式，并合理“翻译”又是这一步的核心。益思练场1．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的新数就比原数大63，求这两位数为。2．有人问一位老师，他教的班有多少学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩缺乏六位学生正在操场上踢足球。”那么这个班共有学生人。3．一批商品假设进货价降低8%而售出价不变，那么利润率〔按进货价而定〕可由目前的%增加到()%，那么原来的利润是。4．某商店将某种电脑按进价提高35%，然后打出“九折酬宾，外送50元出租费”的广告，结果每台电脑仍获利208元，那么每台电脑的进价是元。益思精析类型一：数字问题要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系，列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。【例1】一个六位数，最左边的数字是1，假设把这个数字1移到最右边，那么新数是原数的3倍，求原数。【变式1.1】为了给一本厚书标上页码，印刷工人用了2989个数字，这本书共有多少页？【变式1.2】某编辑用0-9这10个数字给一本书的各页标上页码，假设共写了636个数字，那么该书有页。【变式1.3】《思齐数学题典》有序言2项，目录2页，分别用1、2编页码，正文用1，2，3，……编页码，此书一共用了1999个数字来编页码，那么这本书的正文共有页。类型二：匹配问题【例2】某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？【变式2.1】某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？【变式2.2】用白铁皮伏特加罐头盒，每张铁片可制盒身10个或制盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以即使做出的盒身和盒底配套，又能充分利用白铁皮？

类型三：相遇与追及问题【例3】某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来，假定此人和电车都是匀速前进，那么电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？【变式3.1】在公路上，汽车A、B、C分别以每小时80千米、70千米、50千米的速度匀速行驶，A从甲站开往乙站，同时，B、C从乙站开往甲站，A在与B相遇后两小时又与C相遇，那么甲、乙两站相距千米。【变式3.2】在路上，一辆长4米，速度为110千米/小时，时的轿车准备超越长12米，速度为100千米/小时的卡车，那么轿车从开始追及到超越的时间为秒。【变式3.3】甲、乙两人在周长是400米的环行跑道上跑步，甲比乙跑得快，如果两人从同一地点出发，背向而行，那么经过2分钟相遇，如果两人从同一地点同向而，那么经过20分钟甲追上乙，求甲、乙各自的速度是多少？类型四：顺逆风问题【例4】一轮船往返A，B两港之间，逆水航行需3时，顺水航行需2时，水流速度是3千米/时，那么轮船在静水中的速度是多少？【变式4】架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。

类型五：错车问题【例5】在一段双轨铁道上，两列车同时驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为24米/秒，假设A列全长180米，B列车全长160米，两列车错车的时间是多长时间？【变式5.1】一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，根据以上数据，你能求出火车的长度？【变式5.2】在一列火车经过一座桥梁，列车车速为20米/秒，全长189米，假设桥梁长为3260米，那么列车通过桥梁需要多长时间？类型六：矩形面积问题【例6.1】如以下图，8块相同的长方形地砖拼成一长方形图安〔地砖间的缝隙忽略不计〕，求每块砖的长和宽。【变式7.2】在矩形ABCD中，放入六个形状，大小相同的长方形，所标尺寸如以下图所示，试求图中阴影局部的总面积。【变式6】如以下图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，中间最小的一个正方形边长是1厘米，那么这个长方形色块图的面积为。类型七：工程问题【例7】一件工作，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要15天，假设甲帮假设干天后乙接着做，共用18天完成，求甲工作了多少天？【变式7.1】一件工作，甲单独做要50天完成，乙单独做要60天完成，现甲、乙两人合做，乙中途休息了假设干天，到完成工作时，用了30天，求乙中途休息了几天？【变式7.2】一项工程，甲单独做要30天完成，单独做要20天完成，假设由甲做了假设干天后，做完，从开始到完工共用了26天，求甲、乙两人各做了多少天？益思拓展A．夯实根底1．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上45，恰好成为个位上数字与十位上数字对调后组成的两位数，试求这个两位数。2．几个同学买了一些练习本，如果4个同学，各分6本，其余的同学各分3本，恰好分完；如果每人分5本，那么有一个人只得到3本，问一共有几个同学？买了多少本练习本？3．龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，龟以每分钟30米的速度爬行，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了200分钟，醒来后立即以原来的速度继续往前跑，当兔追及龟时，离终点还有多少米？4．客轮和货轮同进从甲乙两港相向开出，6小时后客轮和货轮相遇，但离两港中点还有6千米，客轮在静水中的速度是每小时30千米，货轮是每小时24千米，求水流速度是多少？B．能力拓展5．某河流相距90千米的上下两个码头，每天定时油甲乙两嫂船速相同的客轮分别从两个，码头同时出发相向而行，一天甲船从上游出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，2分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可以和此物相遇？6．一个水池，地下水从四壁渗入池中，每个小时渗入的水量是固定的，翻开甲管，8小时拟将满池的水放空，翻开丙管，12小时可以将满池水放空，如果翻开甲乙两根水管，4小时可以将水放空，如果翻开丙乙两根水管，需要几小时能把满池水放空？7．某一缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1：2：3，他用十个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件上衣，那么他要做成14件衬衣，10条裤子和2件上衣，共需工时。8．甲、乙、丙三人先后从A地出出发，沿同一路线都到B地，甲步行每小时；公里，上午8点出发；乙骑自行车每小时15公里，上午9点30分出发；丙骑摩托车每小时60公里，假设恰好他们三人同时到达B地，那么丙出发的时间是上午点分。C．综合创新9．为使某项工程，提前20天完成任务，需将原定的工作效率提高25%，那么原方案完成这项工程需天。10．足球一般是由许多黑白相间的小皮块缝合而成的，黑块是五边形，白块是六边形〔如图〕黑块有12块，那么白块有〔〕A．32块 B．20块C．12块 D．10块11．在环形自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们同时出发，速度、方各及起点如下图，那么在出发后分钟三人第一次同时相遇。12．如以下图所示，两个长方形叠局部的面积相当于大长方形面积的六分之一，相当于小长方形面积的四分之一，阴影局部的面积为224cm3,求重叠局部面积。13．某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可完成这项生产任务，如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前一小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前一小时完成这项生产任务，问：如果同时交换A与B，C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前几分钟完成这项生产任务？14．时速4千米的A追赶时速3千米的B，两人相距0.5千米，有一只蜜蜂从A的帽子上来回在两人中间飞，直飞到A追及到B为止，假设蜜蜂时速是10千米。问蜜蜂飞了多少千米？

第九讲情景应用题〔二〕益思对话帕斯卡〔Pascal,1623-1662〕，法国著名数学家、物理学家帕斯卡的数学造诣很深，在代数研究中，他发表过多篇关于算术级数及二项式系数的论文，发现了二项式展开式的系数规律，他与费马共同建立了概率论和组合论的根底，并得出了关于概率论问题的一系列解法。一个数学家等于十个师在第二次世界大战中，盟军为了和德国法西斯作战，大量军需物品要穿过大西洋运送到各个战场，可是在1934年以前，负责运送物资的盟军船队常常受到德国潜艇的袭击，损失沉重，在这进退两难之际，有位美国海军将领专门去请教了一位数学家。数学家运用概率论分析后发现，运输船队与敌潜艇相遇是一个随机事件，即船队是否被袭击，取决于航行过程中是否与敌潜艇相遇，而与敌潜艇相遇是有可能发生，又有可能不发生的，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律。1．一定数量的船只，编队规律越小，批次就越多；批次越多，与敌潜艇相遇的概率就越大。2．一旦与敌潜艇相遇，船队的规律越小，每艘船被击中的可能性就越大。这是因为德军潜艇的数量与船队的数量相比总是少的，潜艇所载弹药有限，每次袭击，不管船队规模多大，被击沉的数目根本相等，假设运输船的总量为100艘，按每队20艘船编队，就要编成5队；而按每队10嫂船编队，就要编成10队，两种编队方式与敌潜艇相遇的可能性之比为5：10，即1：2，假设每次遭到敌潜艇袭击损失5艘运输船，那么，上述两种编队方式中每嫂运输船与敌潜艇相遇并被击沉的可能性之比为1：4，这说明，100艘运输船，编成5队比编成10队的危险性小。盟军接受了数学家的建议，改良了运输船由各个港口分散起航的做法，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海区，然后各自驶向预定港口，奇迹出现了，盟军船队遭袭击被击沉的概率由原来的25%降低为1%，大大减少了损失，保证了战略物资的供给。于是，盟军军主宣称：一名优秀数学家的作用，超过十个师的兵力！解情景应用题分以下步骤：〔1〕熟悉题目我应该从哪里开始？从题目的表达开始；我能做什么？尽可能清晰、生动地使整个题目形象化，暂时抛开细节；这样做我能得到什么呢？理解题目、熟悉题目，将目标印人脑海。〔2〕深入理解题目我应该从哪里开始？仍然从题目的表达开始；我能做什么？将题目的主要局部别离出来，未知量、量和条件是一个“解题”的主要局部，即什么？求什么？样做我能得到什么呢？哪些是以后很可能会起作用的细节？情景应用题它是一段图文并茂的生活对话；它是一场妙趣横生的游戏片段；它是一张经济生活的真实表格；它寓数学问题、数学思想、数学方法于其中；它集趣味性、益智性、娱乐性于一体；它激活你学习的能动性；它启迪你思维的广阔性；当你用代数语言去把它翻译过来时，你就揭开了它的面纱，它的真面目就是方程。情景应用题已成为各类考试的热点，而方程又是情景应用题常考之处。益思练场1．某家电脑商场一次售出两种不同品牌的电视机，其中一台赚了12%，另一台赔了12%，且这次售出的两台电视机的售价都是3080元，那么，在这次买卖中商场的利润为〔〕A．不赔不赚 B．赚90元C．赔90元 D．赚60元2．某城市按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过局部按每立方米1.2元收费，某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么，该用户4月份应交煤气费〔〕A．60元 B．66元C．75元 D．78元3．甲比乙大11岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是。4．甲、乙两商让共有练习本200本，某日甲店售出19本，乙店售出97本，甲乙两店所剩的练习本数相乖，那么甲店原有练习本本；乙店原有练习本本。5．有一含盐15%的盐水100千克，假设要使此盐水含盐百分比增加5%，需加纯盐千克；假设要使此盐百分比降低5%，需加水千克。益思精析类型一：利润率问题其数量关系是：商品的利润=商品售价-商品的进价，商品利润率=商品利润÷商品进价×100%，注意打折销售就是按原价的百分之几出售，商品售价=商品标价×折扣率【例1】如果某商品的进价降低5%，而售价不变，利润率可提高15个百分点，求此商品的原来的利润率？【变式1.1】甲、乙两种商品的单价和为100，因市场变化，甲商品九折销售，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2%，求甲、乙两种商品的原单价各是多少元？【变式1.2】据了解，家具店经销商销售家具，只要高出进价的20%便可盈利，但经销商常以高出进价的50%至100%标价，假设你准备买一种标价为1000元的家具，应在什么范围内还价？类型二：年龄问题年龄问题其根本数量关系：大小两个年龄差不会变。这类问题主要寻找的等量关系是：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。【例2】学生问老师今年多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁，当你像我这么大时，我已经39岁”，那么这位老师今年多少岁？【变式2】小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。类型三：溶液配制问题其根本数量关系是：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；溶质质量=溶液中所含溶的质量分数，这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。【例3】甲、乙两种酒精的浓度分别为60%和35%，现要配成浓度为50%的酒精溶液5000克