齐次线性方程组基础解系_第1页
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文档简介

齐次线性方程组的基础解系及其应用齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有：（1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。有非零解的充要条件是R(A)<n；（2）齐次线性方程组AX=0解的线性组合还是它的解，因而解集合构成向量空间，向量空间的极大线性无关组，叫基础解系；（3）齐次线性方程组AX=0，当系数矩阵的秩r(A)小于未知量的个数n时，存在基础解系，并且基础解系中含有n-r(A)个解向量；（4）对于齐次线性方程组AX=0，如果r(A)<n，则任意n-r(A)个线性无关的解都是基础解系。定理1:设A是的矩阵，B是的矩阵，并且AB=0，那么r(A)+r(B)分析：这是一个非常重要的结论，多年考试题与它有关。同学们还要掌握本定理的证明方法。证：设，则，AB=0，即所以

所以，都是齐次线性方程组AB=0的解r(B)=秩所以

r(A)+r(B)评论：AB=0，对B依列分块，时处理此类问题的惯用方法。例1：要使都是线性方程组的解，只要系数矩阵为(A)[-211]

(B)

(C)

(D)解：由答案之未知量的个数是3。都是线性方程组的解，并且线性无关，所以

.只有（A）是正确的。例2：设n阶方阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组AX=0的通解为

.解：记，由于n阶方阵A的各行元素之和均为零,

所以，且A的秩为n-1，所以就是七次线性方程组AX=0的基础解系，所以，线性方程组AX=0的通解为例3：已知Q=,P为3阶非零方阵,且满足PQ=0,则(A)t=6时P的秩必为1

(B)t=6时P的秩必为2(C)t6时P的秩必为1

(D)t6时P的秩必为2解：记，因为都是齐次线性方程组，的解，当时，线性无关，所以P为非零方阵，所以因而：t6时P的秩必为1，选（C）另解：因为，当时，P为非零方阵，所以因而：t6时P的秩必为1，选（C）例4：设A是n（）阶方阵，是的伴随矩阵，那么：证明：时，由伴随矩阵的定义知，伴随矩

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