2024年初中升学考试模拟卷湖南省常德市中考数学三模试卷

第1页（共1页）2023年湖南省常德市中考数学三模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．22．（3分）计算（﹣a3）4÷a2的结果是（）A．a10 B．a12 C．a14 D．﹣a103．（3分）我国自主研发的北斗导航系统的卫星上配置的新一代国产原子钟，其授时精度达到十亿分之一秒，将十亿分之一用科学记数法表示为（）A．0.1×10﹣9 B．1×10﹣10 C．1×10﹣9 D．10×10﹣84．（3分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆的面积为（）A．2.25πcm2 B．9πcm2 C．12πcm2 D．36πcm25．（3分）一艘船从甲码头顺流而行至乙码头需7h，从乙码头逆流而行返回甲码头需8.5h．已知水流速度为3km/h，则船在静水中的平均速度为（）A．28.5km/h B．31km/h C．35km/h D．46.5km/h6．（3分）下列说法中正确的是（）A．若某种彩票的中奖率为5%，则买100张这种彩票一定有5张中奖 B．若某地明天的降雨概率是70%，则该地明天有70%的时间会降雨 C．一组数据的中位数，不一定是这组数据中的数 D．体育老师为了解某班同学的身高情况，宜用抽样调查7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边在BC边上方作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为（）A． B． C． D．8．（3分）如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，若按照图②所示的方法用若干个图形①玩接力游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么用2n+1个这样的图形①拼出来的图形②的总长度为（）A．a+2nb B．a+4nb C．（1﹣n）a+3nb D．二、填空題（每小题3分，共24分）9．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为．10．（3分）因式分解：a3﹣6a2b+9ab2＝．11．（3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）均在一次函数y＝（2k﹣1）x+b的图象上，且x1＞x2时，y1＜y2，则实数k的取值范围为．12．（3分）甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6．甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是．（填“甲”或“乙”）13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝．14．（3分）一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元．15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y＝ax2+bx+c…tm﹣2﹣2n…当时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③．则所有正确结论的序号为．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作：在边BC上从左到右依次取点D1，D2，D3，D4，⋯，过点D1作AB，AC的平行线分别交AC，AB于点E1，F1；过点D2作AB，AC的平行线分别交AC，AB于点E2，F2；过点D3作AB，AC的平行线分别交AC，AB于点E3，F3……则4（D1E1+D2E2+⋯+D2023E2023）+5（D1F1+D2F2+⋯+D2023F2023）＝．三、（每小题5分，共10分）17．（5分）计算：．18．（5分）解方程．四、（每小题6分，共12分）19．（6分）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．20．（6分）先化简，，再选一个合适的数代入求值．五、（每小题7分，共14分）21．（7分）为丰富学校校园活动，某校为学生开展了多种艺体活动，其中在体育类活动中开设了五种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D足球，E跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．问卷情况统计表运动项目人数A乒乓球mB排球60C篮球45D足球36E跳绳n（1）本次调查的样本容量是，统计表中m＝；（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是°；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“D足球”的学生人数；（4）现有甲、乙两位同学从A、B、C、D、E这五个项目中各选择了一项，求这两位同学选择的运动项目相同的概率．22．（7分）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数的图象交于A（6，﹣1），B（n，﹣6）两点．与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度后所得直线与交于D、E两点，DE与y轴交于点F．（1）求y2的解析式，并观察图象直接写出y1＜y2时x的取值范围；（2）连接AD、CD，若△ACD的面积为5，求t的值．六、（每小题8分，共16分）23．（8分）我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且AB所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以30m/s的速度水平飞行．在M点处测得A点的俯角为72°，B点的俯角为30°，20s后在N点处测得B点的俯角为60°，求此段沅江江面的宽度．（结果精确到1米）（参考数据：，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E，F是AB延长线上一点，且CF＝EF．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG，若CF＝5，BF＝3，求AG的长．七、（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，已知在△ABC中，点D是BC边上一点，点E是AC边上一点，AD交BE于点F．（1）如图①，若D是BC边的中点，求证：AF•EC＝2AE•DF；（2）如图②，若AD平分∠BAC，求证：；（3）如图③，若∠BAC＝90°，AD⊥BC，F是AD的中点，EG⊥BC于点G，求证：EG2＝AE•CE．26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点坐标为，点D是x轴下方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O顺时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第三象限，且时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，求出点D的坐标．

2023年湖南省常德市中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．2【答案】C【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故选：C．2．（3分）计算（﹣a3）4÷a2的结果是（）A．a10 B．a12 C．a14 D．﹣a10【答案】A【分析】根据积的乘方以及整式的除法运算即可求出答案．【解答】解：原式＝a12÷a2＝a10，故选：A．3．（3分）我国自主研发的北斗导航系统的卫星上配置的新一代国产原子钟，其授时精度达到十亿分之一秒，将十亿分之一用科学记数法表示为（）A．0.1×10﹣9 B．1×10﹣10 C．1×10﹣9 D．10×10﹣8【答案】C【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：十亿分之一是0.000000001，所以十亿分之一用科学记数法表示为1×10﹣9，故选：C．4．（3分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆的面积为（）A．2.25πcm2 B．9πcm2 C．12πcm2 D．36πcm2【答案】B【分析】圆锥侧面展开图扇形圆心角度数为n°，底面圆半径为r，先根据扇形面积公式求出n的值，再根据弧长公式求出r的值，即可求出答案．【解答】解：圆锥侧面展开图扇形圆心角度数为n°，底面圆半径为r，由题意得，，∴n＝216，∴，∴r＝3cm，∴底面圆的面积为32×π＝9π（cm2），故选：B．5．（3分）一艘船从甲码头顺流而行至乙码头需7h，从乙码头逆流而行返回甲码头需8.5h．已知水流速度为3km/h，则船在静水中的平均速度为（）A．28.5km/h B．31km/h C．35km/h D．46.5km/h【答案】B【分析】设船在静水中的平均速度为xkm/h，则逆水行驶的速度为（x﹣3）km/h，顺水行驶速度为（x+3）km/h，再根据从甲到乙和从乙到甲的路程相同列出方程求解即可．【解答】解：设船在静水中的平均速度为xkm/h，由题意得，7（x+3）＝8.5（x﹣3），解得x＝31，∴船在静水中的平均速度为31km/h，故选：B．6．（3分）下列说法中正确的是（）A．若某种彩票的中奖率为5%，则买100张这种彩票一定有5张中奖 B．若某地明天的降雨概率是70%，则该地明天有70%的时间会降雨 C．一组数据的中位数，不一定是这组数据中的数 D．体育老师为了解某班同学的身高情况，宜用抽样调查【答案】C【分析】根据概率的意义、随机事件的意义逐项判断即可．【解答】解：A、某种彩票的中奖率为5%，则买100张这种彩票也不一定会中奖，原说法不正确，不符合题意；B、某地明天的降雨概率是70%，说明下雨的可能性是70%，不代表70%的时间会下雨，原说法不正确，不符合题意；C、一组数据的中位数，不一定是这组数据中的数，说法正确，符合题意；D、体育老师为了解某班同学的身高情况，宜用全面调查，原说法不正确，不符合题意．故选：C．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边在BC边上方作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EH⊥BA的延长线于点H，过点C作CG⊥BA的延长线于点G，先根据等腰三角形三线合一求出BM的长，再证得△AMB∽△CGB，求出BG的长，再证△EDH和△DCG全等，得出EH＝DG，最后根据三角形面积公式计算，配方成二次函数顶点式，从而得出△BDE面积的最大值．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EH⊥BA的延长线于点H，过点C作CG⊥BA的延长线于点G，∠AMB＝∠AMC＝90°，∠CGB＝90°，∠EHD＝90°，∵AB＝AC＝4，，∴，∵∠AMB＝∠CGB＝90°，∠ABM＝∠CBG，∴△AMB∽△CGB，∴，即，∴BG＝6，设BD＝x，则DG＝BG﹣BD＝6﹣x，∵四边形CDEF为正方形，∴∠CDE＝90°，CD＝DE，∴∠EDH+∠CDG＝90°，∵∠CGB＝90°，∴∠CDG+∠DCG＝90°，∴∠EDH＝∠DCG，在△EDH和△DCG中，，∴△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝6﹣x，∴＝＝＝，∵，∴S有最大值，当x＝3时，△BDE的面积有最大值，是，故选：A．8．（3分）如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，若按照图②所示的方法用若干个图形①玩接力游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么用2n+1个这样的图形①拼出来的图形②的总长度为（）A．a+2nb B．a+4nb C．（1﹣n）a+3nb D．【答案】A【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：图形的总长度＝（2n+1）[a﹣（a﹣b）]+a﹣b＝a+2nb，故选：A．二、填空題（每小题3分，共24分）9．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为x≥﹣2．【答案】见试题解答内容【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x+2≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．10．（3分）因式分解：a3﹣6a2b+9ab2＝a（a﹣3b）2．【答案】见试题解答内容【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣6ab+9b2）＝a（a﹣3b）2．故答案为：a（a﹣3b）2．11．（3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）均在一次函数y＝（2k﹣1）x+b的图象上，且x1＞x2时，y1＜y2，则实数k的取值范围为．【答案】．【分析】根据“当x1＞x2时y1＜y2”可得y随x的增大而减小，然后利用一次函数性质列不等式求解即可．【解答】解：∵当x1＞x2时，y1＜y2，∴函数y＝（2k﹣1）x+b的图象y随x的增大而减小，∴2k﹣1＜0，即，故答案为：．12．（3分）甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6．甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是甲．（填“甲”或“乙”）【答案】见试题解答内容【分析】先计算出甲的平均数，再计算甲的方差，然后比较甲乙方差的大小可判定谁的成绩稳定．【解答】解：甲的平均数＝（9+8+9+6+10+6）＝8，所以甲的方差＝[（9﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2]＝，因为甲的方差比乙的方差小，所以甲的成绩比较稳定．故答案为甲．13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝．【答案】见试题解答内容【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，∴BD＝8，∵S菱形ABCD＝AC×BD＝24，∴AC＝6，∴OC＝AC＝3，∴BC＝＝5，∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，∴AH＝；故答案为：．14．（3分）一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低10元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元．【答案】10．【分析】设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，然后根据利润＝单件利润×销售量，列出方程求解即可．【解答】解：设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，由题意得，（30﹣x）（20+2x）＝800，整理得：x2﹣20x+100＝0，解得x＝10，∴当每件商品的单价降低10元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，故答案为：10．15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y＝ax2+bx+c…tm﹣2﹣2n…当时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③．则所有正确结论的序号为①②．【答案】①②．【分析】利用待定系数法将点（0，﹣2），（1，﹣2）代入解析式求出c＝﹣2，a+b＝0，再结合二次函数图象与已知信息当时，y＞0得出a＞0，进而判断①结论；根据二次函数对称轴由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点（﹣1，m），（2，n）代入解析式得出m+n＝4（a﹣1），结合a的范围，判断③结论．【解答】解：当x＝0时，y＝c＝﹣2，当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣2，∴a+b＝0，抛物线对称轴为直线，∵当时，其对应的函数值y＞0，∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，∴二次函数开口向上，∴a＞0，b＜0．∴abc＞0．①结论符合题意；∵x＝﹣2时，y＝t，∴﹣2是关于x的方程ax2+bx+c＝t的根．∵对称轴为直线，∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根．②结论符合题意；∵b＝﹣a，c＝﹣2，∴二次函数解析式：y＝ax2﹣ax﹣2，∵当时，与其对应的函数值y＞0．∴，∴；∵当x＝﹣1和x＝2时的函数值分别为m和n，∴m＝n＝2a﹣2，∴；故③错误，故答案为：①②．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作：在边BC上从左到右依次取点D1，D2，D3，D4，⋯，过点D1作AB，AC的平行线分别交AC，AB于点E1，F1；过点D2作AB，AC的平行线分别交AC，AB于点E2，F2；过点D3作AB，AC的平行线分别交AC，AB于点E3，F3……则4（D1E1+D2E2+⋯+D2023E2023）+5（D1F1+D2F2+⋯+D2023F2023）＝40460．【答案】40460．【分析】由D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得，因为AB＝5，AC＝4，所以有4D1E1+5D1F1＝20；同理有如下规律4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2023E2023+5D2023F2023＝20，据此求解即可．【解答】解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，∴∵AB＝5，AC＝4，∴，∴，∴4D1E1+5D1F1＝20，以此类推，4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2023E2023+5D2023F2023＝20，∴4（D1E1+D2E2+⋯+D2023E2023）+5（D1F1+D2F2+⋯+D2023F2023）＝2023×20＝40460故答案为：40460．三、（每小题5分，共10分）17．（5分）计算：．【答案】12+．【分析】按照实数的运算法则进行即可．【解答】解：原式＝3﹣4×（﹣3）＝3﹣2+12＝12+．18．（5分）解方程．【答案】x＝﹣2．【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项得步骤解方程得到x2﹣x﹣6＝0，再利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：，去分母得：6﹣2x＝x（x﹣3），去括号得：6﹣2x＝x2﹣3x，移项得：﹣2x﹣x2+3x＝﹣6，合并同类项得：﹣x2+x＝﹣6，∴x2﹣x﹣6＝0，解得x＝3或x＝﹣2，经检验，当x＝3时，x﹣3＝0，∴x＝3不是原方程的解，当x＝﹣2时，x（x﹣3）≠0，∴x＝﹣2是原方程的解，∴原方程的解为x＝﹣2．四、（每小题6分，共12分）19．（6分）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．【答案】﹣1＜x≤2．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：由不等式①得，x＞﹣1，由不等式②得，x≤2，所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．在数轴上表示为：．20．（6分）先化简，，再选一个合适的数代入求值．【答案】，取a＝2，原式为4．【分析】先根据分式的运算法则将分式化简，然后代入一个使原分式有意义的值即可．【解答】解：＝＝＝＝，根据分式有意义的条件：a≠0且a≠±1，a≠﹣2，取a＝2代入，得原式＝．五、（每小题7分，共14分）21．（7分）为丰富学校校园活动，某校为学生开展了多种艺体活动，其中在体育类活动中开设了五种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D足球，E跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．问卷情况统计表运动项目人数A乒乓球mB排球60C篮球45D足球36E跳绳n（1）本次调查的样本容量是300，统计表中m＝75；（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是72°；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“D足球”的学生人数；（4）现有甲、乙两位同学从A、B、C、D、E这五个项目中各选择了一项，求这两位同学选择的运动项目相同的概率．【答案】（1）300，75；（2）72；（3）估计该校最喜欢“D足球”的学生人数为240人；（4）．【分析】（1）本次调查的样本容量用篮球的人数÷所占的百分比，求出跳绳的人数，乒乓球人数＝本次调查的样本容量﹣排球人数﹣篮球人数﹣足球人数﹣跳绳人数；（2）“B排球”对应的圆心角的度数：360°×排球所占的百分比；（3）用样本根据总体，即用2000乘以足球所占的百分比即可；（4）先列表确定总共的结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：45÷15%＝300（人），E跳绳的人数：300×28%＝84（人），A乒乓球人数：300﹣60﹣45﹣36﹣84＝75（人）．故答案为：300，75；（2）“B排球”对应的圆心角的度数：360°×＝72°；故答案为：72；（3）该校最喜欢“D足球”的学生人数：2000×＝240（人），答：估计该校最喜欢“D足球”的学生人数为240人；（4）列表如下：ABCDEA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）（E，E）由表知，共有25种等可能结果，其中这两位同学选择的运动项目相同的结果有5种，所以这两位同学选择的运动项目相同的概率为：．22．（7分）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数的图象交于A（6，﹣1），B（n，﹣6）两点．与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度后所得直线与交于D、E两点，DE与y轴交于点F．（1）求y2的解析式，并观察图象直接写出y1＜y2时x的取值范围；（2）连接AD、CD，若△ACD的面积为5，求t的值．【答案】（1）y2＝﹣．由图象可知，y1＜y2时x的取值范围1＜x＜6；（2）t＝．【分析】（1）A点坐标代入反比例解析式即可得出k值，写出解析式；（2）利用面积为5建立一个关于t的方程，求出t值即可．【解答】解：（1）∵A（6，﹣1）在y2＝上，∴m＝xy2＝6×（﹣1）＝﹣6，∴y2＝﹣．∵点B在反比例函数图象上，∴﹣6＝﹣，n＝1．∴B（1，﹣6）．由图象可知，y1＜y2时x的取值范围1＜x＜6．（2）∵A（6，﹣1），B（1，﹣6）在一次函数y1＝kx+b的图象上，，解得：，∴直线AB的解析式为：y1＝x﹣7．令x＝0时，y1＝﹣7，∴C（0，﹣7）AC＝＝6，∵直线AB的解析式为：y1＝x﹣7．∴直线AB与y轴的夹角为45°，∵CF＝t，∴△ACD中AC边上的高为，S△ACD＝AC•＝5，解得t＝．六、（每小题8分，共16分）23．（8分）我国无人机已广泛的应用在人们的生产和生活中．如图所示，某中学数学课外活动小组利用无人机测量沅江某一段江面的宽度，先在沅江两岸边上各选定一点A、B，且AB所在直线与江岸所在直线垂直，再在A点放飞无人机到一定高度后，然后在AB上方从A向B以30m/s的速度水平飞行．在M点处测得A点的俯角为72°，B点的俯角为30°，20s后在N点处测得B点的俯角为60°，求此段沅江江面的宽度．（结果精确到1米）（参考数据：，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【答案】此段沅江江面的宽度约为1069m．【分析】连接AB，过点M作MC⊥AB，垂足为C，过点N作ND⊥AB，垂足为D，根据题意可得：MC＝ND，MN＝CD＝600m，MN∥AB，从而可得∠EMA＝∠MAC＝72°，∠FNB＝∠NBD＝60°，再利用三角形的外角性质可得∠NBM＝∠NMB＝30°，从而可得MN＝NB＝600m，然后在Rt△NBD中，利用锐角三角函数的定义求出ND和BD的长，从而求出MC的长，再在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：如图：连接AB，过点M作MC⊥AB，垂足为C，过点N作ND⊥AB，垂足为D，由题意得：MC＝ND，MN＝CD＝20×30＝600（m），MN∥AB，∴∠EMA＝∠MAC＝72°，∠FNB＝∠NBD＝60°，∵∠FNB是△MNB的一个外角，∴∠NBM＝∠FNB﹣∠NMB＝30°，∴∠NBM＝∠NMB＝30°，∴MN＝NB＝600m，在Rt△NBD中，ND＝BN•sin60°＝600×＝300（m），BD＝NB•cos60°＝600×＝300（m），∴MC＝ND＝300m，在Rt△AMC中，AC＝≈≈168.5（m），∴AB＝AC+CD+BD＝168.5+600+300≈1069（m），∴此段沅江江面的宽度约为1069m．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E，F是AB延长线上一点，且CF＝EF．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG，若CF＝5，BF＝3，求AG的长．【答案】（1）见解答；（2）．【分析】（1）如图，连接OC，OD．证明∠OCF＝90°即可；（2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，在Rt△COF中，32+r2＝（r+3）2，可得r＝，证明GH∥DO，推出＝，可得BH＝BO＝，GH＝OD＝，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠OED＝∠FEC，∴∠OED＝∠FCE，∵AB是直径，D是的中点，∴∠DOE＝90°，∴∠OED+∠ODC＝90°，∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，∵OC是半径，∴CF是⊙O的切线．（2）解：过点G作GH⊥AB于点H．设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+3，在Rt△COF中，52+r2＝（r+3）2，∴r＝，∵GH⊥AB，∴∠GHB＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠GHB＝∠DOE，∴GH∥DO，∴＝，∵G为BD的中点，∴BG＝BD，∴BH＝BO＝，GH＝OD＝，∴AH＝AB﹣BH＝﹣＝4，∴AG＝＝＝．七、（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，已知在△ABC中，点D是BC边上一点，点E是AC边上一点，AD交BE于点F．（1）如图①，若D是BC边的中点，求证：AF•EC＝2AE•DF；（2）如图②，若AD平分∠BAC，求证：；（3）如图③，若∠BAC＝90°，AD⊥BC，F是AD的中点，EG⊥BC于点G，求证：EG2＝AE•CE．【答案】（1）证明过程详见解答；（2）证明过程详见解答；（3）证明过程详见解答．【分析】（1）取CE的中点G，连接DG，则EG＝EC，可推出DG∥BE，从而，进一步得出结论；（2）作BH∥AE，交AD的延长线于H，可推出∠H＝∠CAH，△AEF∽△BHF，从而，可证得AB＝AH，从而；（3）延长BA，GE，交于点R，可证得△BDF∽△BGE，△BAF∽△BRE，从而，进而证得ER＝EG，可证得△RAE∽△CGE，从而，进一步得出结论．【解答】证明：（1）如图1，取CE的中点G，连接DG，则EG＝EC，∵D是BC的中点，∴DG∥BE，∴，∴AF•EG＝AE•DF，∴AF•EC＝AE•DF，∴AF•EC＝2AE•DF；（2）如图2，作BH∥AE，交AD的延长线于H，∴∠H＝∠CAH，△AEF∽△BHF，∴，∵AD平分∠BAC，∴∠BAH＝∠CAH，∴∠H＝∠BAH，∴AB＝AH，∴；（3）如图3，延长BA，GE，交于点R，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，EG⊥BC，∴∠RAE＝∠EGC＝90°，AD∥RC，∴△BDF∽△BGE，△BAF∽△BRE，∴，∴，∵F是AD的中点，∴AF＝DF，∴ER＝EG，∵∠AER＝∠CEG，∴△RAE∽△CGE，∴，∴，∴EG2＝AE•CE．26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点坐标为，点D是x轴下方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O顺时针旋转45°得到射线OP