高二上学期中复习专题07双曲线原卷版

期中复习专题07：双曲线原卷版考点一：双曲线方程【知识点梳理】1、双曲线的定义：已知平面内一个动点与两个定点F1,F2，若并且，则这样的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

2、双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2y2b2焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2x2b2=【典例例题】例1.（2022·江苏省连云港市赣榆区期中）写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程___________.①焦点在x轴上；②渐近线方程为.【变式训练】1.（2022·广东省惠州市丰湖高级中学期中）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离等于（）A.3 B.7 C. D.3或72.（2023秋·全国·高二期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（

）A． B． C． D．3.（2023秋·全国·高二期中）（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则4.（2022·山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中期中）已知离心率为的双曲线C与椭圆的焦点相同.（1）求双曲线C的标准方程；（2）求双曲线C的焦点到渐近线的距离.5.（2022秋·福建泉州·高二校考期中）已知圆：，圆：，圆，圆．(1)若动圆与圆内切与圆外切.求动圆圆心的轨迹的方程；(2)若动圆与圆、圆都外切.求动圆圆心的轨迹的方程．6．（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，若，且双曲线焦距为4．(1)求双曲线的方程；(2)如果为双曲线右支上的动点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．考点二：双曲线的性质【知识点梳理】双曲线的几何性质标准方程x2a2y2b2y2a2x2b2图形性质范围x≥a或x≤a,y∈R

y≤a或y≥a,x∈R

对称性对称轴:坐标轴.对称中心:原点顶点A1(a,0)A2(a,0)A1(0,a)A2(0,a)渐近线y=±bay=±ab离心率e=ca,e∈(1,+∞a,b,c的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

实、虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长

【典例例题】例1.（2022·山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中期中）已知双曲线：一条渐近线方程是，且焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的标准方程为（）A. B.C. D.例2.（2022·江苏省连云港市赣榆区期中）双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（）A. B. C. D.【变式训练】1.（2022·广东省惠州市丰湖高级中学期中）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线C的虚半轴长为1，半焦距为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.2.（2022·新疆乌鲁木齐市第101中学期中）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.3.（2022·广东省深圳市中学究投资期中）已知双曲线C的离心率为，焦点为，点A在C上，若，则（）A. B. C. D.4.（2022·广东省深圳市龙华中学期中）已知双曲线，过右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的离心率为（）A. B. C.2 D.5.（2022·新疆乌鲁木齐市第101中学期中）已知、分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点是双曲线与抛物线的一个公共点，若，则双曲线的离心率为___________.6．（2022秋·安徽·高二校考期中）已知双曲线的离心率为，若点与点都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．考点三：直线与双曲线的位置关系【知识点梳理】1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为的形式，在的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则（为直线斜率）3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.【典例例题】例1.（2022·山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中期中）已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.【变式训练】1.（2022·广东省深圳市中学究投资期中）已知F1为双曲线的左焦点，过点F1的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，若，则直线l的斜率为___________．2.（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线交于两点，若的面积为，求正实数的值.3．（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值.一、单项选择题（10道题）1.（2022·广东省深圳市龙华中学期中）双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.2．（2022秋·山西·高二长治市上党区第一中学校校联考期中）已知双曲线，则下列选项中不正确的是（

）A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为C．的离心率为 D．的虚轴长为3．（2021秋·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（

）A． B． C．4 D．6．（2023秋·全国·高二期中）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．7．（2023春·海南海口·高三统考期中）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A的直线l与圆相切，与C交于另一点B，且，则C的离心率为（

）A．3 B． C．2 D．8．（2023春·四川巴中·高二统考期中）已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线一条渐近线的距离为，则下列选项不正确的有（

）A．B．双曲线的离心率为C．的最小值为2D．双曲线的实轴长为39．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（

）A．2 B．C． D．410．（2022秋·广东深圳·高三校联考期中）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，平分，则C的离心率为（

）A． B．C． D．二、多项选择题（5道）11.（2022·广东省深圳市龙华中学期中）已知曲线C的方程为，则（）A.曲线C可以表示圆 B.曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C.曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线12.（2022秋·浙江嘉兴·高二校考期中）已知双曲线，点是上任意一点，则下列结论正确的有（

）A．双曲线的离心率为B．焦点到渐近线的距离为C．左右焦点分别为，若，则或D．若左、右顶点分别为，当与不重合时，直线与直线的斜率之积为13．（2022秋·浙江宁波·高二校联考期中）已知双曲线：与直线交于两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，曲线的左、右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（

）A．B．的离心率为C．若，则的面积为2D．若的面积为，则为钝角三角形14.（2022·广东省深圳市中学究投资期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（）A.与共轭的双曲线是B.互为共轭的双曲线渐近线不相同C.互为共轭的双曲线的离心率为、则D.互为共轭的双曲线的个焦点在同一圆上15.（2023春·云南保山·高二统考期中）公元前年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．利用“黄金分割比”研究双曲线，可得满足：的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线E：（，）的一个顶点为A，与A不在y轴同侧的焦点为F，E的一个虚轴端点为为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，M为PQ中点．设双曲线E的离心率为e，则下列说法中，正确的有（

）A． B．C． D．填空题（10道）16．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程.①焦点在x轴上；②渐近线方程为.17．（2022秋·安徽·高二校考期中）若双曲线：的焦点坐标为，则实数的值为．18．（2022秋·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知方程​表示双曲线，则​的取值范围是19．（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为.20．（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为．21．（2021春·云南昭通·高二校考期中）设分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线的斜率分别为，若，则双曲线的离心率.22．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则双曲线的离心率为．23．（2022秋·浙江温州·高二校联考期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于．24．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为．25．（2023秋·全国·高二期中）已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值为_____

简答题（10道）26．（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．27．（2022秋·江西南昌·高二南昌十中校考期中）已知双曲线C经过点，且渐近线方程为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)点A为双曲线C的左顶点，过点作直线交双曲线C于M、N两点，试问，直线AM与直线AN的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.28．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．29．（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，其左右焦点为，，点D为双曲线上一点，且的重心G点坐标为.(1)求该双曲线的标准方程；(2)过x轴上一动点作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为（与B不重合），连接并延长交x轴于点Q，问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.30．（2023秋·全国·高二期中）从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且，.(1)求双曲线的方程；(2)过点作直线分别交双曲线左右