专题6.1数列的概念-高考数学一轮复习宝典（新高考专用）

第六章数列专题6.1数列的概念了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．考点一由an与Sn的关系求通项公式考点二由数列的递推关系求通项公式考点三数列的性质知识梳理1．数列的有关概念概念含义数列按照一定次序排列的一列数数列的项数列中的每一个数通项公式如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的关系式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式递推公式如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系.数列{an}的前n项和一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1>an其中n∈N+递减数列an＋1<an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．第一部分核心典例题型一由an与Sn的关系求通项公式1．已知数列的前项和，则（

）A． B．9 C．11 D．25【答案】B【详解】因为，所以.故选：B.2．数列的前项和为，，数列的前项和为，且，则的值为（

）A．30 B．39 C．51 D．66【答案】C【详解】当时，；当时，，，时，，所以，所以.故选：C.3．记为数列的前项和，若则（

）A．5 B．7 C．9 D．12【答案】A【详解】由得，，所以．故选：A.4．已知为数列的前项和，，，则（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【详解】当时，，因为，所以．当时，由得，两式相减可得，即．因为，所以，，…，，可得，所以.故选：C5．设数列的首项，前n项和，满足，则（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【答案】C【详解】根据题意，当时，有，即，故为常数列，因此，进而．故选：C.题型二由数列的递推关系求通项公式6．已知数列的项满足，而，则＝（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因为，所以，因为满足上式，所以，故选：B7．已知数列对任意满足，则（

）A．4040 B．4043 C．4046 D．4049【答案】B【详解】由可得；两式相减可得；即相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，且公差为4，所以可得，即；当时，，因此.故选：B8．设数列满足，且，若，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【详解】因为，即，则数列是以首项为，公差的等差数列，所以，即，又因为，即，则是单调递减数列，且若，则，故的最小值为5.故选：D.9．已知数列满足=，，则数列的通项公式是（

）.A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以,设,可得,所以，即,所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以.故选:A.10．已知数列，，，若，则正整数的值为（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】A【详解】因为，令，所以，所以，所以，所以数列为首项是2，公差为2的等差数列，所以，，，所以，所以，所以，所以或，故选：A.题型三数列的性质11．数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以.因为数列为单调递增数列，所以在恒成立，所以，即可.令，，则，由一次函数知，当时，取得最大值为,即.所以的取值范围为.故选：B.12．数列的通项公式．设为前项的和，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，当时，，则数列为单调递增数列，则，，当时，，因此，若，则的最小值为.故选：A.13．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（

）A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，【答案】C【详解】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．故选：C．14．已知数列，若，，且（为正整数），则数列的第项为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，数列是以为周期的周期数列，，又，，，，，.故选：D.15．已知数列满足．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，，，，，…故数列周期为4，则.故选：B第二部分课堂达标一、单选题1．数列4，7，10，13，…的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是．故选：B．2．已知数列满足，若，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【详解】因为，，所以；所以的周期为3，所以.故选：A.3．已知数列的一个通项公式为，且，则等于（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【详解】解：因为，即，解得，所以．故选：B.4．记为数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为为数列的前项和，且，则.故选：A.5．图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，则该“三角垛”第十层的小球个数为（

）A．36 B．45 C．55 D．66【答案】C【详解】设每一层的小球数构成一个数列，方法1：观察归纳发现：，，，…，所以.方法2：，，，…，所以，，所以.故选：C.6．数列满足，且，则数列的前2024项的和（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，且，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知数列是以4为周期的周期数列，则，且，所以.故选：C.7．《几何原本》是一部不朽的数学巨著，在这本书的第10卷中给出了“穷竭法”的基本命题.所谓“穷竭”指的是一个变量，它可以小于任意给定的量.根据穷竭法的基本命题，设数列满足，，，…，，…，若，则m可能取到的最大值为（

）.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】根据题意可知，所以，，而，故可能大于1，所以m可能取到的最大值为7.故选：C8．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（

）A．；n B．；C．；n D．；【答案】D【详解】解：第一代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为2，第二代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为3，第三代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为4，…第n代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为，故选：D二、多选题9．已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】由，，得，，故A正确；又，所以数列是以3为周期的周期数列，所以，故B正确；，故C错误；因为，，所以，故D正确．故选：ABD．10．已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的可能取值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】BC【详解】因为，，是递增数列，所以必有，即：，解得：.故选：BC.三、填空题11．记为各项均为正数的数列的前项和，若，，则.【答案】30【详解】因为，，，所以，，由，可得，所以，所以.故答案为：30.是等和数列，且，公和为5，那么的值为.【答案】3【详解】根据“等和数列”的定义可知，数列的规律为即奇数项为，偶数项为.所以的值为.故答案为：.四、解答题13．（1）求数列，，，…的前项的和；（2）求数列5，55，555，…的前项的和．【详解】（1）易得数列的前项的和；（2）观察可知数列5，55，555，…的通项为：，故其前项的和为：14．已知数列，，且满足，，求数列的通项公式；【详解】因为，所以.因为，，则，依次类推得，所以数