吉林省长春市市第七中学高三数学文上学期摸底试题含解析

吉林省长春市市第七中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意列出所有可能的结果，然后结合古典概型计算公式可得概率值.【详解】能组成两位数有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，总共有9种情况.其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为.故选：D.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题.2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则（）A.4 B.7 C.8 D.14参考答案：A【分析】由等差数列的性质即可求解【详解】,故故选：A【点睛】本题考查等差数列求和及基本性质，熟记求和公式及性质，准确计算是关键，是基础题3.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点

(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.

4个参考答案：A4.设p：，q：x2+x﹣6＞0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：考点：充要条件；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：先将分式不等式转化为整式不等式组，解二次不等式及绝对值不等式组成的不等式组，化简命题p；解二次不等式化简命题q；判断出p，q对应的集合的包含关系，判断出p是q的什么条件．解答：解：∵∴解得﹣1＜x＜1或x＞2或x＜﹣2即命题p：﹣1＜x＜1或x＞2或x＜﹣2∵x2+x﹣6＞0，∴x＞2或x＜﹣3．即命题q：x＞2或x＜﹣3．∵{x|x＞2或x＜﹣3}?{x|﹣1＜x＜1或x＞2或x＜﹣2}，所以p是q的必要不充分条件．故选B点评：解分式不等式关键是将其转化为整式不等式、考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简两个命题．5.命题“”的否定是

()A． B．C． D．参考答案：C6.设是双曲线的两个焦点,是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为(

)

A、

B、

C、

D、参考答案：C7.已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23参考答案：C【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选C8.为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）

A．相切

B．相交

C．相离

D．相切或相交参考答案：C9.已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（?RP）∩Q等于（）A． B．（﹣∞，﹣1]∪ D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）参考答案：C考点： 交、并、补集的混合运算．专题： 函数的性质及应用；集合．分析： 由一元二次不等式的解法求出集合P，由对数函数的性质求出集合Q，再由补集、交集的运算分别求出?RP和（?RP）∩Q．解答： 解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则集合P={x|﹣1≤x≤2}，由log2（x﹣1）≤1=得0＜x﹣1≤2，解得1＜x≤3，则Q={x|1＜x≤3}所以?RP={x|x＜﹣1或x＞2}，且（?RP）∩Q={x|2＜x≤3}=（2，3]，故选：C．点评： 本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数不等式的解法，属于基础题．10.已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3参考答案：D【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可．【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，即2sinαcosα=cos2α，①当cosα=0时，，此时，②当cosα≠0时，，此时，综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.向量、、在正方形网格中的位置如图所示，若（），则

。参考答案：412.已知等比数列中，，。若，则=

。参考答案：913.设全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=

，A∪B=

，A∩（?UB）=

．参考答案：{﹣1}，{﹣1，1，5}，{5}。考点：交、并、补集的混合运算；并集及其运算；交集及其运算．专题：集合．分析：确定出A与B，找出A与B交集、并集及A与B的补集即可．解答： 解：∵集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}={﹣1，5}，B={x|x2=1}={﹣1，1}，∴?UB=B={x|x≠±1}，∴A∩B={﹣1}，A∪B={﹣1，1，5}，A∩（?UB）={5}．故答案为：{﹣1}，{﹣1，1，5}，{5}．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．14.设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=

.参考答案：15.对于定义域在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若函数f(x)＝x2＋ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是__________．参考答案：(－1,3)由题意，得方程x2＋ax＋1＝x，即x2＋(a－1)x＋1＝0无实根，∴Δ＝(a－1)2－4＝a2－2a－3＜0，∴－1＜a＜3.16.下列命题中所有真命题的序号是________________.①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要条件；③“”是“”的充要条件.

参考答案：略17.已知复数z满足，则（

）A.

B.

C.

D.2参考答案：A略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）点在圆上，且在第一象限，过作的切线交椭圆于两点，问：的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是。说明理由.参考答案：（1）；（2）定值为6．试题分析：（1）要求椭圆标准方程，就是要确定的值，题中焦点说明，点在椭圆上，把坐标试题解析：（1）由题意得所以椭圆方程为（2）由题意，设的方程为与圆相切，，即由设，则考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交综合．【名师点睛】若直线与椭圆相交于两点，则，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后，应用韦达定理可得（或），这实质上解析几何中的是“设而不求”法．19.(本题满分14分)已知椭圆的焦点是,其上的动点满足.点为坐标原点，椭圆的下顶点为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设直线与椭圆的交于，两点，求过三点的圆的方程；（Ⅲ）设过点且斜率为的直线交椭圆于两点，试证明：无论取何值时，恒为定值.参考答案：解：（Ⅰ）∵

，

……1分,

∴

…………3分∴椭圆的标准方程为.

…4分(Ⅱ)联立方程得

消得，解得

……………6分设所求圆的方程为：

依题有

………………8分解得所以所求圆的方程为：.

………9分（Ⅲ）证明：设，联立方程组消得

---------------10分在椭圆内，恒成立。设，则，

-----------11分，

---------12分

-------------13分为定值。

---------14分20.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且经过点（1，），抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F与椭圆C1的一个焦点重合．（Ⅰ）过F的直线与抛物线C2交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C2的切线l1，l2，求直线l1，l2的交点Q的轨迹方程；（Ⅱ）从圆O：x2+y2=5上任意一点P作椭圆C1的两条切线，切点为A，B，证明：∠APB为定值，并求出这个定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，以及，设椭圆方程为，将点的坐标代入得c，然后求解椭圆方程，求出抛物线方程，设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4=0，利用韦达定理结合函数的导数求解直线的斜率，直线方程，求出点Q的横坐标是，点Q的纵坐标，然后求解点Q的轨迹方程．（Ⅱ）①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，求解∠APB的大小为定值．②当两条切线的斜率都存在时，即时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，则切线方程与椭圆方程联立，利用△=0，切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，通过，求解∠APB的大小为定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则，即，则，椭圆方程为，将点的坐标代入得c2=1，故所求的椭圆方程为焦点坐标为（0，±1），故抛物线方程为x2=4y…设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4=0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由于，所以，故直线l1的斜率为，l1的方程为，即，同理l2的方程为，令，即，显然x1≠x2，故，即点Q的横坐标是，点Q的纵坐标是，即点Q（2k，﹣1），故点Q的轨迹方程是y=﹣1…（Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，则此时P点横坐标为，代入圆的方程得P点的纵坐标为，此时两条切线方程分别为，此时，若∠APB的大小为定值，则这个定值只能是…②当两条切线的斜率都存在时，即时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，则切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），与椭圆方程联立消元得…由于直线y﹣y0=k（x﹣x0）是椭圆的切线，故，整理得…切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，故，…点P在圆x2+y2=5上，故，所以k1k2=﹣1，所以．综上可知：∠APB的大小为定值，得证…【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆以及抛物线的方程的求法，考查转化是以及计算能力．21.在长方体