湖南省湘潭市湘乡第六中学高三数学文摸底试卷含解析

湖南省湘潭市湘乡第六中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.的展开式中，二项式系数的最大值为

A．5

B．10

C．15

D．20参考答案：B2.的展开式中的常数项为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D展开式中的通项为，令，得.所以展开式中的常数项为3.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且，其中O为坐标原点，则实数a的值为A．2

B．±2

C．－2

D．参考答案：B4.已知平面,则下列命题中正确的是 （）A．

B．C．

D．

参考答案：D5.向量，则“x=2”是“"的A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A略6.“”是“”的A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B7.已知集合，，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D集合A＝，集合B＝，所以，。8.四棱锥P-ABCD的底面为正方形ABCD，PA⊥底面ABCD，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（）A.3 B.2 C.1 D.参考答案：C【分析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE,可得O为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，可得PA的值.【详解】解：连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，可得，可得，解得PA=1,故选C.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.9.已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，，则a，b，c的大小关系为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m＝0，从而f（x）＝﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.【详解】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故选：B．【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．10.已知集合等于（

）

A．{2，3}

B．{1，2，3}

C．{1，－1，2，3}

D．{2，3，x参考答案：答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数

最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：（1）的定义域是R，值域是[0，]（2）是周期函数，最小正周期是1（3）的图像关于直线(k∈Z)对称（4）在上是增函数

则其中真命题是__

参考答案：答案：（1）、（2）、（3）12.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是__________参考答案：，故答案为．13.已知A,B,C三点在同一条直线上，O为直线外一点，若,其中p,q,rR，则

．参考答案：014.已知函数是函数的反函数，则参考答案：15.定义在R上的函数f（x），对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，那么下面四个式子：①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；②；③n（n+1）；④n（n+1）f（1）．其中与f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）相等的是．参考答案：①②③【考点】抽象函数及其应用．【分析】由已知，定义在R上的函数f（x），对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，依次对下面四个结论进行判断，【解答】解：由定义知f（1）+f（2）+…+f（n）=f（1）+2f（1）+…+nf（1）==f（1）=n（n+1）；故①②③正确，④不正确；故应填①②③．16.在△ABC中，若点E满足，则λ1+λ2=．参考答案：1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】对应思想；转化法；平面向量及应用．【分析】根据向量的运算性质求出λ1和λ2的值，求和即可．【解答】解：如图示：，∵=3，∴==（﹣），∴=++=++（﹣）=+，故λ1+λ2=1，故答案为：1．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的加法与减法法则，是中档题．17.在区间[-2，3]上任取一个数a，则函数有极值的概率为

.参考答案：2/5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.22．已知函数(为常数).(1)若常数且,求的定义域;(2)若在区间(2,4)上是减函数,求的取值范围.参考答案：(1)由,当时,解得或,

当时,解得.

故当时,的定义域为{或}

当时,的定义域为}.

(2)令,因为为减函数,故要使在(2,4)上是减函数,

在(2,4)上为增且为正.

故有.

故.19.已知项数为的数列{an}满足如下条件:①；②.若数列{bn}满足,其中,则称{bn}为{an}的“伴随数列”.(1)数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”,若存在,写出其“伴随数列”；若不存在,请说明理由；(2)若{bn}为{an}的“伴随数列”,证明:；(3)已知数列{an}存在“伴随数列”{bn},且,,求m的最大值.参考答案：(1)不存在“伴随数列”，见解析；(2)见解析；(3)33【分析】（1）根据“伴随数列”的定义检验即可判定；（2）根据“伴随数列”的定义，结合数列的单调性讨论的符号即可得解；（3）根据数列{an}和其“伴随数列”{bn}项的特征，结合单调性分析出，即可求解.【详解】(1)解:数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”因为,所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.

(2)证明:因为,

又因为,所以有

所以

所以成立(3)1≤ij≤m,都有,因为,.所以,所以所以因为,所以又=所以,所以又,所以例如:(),满足题意,所以m的最大值是33.【点睛】此题考查数列新定义相关问题，关键在于读懂题意，建立恰当的等量关系或不等关系，求解得值，综合性比较强.20.（12分）如右图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．（1）证明：//平面；（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的正切值．

参考答案：本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直，解题的关键是正确运用线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理，属于中档题．（Ⅰ）证明PB∥平面ACM，利用线面平行的判定定理，证明MO∥PB即可；（Ⅱ）证明AD⊥平面PAC，利用线面垂直的判定定理，证明AD⊥AC，AD⊥PO即可；（Ⅲ）根据AD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定定理，可证平面PAD⊥平面PAC，从而得到线面角的求解。（1）证明：连接分别为中点，又//平面（2）证明：，平面,且又为平面内的两条相交直线平面（3）解：作OD中点N，连接MN，AN分别为中点，平面，

平面即为直线与平面所成角：

【解析】略21.(本小题满分12分)等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.参考答案：(Ⅰ)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1+5d=4，a1+5d=3，解得，所以{an}的通项公式为.（Ⅱ）由(Ⅰ)知，当n=1,2,3时，；当n=4,5时，；当n=6,7,8时，；当n=9,10时，，所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.22.已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：f（x）≥x﹣1；（Ⅲ）若在区间（0，+∞）上恒成立，求a的最小值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设切线的斜率为k，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程．（Ⅱ）要证：f（x）≥x﹣1，需证明：g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可．（Ⅲ）要使：在区间在（0，+∞）恒成立，等价于：在（0，+∞）恒成立，利用函数的导数，通过①当a＞0时，利用h（1）＜0，说明a＞0不满足题意．②当a＜0时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设切线的斜率为k，f′（x）=lnx+1，k=f′（1）=ln1+1=1因为f（1）=1?ln1=0，切点为（1，0）．切线方程为y﹣0=1?（x﹣1），化简得：y=x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）要证：f（x）≥x﹣1只需证明：g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立，g′（x）=lnx+1﹣1=lnx当x∈（0，1）时f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增；当x=1时g（x）min=g（1）=1?ln1﹣1+1=0g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立