辽宁省沈阳市丹东铁路职工子弟中学高三数学理知识点试题含解析

辽宁省沈阳市丹东铁路职工子弟中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某班全体学生测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若高于80分的人数是15，则该班的学生人数是（）A.40 B.45 C.50 D.60参考答案：C【分析】根据给定的频率分布直方图，可得在之间的频率为0.3，再根据高于80分的人数是，即可求解学生的人数，得到答案．【详解】由题意，根据给定的频率分布直方图，可得在[80,100]之间的频率为，又由高于80分的人数是15，则该班的学生人数是人，故选C．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.函数的图象大致为（

）参考答案：B略3.执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．4.单位向量与的夹角为，则=(

) A． B．1 C． D．2参考答案：B考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由||=||=1，与的夹角为60°，故，，，又由=，代入即可得到答案．解答： 解：∵向量与为单位向量，且向量与的夹角为，∴，，∴===1﹣1+1=1∴=1故选B点评：向量的数量积运算中，要熟练掌握如下性质：==，5.设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B为函数的定义域，则A∩B=（）A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]参考答案：D【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】根据函数成立的条件，求出函数的定义域B，根据不等式的性质求出集合A，然后根据并集的定义即可得到结论．【解答】解：A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]，要使函数y=有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，∴函数的定义域B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用函数成立的条件求出函数的定义域y以及利用不等式的解法求出集合A是解决本题的关键，比较基础6.设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、（）都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（

）A.10

B.11

C.12

D.13

参考答案：B试题分析：根据题意，对于，含个元素的子集有个，但、、只能取一个；、只能取一个；、只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有个；故选．考点：集合的包含关系判断及应用.7.若函数在区间上的图像如图所示,则的值

可能是

A.

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知双曲线的一条渐近线为l，圆与l交于第一象限A、B两点，若，且，其中O为坐标原点，则双曲线的离心率为（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据可知是等边三角形，从而可求得和；在，中，利用余弦定理可构造出关于的方程，解出；利用圆心到渐近线的距离为即可得到的关系，从而求得离心率.【详解】双曲线的一条渐近线为：圆的圆心坐标为，半径为

是边长为的等边三角形，圆心到直线的距离为又

，在，中，由余弦定理得：，解得：圆心到直线的距离为，有：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够通过余弦定理求得，利用点到直线距离构造出的关系式，从而得到离心率.9.已知函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)……(x－100)，则＝(

)

A．－99！ B．－100！ C．－98！ D．0

参考答案：A略10.函数是定义在的偶函数，则的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当满足时，则的最小值是

；参考答案：12.某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球(袋中仅有白色和黄色两种颜色的球)，若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是．参考答案：13.已知，则______.参考答案：10【分析】将二项式等价变形为，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得的值.【详解】，其通项公式为，故，所以.故答案为：10【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.若不等式组的解集中所含整数解只有-2，求的取值范围

.参考答案：由得要使解集中只有一个整数，则由可知，不等式的解为，且，即，所以的取值范围是。15.若对任意实数(－∞，1]，都有成立，则实数a的值为

．参考答案：题目可以转化为：对任意实数(，1]，都有成立，令，则，当时，，故在(，1]单调递减，若，则最小值为0，与恒成立矛盾；若，要使恒成立，则，解得与矛盾．当时，此时在(，)单调递减，在(，1)单调递增，此时，若，则最小值为0，与恒成立矛盾；若，要使恒成立，则．接下来令，不等式可转化为，设，则，则在(，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t＝0时，有最小值为0，即，又我们要解的不等式是，故，此时，∴．16.设,则的大小关系是

;参考答案：17.若在各项都为正数的等比数列中，，，则

．参考答案：22018设公比为，则，（因），∴.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知f(x)=在区间[－1，1]上是增函数.（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案：解析：（Ⅰ）f＇(x)=4+2

∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.

①设(x)=x2－ax－2，方法一：①

－1≤a≤1，∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.方法二：①

或

0≤a≤1

或

－1≤a≤0

－1≤a≤1.∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.（Ⅱ）由∵△=a2+8>0∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=－2，从而|x1－x2|==.∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.

②设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一：②

g(－1)=m2－m－2≥0且g(1)=m2+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m≠0时，②

m>0，g(－1)=m2－m－2≥0

或m<0，g(1)=m2+m－2≥0

m≥2或m≤－2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

19.(本题满分12分）一水渠的横截面如下图所示，它的横截面曲线是抛物线形，AB宽2m，渠OC深为1.5m，水面EF距AB为0.5m.（1）求截面图中水面宽度；（2）如把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下边长为多大时，才能使所挖的土最少？参考答案：【知识点】抛物线的应用．

H7【答案解析】（1）m；（2）截面梯形的下边长为m时，才能使所挖的土最少.

解析：（1）建立如图所示坐标系，则抛物线方程为x2=(y+)，当y=-0.5时，x=±，∴水面宽EF=m.（2）如上图，设抛物线一点M(t,t2-)（t>0），因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土.由y=x2-,求导得y′=3x，∴过点M的切线斜率为3t，切线方程为y-(t2-)=3t(x-t).令y=0，则x1=,令y=-,则x2=,故截面梯形面积为S=(2x1+2x2)·=(+t)≥,当且仅当t=时所挖土最少，此时下底宽m.【思路点拨】（1）先建立直角坐标系，从而可得到A，B，C的坐标，然后设出抛物线的标准形式，将A的坐标代入即可得到抛物线的方程，再结合点E的纵坐标可求得其横坐标，从而可求得EF的宽度．（2）先设出点M的坐标，根据沿过点M与抛物线相切的切线挖土时挖出的土最少，然后对抛物线方程进行求导，求得点M的切线的斜率，表示出切线方程，然后令y=0、﹣，求得对应的x的值，从而表示出截面面积，最后根据基本不等式的性质可求得t的值．20.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）若，，求边c的长；（2）若，求角B的大小.参考答案：（1）解：由及余弦定理，得，∴，代入，，解得.（2）解：由及正弦定理，得，∵，∴，即，解得或（舍），因为，所以角为.21.已知函数.(1)若，求的值；(2)若动直线x＝t(t∈[0，π])与函数f(x)和函数的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值，并求出此时t的值。

参考答案：22.已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（其中e=2.71828…是自然对数的底数）．（I）求实数a、b的值；（II）求证：f（x）＞1．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线