河南省商丘市永城芒山镇第一中学高三数学理摸底试卷含解析

河南省商丘市永城芒山镇第一中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题，，那么命题为（

）

A．

B．C．

D．参考答案：B2.已知命题：“，总有”的否定是“，使得”;命题：在中，“”是“”的必要不充分条件.则有A.真真

B.真假

C.假真

D.假假参考答案：A3.在矩形ABCD中，AB=，BC=,P为矩形内一点，且AP=，若

的最大值为(

’

A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知集合，，则=（

）A． B．C．（0,3) D．(1,3)参考答案：D考点：集合的运算试题解析：所以故答案为：D5.过双曲线的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为（

）

A．

B．2

C．

D．参考答案：A解：由，由角平分线定理知==,由AB⊥AO知∠AOB=60,∠AOF2=30,易解得离心率e=．选A【注】注意a>b>0的条件6.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

则P的轨迹一定通过△ABC的（

） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心参考答案：B略7.已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8.

将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色．证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．参考答案：证明：首先证明平面上一定存在三个顶点同色的直角三角形．任取平面上的一条直线l，则直线l上必有两点同色．设此两点为P、Q，不妨设P、Q同着红色．过P、Q作直线l的垂线l1、l2，若l1或l2上有异于P、Q的点着红色，则存在红色直角三角形．若l1、l2上除P、Q外均无红色点，则在l1上任取异于P的两点R、S，则R、S必着蓝色，过R作l1的垂线交l2于T，则T必着蓝色．△RST即为三顶点同色的直角三角形．设直角三角形ABC三顶点同色(∠B为直角)．把△ABC补成矩形ABCD(如图)．把矩形的每边都分成n等分(n为正奇数，n>1，本题中取n=1995)．连结对边相应分点，把矩形ABCD分成n2个小矩形．AB边上的分点共有n+1个，由于n为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，(否则任两个相邻分点异色，则可得A、B异色)，不妨设相邻分点E、F同色．考察E、F所在的小矩形的另两个顶点E￠、F￠，若E￠、F￠异色，则△EFE￠或△DFF￠为三个顶点同色的小直角三角形．若E￠、F￠同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形，…．这样依次考察过去，不妨设这一行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色．同样，BC边上也存在两个相邻的顶点同色，设为P、Q，则考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形．否则，PQ所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色．现考察EF所在行与PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都与N同色，△MNH为顶点同色的直角三角形．由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比为1995，且这两个直角三角形的顶点分别同色．证明2：首先证明：设a为任意正实数，存在距离为2a的同色两点．任取一点O(设为红色点)，以O为圆心，2a为半径作圆，若圆上有一个红点，则存在距离为2a的两个红点，若圆上没有红点，则任一圆内接六边形ABCDEF的六个顶点均为蓝色，但此六边形边长为2a．故存在距离为2a的两个蓝色点．下面证明：存在边长为a，a，2a的直角三角形，其三个顶点同色．如上证，存在距离为2a的同色两点A、B(设为红点)，以AB为直径作圆，并取圆内接六边形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一点为红色，则存在满足要求的红色三角形．若C、D、E、F为蓝色，则存在满足要求的蓝色三角形．下面再证明本题：由上证知，存在边长为a，a，2a及1995a，1995a，1995′2a的两个同色三角形，满足要求．证明3：以任一点O为圆心，a及1995a为半径作两个同心圆，在小圆上任取9点，必有5点同色，设为A、B、C、D、E，作射线OA、OB、OC、OD、OE，交大圆于A￠，B￠，C￠，D￠，E￠，则此五点中必存在三点同色，设为A￠、B￠、C￠．则DABC与DA￠B￠C￠为满足要求的三角形．

9.已知复数满足，则的虚部为 A．

B．

C．

D．参考答案：A10.执行右边的程序框图，若，则输出的S（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设sinx+cosx=﹣（其中x∈（0，π），则sin2x=；cos2x的值为

．参考答案：考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由sinx+cosx=﹣，x∈（0，π），可得cosx＜0，sin2x=﹣，继而有（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x=，于是利用（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）=﹣cos2x即可求得答案．解答： 解：∵sinx+cosx=﹣，x∈（0，π），∴cosx＜0，且1+2sinxcosx=，∴sin2x=﹣．∴（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x=，∴sinx﹣cosx=，与已知sinx+cosx=﹣联立，∴（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）=﹣cos2x=﹣×=﹣，∴cos2x=，故答案为：；．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．12.若数列{an}满足a1=﹣1，n（an+1﹣an）=2﹣an+1（n∈N*），则数列{an}的通项公式是an=．参考答案：2﹣【考点】8H：数列递推式．【分析】n（an+1﹣an）=2﹣an+1（n∈N*），化为（n+1）an+1﹣nan=2，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵n（an+1﹣an）=2﹣an+1（n∈N*），∴（n+1）an+1﹣nan=2，则数列{nan}是等差数列，首项为﹣1，公差为2．∴nan=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3，∴an=2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，统计了某4天的用电量与当天气温，数据如下表：气温（0C）181310用电量（度）24343864由表中数据可得线性回归方程中的，预测当气温为时，该单位用电量的度数约为_____________度．参考答案：8014.已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足=+，则||的最小值是．参考答案：【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】首先建立平面直角坐标系：以A为原点，平行于CB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出C，B点的坐标，并根据题意设P（cosθ，sinθ），从而得到的坐标，用θ表示||即可．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），则A（0，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）；=+==（）．=（）则||===．∴故答案为：

15.若非零向量，满足，则，的夹角的大小为__________．参考答案：

16.对于函数

①f(x)=lg(|x-2|+1),

②f(x)=(x-2)2,

③f(x)=cos(x+2),判断如下三个命题的真假：命题甲：f(x+2)是偶函数；命题乙：f(x)在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；命题丙：f(x+2)-f(x)在（-∞，+∞）上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是______参考答案：②略17.函数的值域为．参考答案：[，+∞）【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】可得函数的定义域为[，+∞），函数单调递增，进而可得函数的最小值，可得值域．【解答】解：由2x﹣1≥0可得x≥，∴函数的定义域为：[，+∞），又可得函数f（x）=+x在[，+∞）上单调递增，∴当x=时，函数取最小值f（）=，∴函数f（x）的值域为：[，+∞），故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数的值域，得出函数的单调性是解决问题的关键，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知在数列中，，，（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前n项和。18

参考答案：（1）故是以为首项，以为公比的等比数列。（2）由(1)得

可求得19.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635

参考答案：【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式．I4

K2【答案解析】(1)有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2).解析：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1，2，3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.【思路点拨】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解．20.抛掷一枚质地不均匀的骰子，出现向上点数为1，2，3，4，5，6的概率依次记为p1，p2，p3，p4，p5，p6，经统计发现，数列{pn}恰好构成等差数列，且p4是p1的3倍．（Ⅰ）求数列{pn}的通项公式．（Ⅱ）甲、乙两人用这枚骰子玩游戏，并规定：掷一次骰子后，若向上点数为奇数，则甲获胜，否则已获胜，请问这样的规则对甲、乙二人是否公平？请说明理由；（Ⅲ）甲、乙、丙三人用这枚骰子玩游戏，根据掷一次后向上的点数决定胜出者，并制定了公平的游戏方案，试在下面的表格中列举出两种可能的方案（不必证明）．方案序号甲胜出对应点数乙胜出对应点数丙胜出对应点数①

②

参考答案：解：（Ⅰ）设数列{pn}的公差为d，由p4是p1的3倍及概率的性质，有，解得，d=，故，1≤n≤6，n∈N*（Ⅱ）不公平，甲获胜的概率P甲=p1+p2+p3=，甲获胜的概率PP乙=p4+p5+p6=，二者概率不同，所以不公平．（Ⅲ）（共6种可能，答出任意2种即可） 甲获胜对应点数 乙获胜对应点数 丙获胜对应点数① 1，6 2，5 3，4② 1，6 3，4 2，5③ 2，5 3，4 1，6④ 2，5 1，6 3，4⑤ 3，4 1，6 2，5⑥ 3，4 2，5 1，6略21.设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称。对任意都有。（1）

设，求；（2）

证明：是周期函数。参考答案：解：（1）由，，知，∵，∴。同理，∴；(2)证明：依题设的图象关于直线对称，故，即。又由是偶函数知，∴，将上式中以代换，得，∴是R上的以2为周期的周期函数

22.已知椭圆E：+=1（a＞）的离心率e=，右焦点F（c，0），过点A（，0）的直线交椭圆E于P，Q两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点P关于x轴的对称点为M，求证：M，F，Q三点共线；（3）当△FPQ面积最大时，求直线PQ的方程．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单