湖南省株洲市景弘中学高三数学文测试题含解析

湖南省株洲市景弘中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A2.设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|=求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．【解答】解：∵抛物线方程为y2=2x，∴焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则|BF|=x2+=2，∴x2=2，把x2=2代入抛物线y2=2x，得，y2=﹣2，∴直线AB过点M（3，0）与（2，﹣2）方程为2x﹣y﹣6=0，代入抛物线方程，解得，x1=，∴|AE|=+=5，∵在△AEC中，BN∥AE，∴===，故选：A【点评】本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力．3.已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．4.设满足约束条件，若目标函数的最大值为6，则的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案：D略5.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H信MN∥BC，交AB于N，交CD于M，则它的体积V=VE﹣AQPD+VEPQ﹣FMN+VF﹣NBCM，由此能求出结果．【解答】解：过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H信MN∥BC，交AB于N，交CD于M，则它的体积：V=VE﹣AQPD+VEPQ﹣FMN+VF﹣NBCM=+S△EPQ?NQ+=++=5（立方丈）．故选：B．6.已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程，在区间上有四个不同的根，则＝A．－12

B．－8

C．－4

D．4参考答案：B因为是定义在R上的奇函数，满足，所以，由为奇函数，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0，2]上是增函数，所以在区间[?2，0]上也是增函数.如图2所示，那么方程m(m>0)在区间[?8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4，由对称性知，即x1+x2=?12，同理：x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=?12+4=?8.选B.7.平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴∴cosθ==，故选C．8.已知||=1，||=2，?（﹣）=0，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由?（﹣）=0，得到，展开数量积公式，代入已知条件得答案．【解答】解：∵||=1，||=2，且?（﹣）=0，∴，即＜＞﹣1=0，∴1×2×cos＜＞=1，cos＜＞=，则向量与的夹角为．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．9.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．故选：B．10.】下列命题是真命题的是

(

)A．是的充要条件

B.，是的充分条件

C．，＞

D.，＜0

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△中，，，，则

；参考答案：12.数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n﹣1，则=．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】设数列{an}的前n项和为Sn，则，当n≥2时，．即可得出an=Sn﹣Sn﹣1．进而得到，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设数列{an}的前n项和为Sn，则，当n≥2时，．∴an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1﹣（3n﹣1﹣1）=2×3n﹣1，当n=1时也成立．∴=（2×3n﹣1）2=4×9n﹣1．∴=4（90+91+…+9n﹣1）==．故答案为：．13.已知函数则的值为

.参考答案：14.已知角的终边上一点，其中，则

。参考答案：略15.对任意实数，．若不等式恒成立，则实数的最小值为

参考答案：略16.函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．下列命题正确的是

．①“囧函数”的值域为R；

②“囧函数”在（0，+∞）上单调递增；③“囧函数”的图象关于y轴对称；

④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线y=kx+b（k≠0）的图象至少有一个交点．参考答案：③⑤略17.已知数列{an}满足an+1=an﹣an﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记Sn=a1+a2+…+an．则a3=，S2015=．参考答案：2,2.【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】由an+1=an﹣an﹣1（n≥2）可推得该数列的周期为6，易求该数列的前6项，由此可求得答案．【解答】解：由an+1=an﹣an﹣1（n≥2），得an+6=an+5﹣an+4=an+4﹣an+3﹣an+4=﹣an+3=﹣（an+2﹣an+1）=﹣（an+1﹣an﹣an+1）=an，所以6为数列{an}的周期，又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+3+2﹣1﹣3﹣2=0，∵2015=335×6+5，S2015=335×0+（1+3+2﹣1﹣3）=2，故答案为：2，2．【点评】本题考查求数列的通项及前n项和公式，注意解题方法的积累，找出数列的周期是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）设函数．（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）若当时，，求的最大值．参考答案：解：（Ⅰ）．于是，当时，；时，．故在单调减少，在，单调增加．当时，取得极大值；当时，取得极小值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）及，，在的最大值为4，最小值为1．因此，当时，的充要条件是，即，满足约束条件，由线性规划得，的最大值为7．

19.为了实现文化脱贫，某高校鼓励即将毕业的大学生到西部偏远山区去支教，校学生就业部针对即将毕业的男女生是否愿意到西部支教进行问卷调查，专家得到的情况如下表所示：

愿意去支教不愿意去支教总计女生

20

男生40

总计70

100(1)完成上述联表；(2)根据表中的数据，试通过计算，判断是否有95%的把握说明是否愿意去西部支教与性别有关；(3)若在接受调查的所有男生中按照“是否愿意去支教”进行分层抽样，随机抽取10人，再在10人中抽取3人进行面谈，记面谈的男生中，不愿意去支教的人数为，求的分布列以及数学期望.参考数据及公式如下：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828，其中n＝a＋b＋c＋d.参考答案：

20.（本小题满分14分）已知等比数列的首项，公比，数列前n项和记为，前n项积记为.（Ⅰ）求数列的最大项和最小项；（Ⅱ）判断与的大小，并求为何值时，取得最大值；（Ⅲ）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列。（参考数据）参考答案：解：（Ⅰ）①

当n是奇数时，,单调递减，,②

当n是偶数时，,单调递增，；综上，当n=1时，;当n=2时，.………4分

（Ⅱ），，，则当时，；当时，，……7分

又，的最大值是中的较大者.，，因此当n=12时，最大.

………9分

（Ⅲ）随n增大而减小，数列的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增.①当n是奇数时，调整为.则，，成等差数列；

………………11分

②当n是偶数时，调整为；则，，成等差数列；综上可知，数列中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.……12分

①n是奇数时，公差；②n是偶数时，公差.无论n是奇数还是偶数，都有，则，因此，数列是首项为，公比为的等比数列.

………14分

21.（12分）甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率