福建省福州市三山中学高三数学理上学期摸底试题含解析

福建省福州市三山中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果执行右面的程序框图，那么输出的（

）Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652参考答案：C2.已知角α是第二象限角，直线2x+（tanα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D【考点】直线的斜率．【分析】表示出k，求出tanα，根据角α是第二象限角，求出cosα即可．【解答】解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．3.复数的虚部为（）A．2i

B．﹣2i

C．2

D．﹣2参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．3794729专题：计算题．分析：因为2﹣i与2﹣i互为共轭复数，所以直接通分即可．解答：解：∵复数====2i．故该复数的虚部为2．故选C．点评：本题考查了复数的运算和基本概念，其中分子、分母都乘以分母的共轭复数是解决问题的关键．4.函数的图像如图所示，为得到的图像，则只要将的图象（

）A．向右平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移个单位

D．向左平移个单位参考答案：B5.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．函数有极大值和极小值

B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值参考答案：D6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A．8 B．16 C．32 D．64参考答案：C7.已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.已知数列{an}中，a1=1，an+1=﹣，则a2015等于(

)A．1 B．﹣1 C． D．﹣2参考答案：C【考点】数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】通过计算出前几项的值得出周期，进而可得结论．【解答】解：依题意，a2=﹣=﹣，a3=﹣=﹣2，a4=﹣=1，∴该数列是以3为周期的周期数列，∵2015=671×3+2，∴a2015=a2=﹣，故选：C．【点评】本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．9.是的

（

A

）A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：【知识点】充分、必要、充要条件的判断.A2A

解析：由得：或，所以能推出或，但或，不能推出，故是的充分不必要条件，故选A。【思路点拨】先由得：或，再做出双向判断即可。10.若函数有4个零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱柱ABC-A1B1C1底面是边长为的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12,则该三棱柱的体积为

.参考答案：设球半径，上下底面中心设为，，由题意，外接球心为的中点，设为，则，由，得，又易得，由勾股定理可知，，所以，即棱柱的高，所以该三棱柱的体积为.12.在区间[0，9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为．参考答案：【考点】几何概型；指、对数不等式的解法．【分析】解不等式1≤log2x≤2，可得2≤x≤4，以长度为测度，即可求在区间[0，9]上随机取一实数x，该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率．【解答】解：本题属于几何概型解不等式1≤log2x≤2，可得2≤x≤4，∴在区间[0，9]上随机取一实数x，该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为故答案为：13.，，，则实数的值为

.参考答案：14.（极坐标系与参数方程）极坐标系下曲线表示圆，则点到圆心的距离为

；参考答案：15.已知函数，正实数m，n满足，且，则

参考答案：116.不等式3x＞2的解为

．参考答案：x＞log32考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将原不等式两端同时取对数，转化为对数不等式即可．解答： 解：∵3x＞2＞0，∴，即x＞log32．故答案为：x＞log32．点评：本题考查指数不等式的解法，将其转化为对数不等式是解题的关键，属于基础题．17.如图，在梯形ABCD，，，，，且，则的值为______.参考答案：【分析】将转化为用来表示，解方程求得的值.【详解】依题意,，解得.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）参考答案：解：（1）因为时，，

代入关系式，得，……2分解得.…4分（2）由（1）可知，套题每日的销售量，

……6分所以每日销售套题所获得的利润从而.

……8分令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减，

……10分所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，……11分所以当时，函数取得最大值.

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.……………12分19.已知函数f（x）=（ax2﹣1）?ex，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（I）对函数f（x）进行求导，令导函数在x=1处的值为0，列出方程，求出a，（II）求出导函数，设g（x）=ax2+2ax﹣1，对a的值进行分类讨论结合二次函数的性质研究f′（x）；最后令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）?ex．x∈R…依题意得f'（1）=（3a﹣1）?e=0，解得．经检验符合题意．…（Ⅱ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）?ex，设g（x）=ax2+2ax﹣1，（1）当a=0时，f（x）=﹣ex，f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…（2）当a＜0时，方程g（x）=ax2+2ax﹣1=0的判别式为△=4a2+4a，令△=0，解得a=0（舍去）或a=﹣1．1°当a=﹣1时，g（x）=﹣x2﹣2x﹣1=﹣（x+1）2≤0，即f'（x）=（ax2+2ax﹣1）?ex≤0，且f'（x）在x=﹣1两侧同号，仅在x=﹣1时等于0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…2°当﹣1＜a＜0时，△＜0，则g（x）=ax2+2ax﹣1＜0恒成立，即f'（x）＜0恒成立，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…3°a＜﹣1时，△=4a2+4a＞0，令g（x）=0，方程ax2+2ax﹣1=0有两个不相等的实数根，，作差可知，则当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数；当时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）在上为单调增函数；当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数．…综上所述，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，+∞）；当a＜﹣1时，函数f（x）的单调减区间为，，函数f（x）的单调增区间为．…【点评】本题考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查函数在某点取得极值的条件、考查等价转化的数学思想方法．20.已知圆过椭圆的短轴端点，分别是圆与椭圆上任意两点，且线段长度的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点作圆的一条切线交椭圆于两点，求的面积的最大值.参考答案：21.已知函数,

(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；

(2)求函数f(x)在区间上的值域．参考答案：略22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线C与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）过点且平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若，求的值.参考答案：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程：，直线的直角坐标方程：.（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）将曲线的参数方程两边平方后相加，求得对应的直角坐标方程.