高等数学课后习题及参考答案(第四章)

高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题411.求下列不定积分:(1);解.(2);解.(3);解.(4);解.(5);解.(6);解.(7);解.(8);解.(9)(g是常数);解.(10);解.(11);解.(12);解.(13);解.(14);解.(15);解.(16);解.(17);解.(18);解.(19);解.(20);解.(21);解.(22);解.(23);解.(24);解.(25);解.(26);解.2.一曲线通过点(e2,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程.解设该曲线的方程为yf(x),则由题意得,所以.又因为曲线通过点(e2,3),所以有3213f(e2)ln|e2|C2C,C321.于是所求曲线的方程为yln|x|1.3.一物体由静止开始运动,经t秒后的速度是3t2(m/s),问(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？(2)物体走完360m需要多少时间？解设位移函数为ss(t),则sv3t2,.因为当t0时,s0,所以C0.因此位移函数为st3.(1)在3秒后物体离开出发点的距离是ss(3)3327.(2)由t3360,得物体走完360m所需的时间s.4.证明函数,exshx和exchx都是的原函数.证明.因为,所以是的原函数.因为(exshx)exshxexchxex(shxchx),所以exshx是的原函数.因为(exchx)exchxexshxex(chxshx),所以exchx是的原函数.习题421.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数使等式成立(例如:(1)dxd(ax);解dxd(ax).(2)dxd(7x3);解dxd(7x3).(3)xdxd(x2);解xdxd(x2).(4)xdxd(5x2);解xdxd(5x2).(5);解.(6)x3dxd(3x42);解x3dxd(3x42).(7)e2xdxd(e2x);解e2xdxd(e2x).(8);解.(9);解.(10);解.(11);解.(12);解.(13);解.(14).解.2.求下列不定积分(其中a,b,w,j均为常数):(1);解.(2);解.(3);解.(4);解.(5);解.(6);解.(7);解.(8);解.(9);解.(10);解.(11);解.(12);解(13);解.(14);解.(15);解.(16);解.(17);解.(18);解.(19);解.(20);解.(21);解.(22);解.(23);解.(24);解.(25);解.(26);解.(27);解.(28);解.(29);解.(30);解.(31);解.(32);解.(33);解.(34)(>0);解,.(35);解.或.(36);解.(37);解.(38);解.(39);解.(40).解.习题43求下列不定积分:1.;解.2.;解.3.;解.4.;解.5.;解.6.;解因为,所以.7.;解因为,所以.8.;解.9.;解.10.解.11.;解.12.;解.13.;解.14.;解.15.;解.16.;解.17.;解.18.;解.19.;解.20.;解因为,所以.21.;解.22..解,而,,所以.习题44求下列不定积分:1.;解.2.;解.3.;解.4.;解.5.;解.6.;解.7.;解.8.;解.9.;解.10.;解.11.;解,因为,而由递推公式,得,所以.12.;解.13.;解.或.14.;解.或.15.;解.或.16.;解.或.17.;解.18.;解.19.;解.20.;解.21.;解令,则,,.22..解令,则,,代入得.总习题四求下列不定积分(其中a,b为常数):1.;解.2.;解.3.(a>0);解.4.;解.5.;解.6.;解.7.;解.8.;解.9.;解.10.;解.11.;解.12.;解.13.;解因为,所以.14.;解..15.;解.16.;解.17.;解.18.;解.19.;解.20.;解.21.;解.22.;解.23.;解.提示:已知递推公式.24.;解.25.;解.26.;解.27.;解.28.;解.29.;解.30.;解.31.;解.32.;解.33.;解.34.;解因为所以.35.;解.36.;解.37.;解ln|sinx|ln|1sinx|Cln|cscx1|C.38.;解.39.;解令,则.40.;解.习题8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有SKIPIF1<0面上的闭区域SKIPIF1<0，薄板上分布有面密度为SKIPIF1<0的电荷，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷SKIPIF1<0．解用一组曲线将SKIPIF1<0分成SKIPIF1<0个小闭区域SKIPIF1<0，其面积也记为SKIPIF1<0.任取一点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0上分布的电量SKIPIF1<0.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0．2.设SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0．试利用二重积分的几何意义说明SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的关系．解由二重积分的几何意义知，SKIPIF1<0表示底为SKIPIF1<0、顶为曲面SKIPIF1<0的曲顶柱体SKIPIF1<0的体积；SKIPIF1<0表示底为SKIPIF1<0、顶为曲面SKIPIF1<0的曲顶柱体SKIPIF1<0的体积．由于位于SKIPIF1<0上方的曲面SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0面和SKIPIF1<0面均对称，故SKIPIF1<0面和SKIPIF1<0面将SKIPIF1<0分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为SKIPIF1<0．由此可知SKIPIF1<0．3.利用二重积分定义证明：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为两个无公共内点的闭区域.证(1)由于被积函数SKIPIF1<0，故由二重积分定义得SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)因为函数SKIPIF1<0在闭区域SKIPIF1<0上可积，故不论把SKIPIF1<0怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割SKIPIF1<0时，可以使SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公共边界永远是一条分割线。这样SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的积分和就等于SKIPIF1<0上的积分和加SKIPIF1<0上的积分和，记为SKIPIF1<0令所有SKIPIF1<0的直径的最大值SKIPIF1<0，上式两端同时取极限，即得SKIPIF1<0根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，其中积分区域SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴与直线SKIPIF1<0所围成；(2)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，其中积分区域SKIPIF1<0是由圆周SKIPIF1<0所围成；(3)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是三角形闭区域，三顶点分别为SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.解(1)在积分区域SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，根据二重积分的性质４，可得SKIPIF1<0(2)由于积分区域SKIPIF1<0位于半平面SKIPIF1<0内，故在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0．从而SKIPIF1<0(3)由于积分区域SKIPIF1<0位于条形区域SKIPIF1<0内，故知SKIPIF1<0上的点满足SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0(4)由于积分区域SKIPIF1<0位于半平面SKIPIF1<0内，故在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<05.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0.解(1)在积分区域SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(2)在积分区域SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(3)在积分区域SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(4)在积分区域SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0习题8-21.计算下列二重积分：(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由两坐标轴及直线SKIPIF1<0所围成的闭区域；(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的三角形闭区域．解(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0可用不等式表示为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0可用不等式表示为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由两条抛物线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所围成的闭区域；(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由圆周SKIPIF1<0及SKIPIF1<0轴所围成的右半闭区域；(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所围成的闭区域．解(1)SKIPIF1<0可用不等式表示为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0可用不等式表示为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0可用不等式表示为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0化二重积分SKIPIF1<0为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域SKIPIF1<0是：(1)由直线SKIPIF1<0及抛物线SKIPIF1<0所围成的闭区域；(2)由SKIPIF1<0轴及半圆周SKIPIF1<0所围成的闭区域；(3)由直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及双曲线SKIPIF1<0所围成的闭区域；(4)环形闭区域SKIPIF1<0．解(1)直线SKIPIF1<0及抛物线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)将SKIPIF1<0用不等式表示为SKIPIF1<0，于是可将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0；如将SKIPIF1<0用不等式表示为SKIPIF1<0，于是可将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0(3)三个交点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(4)将SKIPIF1<0划分为４块，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<04.改换下列二次积分的积分次序：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0；(5)SKIPIF1<0；(6)SKIPIF1<0．解(1)所给二次积分等于二重积分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可改写为SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(2)所给二次积分等于二重积分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可改写为SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(3)所给二次积分等于二重积分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可改写为SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(4)所给二次积分等于二重积分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可改写为SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(5)所给二次积分等于二重积分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可改写为SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(6)所给二次积分等于二重积分SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0表示为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<05.计算由四个平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所围成柱体被平面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0截得的立体的体积．解此立体为一曲顶柱体，它的底是SKIPIF1<0面上的闭区域SKIPIF1<0，顶是曲面SKIPIF1<0，因此所求立体的体积为SKIPIF1<06.求由曲面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所围成的立体的体积．解所求立体在SKIPIF1<0面上的投影区域为SKIPIF1<0所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：SKIPIF1<07.画出积分区域，把积分SKIPIF1<0表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域SKIPIF1<0是：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．解(1)在极坐标中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(2)在极坐标中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(3)在极坐标中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(4)在极坐标中，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<08.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．解(1)用直线SKIPIF1<0将积分区域SKIPIF1<0分成SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两部分：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(2)在极坐标中，直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的方程分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0。因此SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<0(3)在极坐标中，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<0(4)在极坐标中，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；两者的交点与原点的连线的方程是SKIPIF1<0。因此SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<09.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．解(1)在极坐标中，SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<0(2)在极坐标中，SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<0(3)在极坐标中，抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；直线SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<0(4)在极坐标中，积分区域SKIPIF1<0，于是原式SKIPIF1<010.利用极坐标计算下列各题：(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由圆周SKIPIF1<0所围成的闭区域；(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由圆周SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所围成的在第一象限内的闭区域.解(1)在极坐标中，SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<0(2)在极坐标中，SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<011.选用适当的坐标计算下列各题：(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及曲线SKIPIF1<0所围成的闭区域；(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由圆周SKIPIF1<0及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所围成的闭区域；(4)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是圆环形闭区域SKIPIF1<0．解(1)选用直角坐标，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(2)选用极坐标，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(3)选用直角坐标，SKIPIF1<0(4)选用极坐标，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<012.求由平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以及球心在原点、半径为SKIPIF1<0的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图8-21）．解SKIPIF1<0习题8-31.化三重积分SKIPIF1<0为三次积分，其中积分区域SKIPIF1<0分别是:(1)由双曲线抛物面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所围成的闭区域；(2)由曲面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0所围成的闭区域；(3)由曲面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所围成的闭区域；(4)由曲面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所围成的在第一卦限内的闭区域.解(1)SKIPIF1<0可用不等式表示为：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0可用不等式表示为：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0可用不等式表示为：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0可用不等式表示为：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<02.计算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由曲面SKIPIF1<0，与平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所围成的闭区域.解SKIPIF1<0可用不等式表示为：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<03.计算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所围成的四面体.解SKIPIF1<0可用不等式表示为：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<04.计算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为球面SKIPIF1<0及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解SKIPIF1<0可用不等式表示为：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<05.计算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以及抛物柱面SKIPIF1<0所围成的闭区域.解SKIPIF1<0可用不等式表示为：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<06.计算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由锥面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所围成的闭区域.解SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影区域SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<07.利用柱面计算下列三重积分:(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由曲面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所围成的闭区域；(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由曲面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0所围成的闭区域.解(1)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影区域SKIPIF1<0，利用柱面坐标，SKIPIF1<0可用不等式表示为：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(2)由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，从而知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影区域为SKIPIF1<0，利用柱面坐标，SKIPIF1<0可表示为：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<08.利用球面坐标计算下列三重积分:(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由球面SKIPIF1<0所围成的闭区域;(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0闭区域由不等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所确定.解(1)SKIPIF1<0(2)在球面坐标系中，不等式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，变为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0变为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，亦即SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0可表示为SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<09.选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为柱面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所围成的在第一卦限内的闭区域；(2)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由球面SKIPIF1<0所围成的闭区域；(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由曲面SKIPIF1<0及平面SKIPIF1<0所围成的闭区域;(4)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0闭区域由不等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所确定.解(1)利用柱面坐标，SKIPIF1<0可表示为：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(2)在球面坐标系中，球面SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0可表示为SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0(3)利用柱面坐标，SKIPIF1<0可表示为：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0(4)在球面坐标系中，SKIPIF1<0可表示为SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0习题8-41.求球面SKIPIF1<0含在圆柱面SKIPIF1<0内部的那部分面积.解上半球面的方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0由曲面的对称性得所求面积为SKIPIF1<02.求锥面SKIPIF1<0被柱面SKIPIF1<0所割下部分的曲面面积.解由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故曲面在SKIPIF1<0面上的投影区域SKIPIF1<0．被割曲面的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是所求曲面的面积为：SKIPIF1<03.求底圆半径相等的两个直交圆柱面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所围立体的表面积.解设第一卦限内的立体表面位于圆柱面SKIPIF1<0上的那一部分的面积为SKIPIF1<0，则由对称性知全部表面的面积为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0故全部表面积为SKIPIF1<0．4.设薄片所占的闭区域SKIPIF1<0如下，求均匀薄片的质心:(1)SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，所围成；(2)SKIPIF1<0是半椭圆形闭区域SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0是介于两个圆SKIPIF1<0之间的闭区域.解(1)设质心为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0故所求质心为SKIPIF1<0．(2)因SKIPIF1<0对称于SKIPIF1<0轴，故质心SKIPIF1<0必位于SKIPIF1<0轴上，于是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0因此所求质心为SKIPIF1<0．(３)因SKIPIF1<0对称于SKIPIF1<0轴，故质心SKIPIF1<0必位于SKIPIF1<0轴上，于是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0所求质心为SKIPIF1<0．5.设平面薄片所占的闭区域SKIPIF1<0由抛物线SKIPIF1<0及直线SKIPIF1<0所围成，它在点SKIPIF1<0处的面密度SKIPIF1<0，求该薄片的质心.解求得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0所求质心为SKIPIF1<06.设有一等腰直角三角形薄片，腰长为SKIPIF1<0，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这片薄片的质心.解面密度SKIPIF1<0，由对称性知SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0所求质心为SKIPIF1<07.利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心(设密度SKIPIF1<0):(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．解(1)曲面所围立体为圆锥体，其顶点在原点，并关于SKIPIF1<0轴对称，又由于它是匀质的，因此它的质心位于SKIPIF1<0轴上，即SKIPIF1<0．立体的体积为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0故所求质心为SKIPIF1<0.(2)立体由两个同心的上半球面和SKIPIF1<0面所围成,关于SKIPIF1<0轴对称,又由于它是匀质的,故其质心位于SKIPIF1<0轴上，即SKIPIF1<0．立体的体积为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0故所求质心为SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于立体匀质且关于平面SKIPIF1<0对称，故SKIPIF1<0，所求质心为SKIPIF1<0．8.设球体占有闭区域SKIPIF1<0，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的质心.解在球面坐标系中，SKIPIF1<0可表示为SKIPIF1<0球体内任意一点SKIPIF1<0处的密度大小为SKIPIF1<0．由于球体的几何形状及质量分布均关于SKIPIF1<0轴对称，故可知其质心位于SKIPIF1<0轴上，因此SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0故球体的质心为SKIPIF1<0.9.设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域SKIPIF1<0如下，求指定的转动惯量:(1)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0由抛物线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所围成，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0为矩形闭区域SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.解(1)SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则上式SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(３)SKIPIF1<0SKIPIF1<010.已知均匀矩形板(面密度为常量SKIPIF1<0)的长和宽分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解SKIPIF1<0SKIPIF1<011.一均匀物体(密度SKIPIF1<0为常量)占有的闭区域SKIPIF1<0由曲面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所围成,(1)求物体的体积；(2)求物体的质心；(3)求物体关于SKIPIF1<0轴的转动惯量.解(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(３)SKIPIF1<012.求半径为SKIPIF1<0、高为SKIPIF1<0的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度SKIPIF1<0).解SKIPIF1<0SKIPIF1<013.设面密度为常量SKIPIF1<0的匀质半圆环形薄片占有闭区域SKIPIF1<0，求它对位于SKIPIF1<0轴上点SKIPIF1<0处单位质量的质点引力SKIPIF1<0.解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，且质量均匀分布，故SKIPIF1<0因此引力为：SKIPIF1<014.设均匀柱体密度为SKIPIF1<0，占有闭区域SKIPIF1<0，求它对于位于点SKIPIF1<0处的单位质量的质点的引力.解由柱体的对称性和质量分布的均匀性知SKIPIF1<0．引力沿SKIPIF1<0轴的分量SKIPIF1<0复习题A一、填空题1.设SKIPIF1<0是正方形区域SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.SKIPIF1<02.已知SKIPIF1<0是长方形区域SKIPIF1<0，又已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______________.SKIPIF1<03.若SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0和两坐标轴围城的三角形区域，则二重积分SKIPIF1<0可以表示为定积分SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0_____________.SKIPIF1<04.若SKIPIF1<0，那么区间SKIPIF1<0____________.SKIPIF1<05.若SKIPIF1<0，则区间SKIPIF1<0____________.SKIPIF1<0二、选择题1.设SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所围成的三角形区域，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0().A；A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<02.设SKIPIF1<0是正方形区域，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内切圆区域，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆区域，SKIPIF1<0的中心点在SKIPIF1<0点，记SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的大小顺序为()B；A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<03.将极坐标系下的二次积分:SKIPIF1<0化为直角坐标系下的二次积分，则SKIPIF1<0()D；A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.4.设SKIPIF1<0是第二象限内的一个有界闭区域，而且SKIPIF