高等数学第3版(张卓奎-王金金)第八章习题解答

第八章重积分习题全解习题8－1利用二重积分定义证明：（1）（其中是的面积）；（2）（为常数）；2．证明性质8中（1）设积分域关于轴对称,表示中的部分,（i)若是的奇函数,即则；图8-1（ii)若是的偶函数,即则。图8-1证：由积分域关于轴对称,表示中的部分,则积分与如图8-1所示。则若则若则。图8-23．设，其中是矩形闭区域：；又，其中是矩形闭区域：．试用二重积分的对称性质表示与之间的关系．图8-2解：4．设是由及所围成的三角形，根据二重积分的对称性计算二重积分解：画出积分区域的草图8-2，可见D对称于轴，而被积函数对是奇函数，因此。5．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）与，其中积分区域是由轴，轴与直线所围成；（2）与，其中是三角形闭区域，三顶点分别为（1，0），（1，1），（2，0）．解（1）画出积分区域，，如图8-3图8-3由于，所以，在上，即图8-3由积分估值定理得：解（2）。利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1），其中是矩形闭区域：．（2），其中是矩形闭区域：．（3），其中是圆形闭区域：．解（1）在D上，则，又D的面积，故由估值不等式得：，即。解（2）因为，所以。解（3）在D上即，又D的面积，故由估值不等式得：，即习题8－21．化二重积分为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域是：（1）由轴及半圆周所围成的闭区域；（2）由直线及双曲线围成的闭区域。解（1）或解（2）X-型区域（图8-4）：Y-型区域：划分成两部分（图8-5）：图8-4图8-5因此，因此2．计算下列二重积分：（1），其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；（2），其中是矩形区域：；（3），其中是顶点分别为（0，0），的三角形闭区域。解（1）积分区域D（图8-6）如下：图8-6解（2）图8-6解（3）（4），其中是由所围成闭区域．解（4）积分区域D（图8-7）如下：图8-7图8-73．画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）,其中是由两条抛物线所围成的闭区域；（2），其中是由所确定的闭区域；解:图8-8解（2）可化为则积分区域D（图8-8）如下：图8-8。4．如果二重积分的被积函数是两个函数及的乘积，即，积分区域为，证明这个二重积分等于两个单积分的乘积，即证：图8-95．设在上连续，其中是由直线所围成的闭区域，证明图8-9证：积分区域D（图8-9）如下：改变积分次序，由X-型区域化为Y-型区域有6.改换下列二次积分的积分次序：（1）；（2）；（3）；（4）。图8-10解（1）由题可知：，积分区域（图8-10）如下：积分区域也是X-型区域，也可记为，因此改变积分次序得：图8-10解（2）图8-11解（3）图8-11解（4）由题可知：，积分区域（图8-11）如下：积分区域也是Y-型区域，也可记为，因此改变积分次序得：=7.设平面薄片所占的闭区域由直线和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量．解：8.求由平面所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体的体积．解：所围图形（图8-12）及在面投影（图8-13）如下：图8-12图8-13积分区域。9.求由曲面及围成的立体的体积．解：10．画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域是：（1）；（2），其中。解（1）。解（2）。11．化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：(1);(2);解（1）。解(2)依题意，积分区域，积分区域（图8-14）如下：图8-14由得；由得，因此积分区域在极坐标系下的不等式为，则=12．把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1);(2)。图8-15解(1)依题，图8-15则由得，故在极坐标系下图8-15，原式=。解（2）而所以13．利用极坐标计算下列各题：(1)，其中是由圆周围成的闭区域；解（1）。(2)，其中：；解(2)(3)，其中是由圆周及直线所围成的在第一象限内的闭区域；解（3）（4），其中是位于两圆及之间的闭区域．解（4）。（5）其中为第一象限的扇形,其中的坐标为的坐标为图8-图8-16解（5）扇形在极坐标下可用不等式表示(图8-16),应用极坐标公式得14．选用适当的坐标计算下列各题：（1），其中是由直线及曲线所围成的闭区域；图8-17解（1）积分区域如图8-17：积分区域图8-17，因此。（2），其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；解（2）而（3），其中是圆环形闭区域：．解（3）（4）其中。解（4）15．设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧（）与直线所围成，它的面密度为，求这个薄片的质量．解。16计算以面上的圆周围成的闭区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积．解17．证明证交换积分顺序习题8－31．求球面含圆柱面内部的那部分面积．解：所求曲面在第一挂限部分如图8-18首先求图8-18图8-182．计算曲面包含圆柱面内部的那部分面积．解因所以3．求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积．解，4．设薄片所占的闭区域如下，求均匀薄片的重心：（1）由，，所围成；（2）是介于两个圆之间的闭区域．解（1）如图8-19所示，，，图8-19所以图8-19解（2）区域D如图8-20：图8-20图8-20因为D对称于轴，被积函数为的奇函数，所以。所以5．设平面薄片在平面上所占的闭区域由曲线所围成，它在点处的面密度与该点的横坐标成正比，比例常数为，求该平面薄片的重心．解6．设有一等腰直角三角形薄片，腰长为，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的重心．图8-21解：设面密度函数为1，直角三角形顶点设在原点处，如图8-21图8-21，同理可得：，所以薄片的质心为。7．设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域如下，求指定的转动惯量：（1）由抛物线与直线所围成，求和.解（1）（2）为矩形区域：，求和.解，。8．设摆线一拱与轴围成一平面均匀薄片，计算此薄片对轴的转动惯量．解：设均匀薄片的面密度为，均匀薄片占有平面区域如图8-22：因此，该薄片对轴的转动惯量图8-22图8-229．求面密度为常量的匀质半圆环形薄片：对位于轴上点处单位质量的质点的引力。习题8－41．设有一物体，占有空间区域：，在点处的密度为，计算该物体的质量．解：。2．化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：（1）由双曲抛物面及平面所围成的闭区域；解（1）积分区域如图8-23：图8-23图8-24在平面投影如图8-24：从而积分区域，因此（2）由曲面及平面所围成的闭区域；解（2）3．如果三重积分的被积函数是三个函数的乘积，即，积分区域为，证明这个三重积分等于三个单积分的乘积，即4.计算，其中：．解：5．计算，其中是由曲面与平面和所围成的闭区域。解：6．计算，其中为球面及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域。解：7．计算，其中为平面所围成的四面体．解：8．计算，其中是由曲面以及平面与所围成的闭区域．图8-25解：积分区域如图8-25：图8-25令，其中，，利用柱面坐标，所以三重积分9．计算，其中是由锥面与平面所围成的闭区域．解：10．利用柱面坐标计算下列三重积分：图8-26（1），其中是由柱面与平面所围成的第一卦限内的区域；图8-26解：积分区域如图8-26：在柱面坐标系下，则（2），其中是由曲面及所围成的闭区域；解（2）（3），其中是由曲面及所围成的闭区域。解（3）11．利用球面坐标计算下列三重积分：（1）,其中是由球面所围成的闭区域；解（1）（2），其中是由球面；解（2）

（3），其中闭区域由不等式，所确定；解（3）12．选用适当的坐标计算下列三重积分：（1），其中为柱面及平面所围成的在第一卦限内的闭区域；解（1）（2）,其中是由球面所围成的闭区域；解（3），其中是由曲面及平面所围成的闭区域；解（3）（4）其中闭区域由不等式所确定。解13．利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积：（1），及；解（1）（2）及。解（2）14．分别用定积分、二重积分和三重积分三种方法计算旋转抛物面和平面所围成的空间区域的体积。解15．球心在原点，半径为的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量。解：密度函数为，则质量16．利用三重积分计算下列由曲面所围立体的重心（设密度）：（1）；（