高等数学竞赛模拟试题1-2答案

PAGEPAGE1高等数学竞赛试题(一)答案填空：（本题12分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．若是上的连续函数，则a=－1。2．函数在区间上的最大值为。3．。4．设函数由方程所确定，则。二、选择题：（本题12分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）设函数f(x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（A）（A）等价无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。设函数f(x)在点x=a处可导，则在点x=a处不可导的充要条件是（C）（A）f(a)=0，且；（B）f(a)≠0，但；（C）f(a)=0，且；（D）f(a)≠0，且。曲线（B）（A）没有渐近线；（B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线；（D）有两条水平渐近线。设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（D）（A）若，则；（B）若，则；（C）若，则；（D）若，则。三、设函数f(x)具有连续的二阶导数，且，，求。（本题9分）解：由题设可推知f(0)=0，，于是有。故。 四、设函数由参数方程所确定，求。（本题9分）解：由，，得到，所以。而当x=9时，由及t>1，得t=2，故。五、设n为自然数，计算积分。（本题9分）解：注意到：对于每个固定的n，总有，所以被积函数在x=0点处有界（x=0不是被积函数的奇点）。又，于是有，上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有。所以。六、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数，x=0为其第一类跳跃间断点，证明是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。（本题9分）证明：因为x=0是f(x)的第一类跳跃间断点，所以存在，设为A，则A≠0；又因f(x)为奇函数，所以。命：则在x=0点处连续，从而在上处处连续，且是奇函数：当x>0，则－x<0，；当x<0，则－x>0，,即是连续的奇函数，于是是连续的偶函数，且在x=0点处可导。又，即，所以是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。七、设f(u,v)有一阶连续偏导数，，，证明：。（本题10分）解：设：，则类似可得，代入原式左边，得到八、设函数f(u)连续，在点u=0处可导，且f(0)=0，求：。（本题10分）解：记，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，有于是有。九、计算，其中L为正向一周。（本题10分）解：因为L为，故其中D为L所围区域，故为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。当时，；当时，；当时，；当时，，故D的面积为2×1=2。从而。十、设常数，证明：当x>0且x≠1时，。（本题10分）证明：设函数，故要证，只需证：当；当。显然：。命：，则。当x=2时，，x=2为唯一驻点。又，，所以x=2为的唯一极小值点，故为的最小值(x>0)，即当x>0时，从而严格单调递增。又因，所以当；当。高等数学竞赛模拟试题（二）参考答案填空题（每小题4分，共40分）1．函数（其中）的反函数为。2．设与是非零向量，且及则。3．，则。4．若且有，则=。5．。6．。7．。8．已知当时，与为等价无穷小，则，。9．设是连续函数，则。10．直线过点且与两条直线，垂直，则的参数方程为。二、（每小题6分，共18分）1．设求解：2．求极限解：，，。3．在已知平面内作一直线，此直线通过已知直线与平面的交点，且垂直于已知直线，试求该直线的方程。解：求解，得与的交点为。直线的方向向量为，所求直线的方向向量，而，所求直线的方程为，。三、（8分）设是由方程所确定的隐函数，求。解：令，四、（7分+9分）1．设，求使不等式成立的最小的值。解：单调增加，2．证明：当时，证：由于是偶函数，仅考虑即可，，即要证：，而。五、（9分）设在上存在连续导数，在内存在二阶导数，，，求证：1）至少存在互异的两点，使得；2）至少存在一点，使得。证