高等数学一习题3.1答案

习题3-1

1.验证罗尔定理对函数y=lnsinx在区间上的正确性.

解因为y=lnsinx在区间上连续,在内可导,且,所以由罗尔定理知,至少存在一点,使得y(x)=cotx=0.

由y(x)=cotx=0得.

因此确有,使y(x)=cotx=0.

2.验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2x-2在区间[0,1]上的正确性.

解因为y=4x3-5x2x-2在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点x(0,1),使.

由y(x)=12x2-10x1=0得.

因此确有,使.

3.对函数f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在区间上验证柯西中值定理的正确性.

解因为f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在区间上连续,在可导,且F(x)=1-sinx在内不为0,所以由柯西中值定理知至少存在一点,使得

.

令,即.

化简得.易证,所以在内有解,即确实存在,使得

.

4.试证明对函数y=px2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.

证明因为函数y=px2qxr在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理,至少存在一点x(a,b),使得y(b)-y(a)=y(x)(b-a),即

(pb2qbr)-(pa2qar)=(2pxq)(b-a).

化间上式得

p(b-a)(ba)=2px(b-a),

故.

5.不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f(x)=0有几个实根,并指出它们所在的区间.

解由于f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(1)=f(2)=0,所以由罗尔定理可知,存在x1(1,2),使f(x1)=0.同理存在x2(2,3),使f(x2)=0;存在x3(3,4),使f(x3)=0.显然x1,x2,x3都是方程f(x)=0的根.注意到方程f(x)=0是三次方程,它至多能有三个实根,现已发现它的三个实根,故它们也就是方程f(x)=0的全部根.

6.证明恒等式:(-1x1).

证明设f(x)arcsinxarccosx.因为

,

所以f(x)C,其中C是一常数.

因此,即.

7.若方程a0xn+a1xn-1++an-1x=0有一个正根x0,证明方程

a0nxn-1+a1(n-1)xn-2++an-1=0

必有一个小于x0的正根.

证明设F(x)=a0xn+a1xn-1++an-1x,由于F(x)在[0,x0]上连续,在(0,x0)内可导,且F(0)=F(x0)=0,根据罗尔定理,至少存在一点x(0,x0),使F(x)=0,即方程

a0nxn-1+a1(n-1)xn-2++an-1=0

必有一个小于x0的正根.

8.若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中ax1x2x3b,证明:

在(x1,x3)内至少有一点x,使得f(x)=0.

证明由于f(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导,且f(x1)=f(x2),根据罗尔定理,至少存在一点x1(x1,x2),使f(x1)=0.同理存在一点x2(x2,x3),使f(x2)=0.

又由于f(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导,且f(x1)=f(x2)=0,根据罗尔定理,至少存在一点x(x1,x2)(x1,x3),使f(x)=0.

9.设ab0,n>1,证明:

nbn-1(a-b)<an-bn<nan-1(a-b).

证明设f(x)=xn,则f(x)在[b,a]上连续,在(b,a)内可导,由拉格朗日中值定理,存在x(b,a),使

f(a)f(b)f(x)(ab),即an-bn=nxn-1(a-b).

因为nbn-1(a-b)<nxn-1(a-b)<nan-1(a-b),

所以nbn-1(a-b)<an-bn<nan-1(a-b).

10.设ab0,证明:

.

证明设f(x)lnx,则f(x)在区间[b,a]上连续,在区间(b,a)内可导,由拉格朗日中值定理,存在x(b,a),使

f(a)f(b)f(x)(ab),即.

因为be(x1),即ex>ex.

12.证明方程x5x-1=0只有一个正根.

证明设f(x)x5x1,则f(x)是[0,)内的连续函数

因为f(0)1,f(1)1,f(0)f(1)<0,所以函数在(0,1)内至少有一个零点即x5x10至少有一个正根.

假如方程至少有两个正根则由罗尔定理f(x)存在零点但f(x)5x410,矛盾这说明方程只能有一个正根

13.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明在(a,b)内有一点x,使

.

解设,则j(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理,存在x(a,b),使

j(b)-j(a)=j(x)(b-a),

即.

因此.

14.证明:若函数.f(x)在(-,+)内满足关系式f(x)=f(x),且f(0)=1则f(x)=ex.

证明令,则在(-,+)内有

,

所以在(-,+)内j(x)为常数.

因此j(x)=j(0)=1,从而f(x)=ex.

15.设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f(0)=f(0)==f(n-1)(0)=0,试用柯西中值定理证明:

(0q1).

证明根据柯西中值定理

(x1介于0与x之间