高中数学选修2-3课时作业12：2.3.1-离散型随机变量的均值

人教版高中数学选修2-3PAGEPAGE1§2.3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值一、选择题1．已知X的分布列为X－1012Peq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,8)则X的均值为()A．0B．－1C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,4)2．已知ξ～B(n，eq\f(1,2))，η～B(n，eq\f(1,3))，且E(ξ)＝15，则E(η)等于()A．5B．10C．15D．203．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为()X4a9P0.50.1bA.5B．6C．7D．84．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，取出的球的最大编号X的均值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C．2D.eq\f(8,3)5．在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为eq\f(3,5)，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试．假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有()A．2人B．3人C．4人D．5人6．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值E(X)等于()A.eq\f(126,125) B.eq\f(6,5)C.eq\f(168,125) D.eq\f(7,5)7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为eq\f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq\f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的均值E(X)为()A.eq\f(241,81) B.eq\f(266,81)C.eq\f(274,81) D.eq\f(670,243)二、填空题8．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝________.9．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,300)·(eq\f(1,3))k·(eq\f(2,3))300－k(k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.10．某射手射击所得环数X的分布列如下：X78910Px0.10.3Y已知X的均值E(X)＝8.9，则y的值为________．11．某电视台智力闯关游戏节目中，准备从甲、乙、丙三名幸运观众中确定一人免费参加“台湾十日游”活动，方案是：甲、乙两人轮流抛掷一对骰子，甲先掷，乙后掷，然后甲再掷，…，规定先得到两颗骰子点数之和等于7的一方获得免费参加“台湾十日游”活动，一旦决出胜负游戏便结束，且限定每人最多掷两次，若甲、乙均未获得，则由丙获得，则游戏结束时抛掷次数ξ的均值为________．三、解答题12．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得－1分，若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和均值E(X)．13.乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为eq\f(1,2)，在D上的概率为eq\f(1,3)；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为eq\f(1,5)，在D上的概率为eq\f(3,5).假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与均值．

[答案]精析1．D2.B3.C4.D5.B6.B7．B[依题意，知X的所有可能取值为2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(X＝2)＝eq\f(5,9)，P(X＝4)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,9)＝eq\f(20,81)，P(X＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2＝eq\f(16,81).故E(X)＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81).]8．1.759.10010.0.411.eq\f(671,216)[解析]抛掷一次出现的点数共有6×6＝36种不同结果，其中“点数之和为7”包含了(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共6个结果，∴抛掷一次出现的点数之和为7的概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).∵ξ可取1,2,3,4，P(ξ＝1)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝2)＝eq\f(5,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,36)，P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(25,216)，P(ξ＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))3×1＝eq\f(125,216)，∴ξ的概率分布列为：ξ1234Peq\f(1,6)eq\f(5,36)eq\f(25,216)eq\f(125,216)∴E(ξ)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(5,36)＋3×eq\f(25,216)＋4×eq\f(125,216)＝eq\f(671,216).12．解(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)根据题意，知全部“三位递增数”的个数为Ceq\o\al(3,9)＝84，随机变量X的可能取值为0，－1,1，因此P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,14)－eq\f(2,3)＝eq\f(11,42).所以X的分布列为X0－11Peq\f(2,3)eq\f(1,14)eq\f(11,42)则E(X)＝0×eq\f(2,3)＋(－1)×eq\f(1,14)＋1×eq\f(11,42)＝eq\f(4,21).13．解(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，则P(A3)＝eq\f(1,2)，P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A0)＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).记Bj为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为j分”(j＝0,1,3)，则P(B3)＝eq\f(1,5)，P(B1)＝eq\f(3,5)，P(B0)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的独立性和互斥性，得P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(3,10)，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为eq\f(3,10).(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,30)，P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(2,15)，P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(11,30)，P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝eq\f(1,