高中数学选修2-3-同步练习-1.3-二项式定理(解析版)

第一章计数原理1.3二项式定理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(1+x)7的展开式中x2的系数是A．42 B．35C．28 D．21【答案】D【解析】(1+x)7的展开式的通项公式为Tr+1=xr,令r=2,得x2的系数为=21.故选D.【技巧点拨】熟记二项式定理：，是解决此类问题的关键.2．二项式的展开式的第二项是A．6x4 B．﹣6x4C．12x4 D．﹣12x4【答案】D【解析】展开式的通项公式,令,可得展开式的第二项为=.选D．【名师点睛】（1）求二项展开式的特定项的常见题型①求第r项，Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1；②求含xr的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．（2）求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．3．若的展开式中含项的系数为，则实数的值为A． B．C． D．【答案】B4．的展开式中,的系数为A． B．C． D．【答案】B【解析】的展开式的通项为,则的展开式中,的系数为5．在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32,则的系数为A．50 B．70C．90 D．120【答案】C【解析】∵各项系数和与二项式系数和之比为32，∴，得∴通项公式为，令，的系数为【总结归纳】二项式系数与项的系数的区别：二项式系数是指，，…，，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如的展开式中，第r＋1项的二项式系数是，而该项的系数是.当然，某些特殊的二项展开式如，各项的系数与二项式系数是相等的．6．已知的展开式中常数项为，则的值为A． B．C． D．【答案】C【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先写出展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果.7．已知二项式，则展开式的常数项为A． B．C． D．49【答案】B【解析】，二项式中的常数项产生在中，分别是,它们的和为，故选B．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题.解题时，首先将变形为，按二项式展开，分别得到展开式中的常数项，求和即可得结果.8．＝,则等于A．32 B．-32C．-33 D．-31【答案】D【解析】因为＝,当时,当时,①当时,②①-②，得=①+②，得=所以=故选D．9．若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是A． B．C． D．【答案】D【解析】∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.的展开式的通项公式为，令，得.∴展开式中含项的系数是，故选D．【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：（1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；（2）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10．设，若，则展开式中二项式系数最大的项为A．第4项 B．第5项C．第4项和第5项 D．第7项【答案】C【解析】令，可得，令，得，由题意得，代入得，所以，又因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第项，故选C.11．的展开式中恰有三项的系数为有理数，则的可能取值为A．9 B．10C．11 D．12【答案】D【解析】由题意，展开式中项的系数为，系数为有理数，则n﹣r是3的倍数，r是2的倍数，n=9，r=6，不符合；n=10，r=4,10，不符合；n=11，r=2，8，不符合；n=12，r=0,6,12，符合题意，故选D．二、填空题：请将答案填在题中横线上．12．如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是

______.【答案】-189【技巧点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．利用二项展开式的通项时注意下列问题：（1）是第k＋1项，而不是第k项．（2）通项公式中a，b的位置不能颠倒．（3）通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.13．设,则_________.【答案】2【解析】令x＝1可得,令x＝0可得,所以＝2.【名师点睛】“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x=1可得所有项系数之和，令x=－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．14．233除以9的余数是_________.【答案】8【解析】233＝(23)11＝(9－1)11＝911－Ceq\o\al(1,11)910＋Ceq\o\al(2,11)99－···＋Ceq\o\al(10,11)9－1＝9(910－Ceq\o\al(1,11)99＋···＋Ceq\o\al(10,11)－1)＋8，∴233除以9的余数是8.【名师点睛】利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.15．(N*)展开式中不含的项的系数和为________.【答案】1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在二项式(2x−3y)9的展开式中,求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）各项系数绝对值之和.【解析】设(2x−3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+···+a9y9.（1）二项式系数之和为+++···+=29.（2）各项系数之和为a0+a1+a2+···+a9,令x=1,y=1,得a0+a1+a2+···+a9=(2−3)9=−1.（3）|a0|+|a1|+|a2|+···+|a9|=a0−a1+a2−···−a9,令x=1,y=−1,得|a0|+|a1|+|a2|+···+|a9|=a0−a1+a2−···−a9=59,则各项系数绝对值之和为59.17．已知在的展开式中，第项为常数项.求：（1）的值；（2）展开式中的系数.【解析】（1）在的展开式中，第9项为常数项，而第9项为,故有2n−20=0，解得n=10.（2）由（1）可得展开式的通项公式为.令20−

=5,求得r=6,故展开式中x5的系数为.18．利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4()能被25整除.【解析】因为2n+2·3n=4×(1＋5)n，所以2n+2·3n＋5n－4，所以n≥2时，2n+2·3n＋5n－4能被25整除，n=1时，2n+2·3n＋5n－4=25.所以，当时，2n+2·3n＋5n－4能被25整除.19．已知a>0,b>0,m≠0,n≠0,若二项式(axm+bxn)12的展开式中系数最大的项恰好是常数项,且2m+n=0,求的取值范围.【解析】Tr+1=(axm)12−r·(bxn)r=a12−rbrxm(12−r)+nr.令m(12−r)+nr=0,又2m+n=0,所以m(12−r)−2mr=0,又m≠0,得r=4.