高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.2同角三角函数之间的关系学案湘教版必修

3.2.2同角三角函数之间的关系[学习目标]1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．[知识链接]1．任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？答在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).2．如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？答设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合．P到原点的距离为r＝eq\r(x2＋y2)>0，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).于是sin2α＋cos2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,r)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,r)))2＝eq\f(y2＋x2,r2)＝1，eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(y,r),\f(x,r))＝eq\f(y,x)＝tanα.即sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα).[预习导引]1．任意角三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r＝OP＝eq\r(x2＋y2)>0.则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).2．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．3．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的变形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝eq\f(sinα,tanα).要点一利用同角三角函数的基本关系式求值例1已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．解∵cosα＝－eq\f(8,17)<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).规律方法已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”．本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cosα的值推断出α所在的象限，再分类求解．跟踪演练1已知tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．解由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，得sinα＝eq\f(4,3)cosα①又sin2α＋cos2α＝1②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,3)cosα＝－eq\f(4,5).要点二三角函数代数式的化简例2化简下列各式：(1)eq\r(1－sin240°)；(2)eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))；(3)eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))，其中sinα·tanα<0.解(1)eq\r(1－sin240°)＝eq\r(cos240°)＝|cos40°|＝cos40°.(2)eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))＝eq\f(\r(cos10°－sin10°2),sin10°－\r(cos210°))＝eq\f(|cos10°－sin10°|,sin10°－cos10°)＝eq\f(cos10°－sin10°,sin10°－cos10°)＝－1.(3)由于sinα·tanα<0，则sinα，tanα异号，∴α是第二、三象限角，∴cosα<0，∴eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))＝eq\r(\f(1－sinα2,1－sin2α))＋eq\r(\f(1＋sinα2,1－sin2α))＝eq\f(|1－sinα|,|cosα|)＋eq\f(|1＋sinα|,|cosα|)＝eq\f(1－sinα＋1＋sinα,－cosα)＝－eq\f(2,cosα).规律方法解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(4)关于sinα，cosα的齐次式的求值方法①sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子，分母同时除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，如eq\f(sinα－cosα,2sinα＋cosα)可化为eq\f(tanα－1,2tanα＋1)，再代入求值．②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，如3sin2α－2cos2α可写成eq\f(3sin2α－2cos2α,sin2α＋cos2α)，进一步化为eq\f(3tan2α－2,tan2α＋1)，再代入求值．跟踪演练2已知tanα＝3，则(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝.答案(1)1(2)1解析(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(2×3－3,4×3－9)＝1；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝eq\f(sin2α－3sinαcosα＋sin2α＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2sin2α－3sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α－3tanα＋1,tan2α＋1)＝eq\f(2×32－3×3＋1,32＋1)＝1.要点三三角函数恒等式的证明例3求证：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).证明∵右边＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左边，∴原等式成立．规律方法(1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简．(2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．(3)常用方法：左⇒右；右⇒左；左⇒中⇐右．跟踪演练3已知2cos4θ＋5cos2θ－7＝asin4θ＋bsin2θ＋c是恒等式．求a、b、c的值．解2cos4θ＋5cos2θ－7＝2(1－sin2θ)2＋5(1－sin2θ)－7＝2－4sin2θ＋2sin4θ＋5－5sin2θ－7＝2sin4θ－9sin2θ，故a＝2，b＝－9，c＝0.1．已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，则cosα等于()A．－eq\f(12,13) B．－eq\f(5,13)C.eq\f(5,13) D.eq\f(12,13)答案A解析利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．因为α为第二象限角，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(12,13).2．已知α是第三象限角，sinα＝－eq\f(1,3)，则tanα＝.答案eq\f(\r(2),4)解析由α是第三象限的角，得到cosα＜0，又sinα＝－eq\f(1,3)，所以cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3)则tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(2),4).3．若α是第三象限角，化简eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))＋eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).解∵α是第三象限角，∴sinα<0，由三角函数线可知－1<cosα<0.∴eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))＋eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\r(\f(1＋cosα2,1－cos2α))＋eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＝eq\r(\f(1＋cosα2,sin2α))＋eq\r(\f(1－cosα2,sin2α))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋cosα,sinα)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1－cosα,sinα)))＝－eq\f(1＋cosα,sinα)－eq\f(1－cosα,sinα)＝－eq\f(2,sinα).4．求证：eq\f(tanθ·sinθ,tanθ－sinθ)＝eq\f(1＋cosθ,sinθ).证明左边＝eq\f(\f(sinθ,cosθ)·sinθ,\f(sinθ,cosθ)－sinθ)＝eq\f(sin2θ,sinθ－sinθcosθ)＝eq\f(1－cos2θ,sinθ1－cosθ)＝eq\f(1－cosθ·1＋cosθ,sinθ·1－cosθ)＝eq\f(1＋cosθ,sinθ)＝右边．∴原等式成立．

1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sinα＋cosα＝1，eq\f(sin8α,cos8α)＝tan8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．一、基础达标1．若sinα＝eq\f(4,5)，且α是第二象限角，则tanα的值等于()A．－eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．±eq\f(3,4) D．±eq\f(4,3)答案A解析α为第二象限角，sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3).2．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，则sin4α－cos4α的值为()A．－eq\f(1,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(3,5)答案B解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×eq\f(1,5)－1＝－eq\f(3,5).3．已知eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，则sinθcosθ的值是()A.eq\f(3,4) B．±eq\f(3,10)C.eq\f(3,10) D．－eq\f(3,10)答案C解析由题意得sinθ＋cosθ＝2(sinθ－cosθ)，∴(sinθ＋cosθ)2＝4(sinθ－cosθ)2，解得sinθcosθ＝eq\f(3,10).4．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于()A．0 B．1C．2 D．3答案B解析sinα＋sin2α＝1得sinα＝cos2α∴cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.5．化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝.答案1解析原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)＝sin2α＋cos2α＝1.6．已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)则tanα＝.答案3或－eq\f(1,3)解析因为sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，又sin2α＋cos2α＝1，联立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝－\f(\r(10),10)，,cosα＝\f(3\r(10),10)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(3\r(10),10)，,cosα＝\f(\r(10),10)，))故tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,3)，或tanα＝3.7．(1)化简eq\r(1－sin2100°)；(2)用tanα表示eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)，sin2α＋sinαcosα＋3cos2α.解(1)eq\r(1－sin2100°)＝eq\r(cos2100°)＝|cos100°|＝－cos100°.(2)eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)＝eq\f(\f(sinα＋cosα,cosα),\f(2sinα－cosα,cosα))＝eq\f(tanα＋1,2tanα－1)，sin2α＋sinαcosα＋3cos2α＝eq\f(sin2α＋sinαcosα＋3cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(sin2α＋sinαcosα＋3cos2α,cos2α),\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＝eq\f(tan2α＋tanα＋3,tan2α＋1).二、能力提升8．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(5,4) C．－eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)答案D解析sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)，又tanθ＝2，故原式＝eq\f(4＋2－2,4＋1)＝eq\f(4,5).9．已知sinα－cosα＝－eq\f(\r(5),2)，则tanα＋eq\f(1,tanα)的值为()A．－4B．4 C．－8 答案C解析tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα).∵sinαcosα＝eq\f(1－sinα－cosα2,2)＝－eq\f(1,8)，∴tanα＋eq\f(1,tanα)＝－8.10．已知直线l的倾斜角是θ，且sinθ＝eq\f(5,13)，则直线l的斜率k＝.答案±eq\f(5,12)解析因为直线l的倾斜角是θ，所以θ∈[0，π)．又因为sinθ＝eq\f(5,13)，sin2θ＋cos2θ＝1，所以cosθ＝±eq\r(1－\f(5,13)2)＝±eq\f(12,13)，于是直线l的斜率k＝eq\f(sinθ,cosθ)＝±eq\f(5,12).11．已知tanα＝－eq\f(1,2)，则eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝.答案－eq\f(1,3)解析原式＝eq\f(sinα＋cosα2,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(－\f(1,2)＋1,－\f(1,2)－1)＝－