高中数学各章易错点精析7-立体几何与空间向量

PAGEPAGE8第7章立体几何【易错点1：空间点线面关系】例1、已知m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题：(1)若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α，或n⊥β；(2)若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；(3)若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；(4)若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β；(5)若m、n为异面直线，则存在平面α过m且使n⊥α.其中正确的命题序号是________．正解(1)是错误的．(2)正确．实质上是两平面平行的性质定理．(3)是错误的．(4)正确．利用线面平行的判定定理即可．(5)错误．从结论考虑，若n⊥α且m⊂α，则必有m⊥n，事实上，条件并不能保证m⊥n.故错误．例2、已知直线平面，直线在平面内，给出下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的序号是.【①④分析：熟悉点线面的的一些常用定理，直线垂直平面，则垂直于平面内任意一条直线。若两平面平行，则该直线也垂直于此平面。】例3、a、b是异面直线，P是a、b外任意一点，下列结论正确的有（）A.过P可以作一个平面与a、b都平行B.过P可以作一个平面与a、b都垂直C.过P可以作一直线与a、b都平行D.过P可以作一直线与a、b成等角【答案：D】当P点与a确定的平面和b平行时，A错误。【易错点2：立体图形的截面问题】必修2平行关系习题1-5（第34页）B组第2题，就是一个截面问题。例4、正方体--，E、F分别是、的中点，p是上的动点（包括端点），过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是（）线段B、线段C、线段和一点D、线段和一点C。【易错点分析】学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。解析：如图当点P在线段上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线DE平行于平面，则过DE的截面DEP与平面的交线必平行，因此两平面的交线为过点P与DE平行的直线，由于点P在线段CF上故此时过P与DE平行的直线与直线的交点在线段上，故此时截面为四边形（实质上是平行四边形），特别的当P点恰为点F时，此时截面为也为平行四边形，当点P在线段上时如图分别延长DE、DP交、于点H、G则据平面基本定理知点H、G既在平截面DEP内也在平面内，故GH为两平面的交线，连结GH分别交、于点K、N（注也有可能交在两直线的延长线上），再分别连结EK、KN、PN即得截面为DEKNP此时为五边形。故选C【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：①一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内，②两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如①证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；②诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这些点在两平面的交线上）。据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。例5、在正三棱柱-中，P、Q、R分别是、、的中点，作出过三点P、Q、R截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。【答案：五边形。】【易错点3：忽视角的范围】说明：直线与平面所成角的范围是；两异面直线所成角的范围是；二面角的范围。特别要注意的是两异面直线所成角的范围，当求出的余弦值为时，其所成角的大小应为.求异面直线所成角的基本方法：①平移使相交，然后解三角形；②空间向量法。例6、如果异面直线a、b所成的角为,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是的直线有几条？A、一条B二条C三条D四条【易错点分析】对过点P与两异面直线成相同的角的直线的位置关系空间想象不足，不明确与两直线所成的角与两异面直线所成的角的内在约束关系。解析：如图，过点P分别作a、b的平行线、，则、所成的角也为，即过点P与、成相等的角的直线必与异面直线a、b成相等的角，由于过点P的直线L与、成相等的角故这样的直线L在、确定的平面的射影在其角平分线上，则此时必有当时，有，此时这样的直线存在且有两条；当时，有这样的直线不存在。故选B。【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对本题来说是解决与两异面直线所成的等角的直线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角的关系，由公式（其中是直线与平面所成的角）易知，（最小角定理）。故一般地，若异面直线a、b所成的角为，L与a、b所成的角均为，据上式有如下结论：当时，这样的直线不存在；当时，这样的直线只有一条；当时，这样的直线有两条；当时这样的直线有3条；当时，这样的直线有四条。例7、已知平行六面体--中，底面是边长为1的的正方形，侧棱的长为2，且侧棱和与的夹角都等于，（1）求对角线的长（2）求直线与的夹角值。【答案：(1)，∴。A为C1在底面上的投影。AC1=.(2)（采用向量方法，求得,故两异面直线所成的角的余弦值为）】例8、在平行四边形ABCD中，AB=1，AC=，AD=2；线段PA⊥平行四边形ABCD所在的平面，且PA=2，则异面直线PC与BD所成的角等于（用反三角函数表示）.【分析：或】例9、如图，平面，四边形是正方形，，点、、分别为线段、和的中点.求异面直线与所成角的大小；xxyz【分析：异面直线与所成角大小为.】例10、在正三棱柱中，若，则所成角的大小为（）A、B、C、D、【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。解析：如图分别为中点，连结，设则为在平面上的射影。又而垂直。【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如时，可以采用证明垂直的方法来求之。例11、（2002年·全国·理18）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若。（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）当为何值时，的长最小；（Ⅲ）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小。解：（Ⅰ）作∥交于点，∥交于点，连结，依题意可得∥，且，即是平行四边形∴由已知，∴又，，即∴（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当时，即、分别移动到、的中点时，的长最小，最小值为。（Ⅲ）取的中点，连结、，∵，，为的中点∴⊥，⊥，∠即为二面角的平面角又，所以，由余弦定理有故所求二面角【本题也可用空间向量解（见《基础》P158，容易误解为】【易错点4：面积体积计算】例12、已知球的半径为，一平面截球所得的截面面积为，球心到该截面的距离为，则球的体积等于.【分析：平面截球所得的截面即为一平面圆，所以该圆半径即为2，又由于球心到该截面距离为，而球体半径，截面半径与球心到截面距离正好构成一个直角三角形，由勾股定理可得球体半径为3，根据球的体积公式。】例13、棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A、B、C、D、【易错点分析】正确的分析图形，采用割补法。解析：如图此八面体可以分割为两个正四棱锥，而，故选C。【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求。例14、一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎么样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。解：在8个顶点处不能到达的空间为：，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间为。故小球不能到达的空间体积为：【易错点5：经度纬度与球面距离】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆。例15、如图，在北纬的纬线圈上有A,B两点，它们分别在东经与东经的经度上，设地球的半径为R，求A,B两点的球面距离。【易错点分析】求A、B两点的距离，主要是求A、B两点的球心角的大小，正确描述纬线角和经度角是关键。解析：设北纬圈的圆心为，地球中心为O，则连结，则。【知识点归类点拨】数学上，某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（经线）和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。如下图：图（1）：经度——P点的经度，也是的度数。图（2）：纬度——P点的纬度，也是的度数。例16、在体积为的球的表面上有三点,两点的球面距离为.则球心到平面的距离为_____.【答案：】【易错点6：用空间向量解立体几何】例17：已知正方体AC1的棱长为2，求DD1与平面A1BD所成的角。解：如图，建立空间直角坐标系，则DBCDBCAxD1C1A1B1zy【很容易错误地认为DD1与平面A1BD所成的角为】

第7章立体几何易错点精练1.已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．解析①有直线l⊂α的可能；②正确；③中包含两个点在平面两侧的情况；④正确．故填②④.2.给定空间中的直线及平面，条件“直线与平面垂直”是“直线与平面内无数条直线垂直”的（）充要条件充分非必要条件必要非充分条件既非充分又非必要条件【答案：B】3.“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案：C．分析：直线与平面平行的定义即为直线与平面没有公共点】4.正方体ABCD—A1B1C1D1中，p、q、r、分别是AB、AD、B1C（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形【答案：D】5.如果异面直线a、b所在的角为80°,P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是的直线有几条？A、一条B二条C三条D四条【答案：C】6.设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为的球面上，则该正方体的体积为．【分析：由于正方体的各个顶点都在球面上，可知，该正方体的中心和球的球心为同一点，则正方体体对角线等于该球的直径，又由于球的表面积为，所以根据球的表面积计算公式可得半径为，所以正方体的边长为2，体积即得，等于8】7.如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=，侧面PAD为等边三角形，并且与底面成二面角为。四棱锥P—ABCD的体积。解析：如图，取AD的中点E，连结PE，则。作平面ABCD，垂足为O，连结OE。根据三垂线定理的逆定理得，所以为侧面PAD与底面所成二面角的平面角。由已知条件可，所以，四棱锥P—ABCD的体积。8.如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是的中点，求异面直线与所成的角（结果用反三角函数表示）．BCDA1PBCDA1PB1C1D1.9.在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC=a，则正三棱锥A－BCD的体积为____________。【EQ\F(EQ\R(2),24)a3(隐含条件)】10.在直二面角－AB－的棱AB上取一点P，过P分别在、两个平面内作与棱成45°的斜线PC、PD，那么∠CPD的大小为（）(A)45 (B)60 (C)120 (D)60或120【D(漏解)】11.设M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，于E（如图），现将沿DE折起，使二面角为，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小等于。解析：易知取AE中点Q，连MQ，BQ，N为BC的中点，即M，N连线与AE成角。12.如图，在棱长为1的正方体中，M，N，P分别为的中点。求异面直线所成的角。DCBADCBAA1D1B1C1NMP解