高三一轮复习难点突破(1)-公切线问题

2021届高三一轮复习难点突破（1）----切线与公切线的应用【方法点拨】1.利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；2.零点、最值问题有时也可以转化为公切线问题【典型例题】例1（2016·新课标Ⅱ，16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=．例2已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为．例3已知函数，若，且，则的最小值是_____.【方法归纳】

【巩固训练】1．(2020·江南十校联考)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为_________．2．若与在它们的公共点处具有公共切线，则的值为（）A．B．C．1D．23．若与存在公切线，则的取值范围为（）A．B．C．D．4．已知函数，若函数的图象在点A、B处的切线重合，则的取值范围为（）A．B．C．D．5．已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则的值为（）A．B．1C．3D．56．设函数与有公共点，切在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为____________．7.函数xax2－－x，中∈，若等式x1－a恒成，数a取范围为．8.设函数，为正实数，若函数有且只有个零点，则的值为．9.已知函数，若直线，是函数图象的两条平行的切线，则直线，之间的距离的最大值是_____．10.若曲线与曲线存在公共切线，数a取范围为．11.（2012·新课标Ⅰ，12）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（）A． B． C． D．

2021届高三一轮复习难点突破（1）----切线与公切线的应用【方法点拨】1.利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；2.零点问题有时也可以转化为公切线问题【典型例题】例1（2016·新课标Ⅱ，16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=．解析：方法1（常规方法）：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln(x+1)分别切于、．则的切线为：，的切线为：，∴，解得，，∴．方法2（参数法）：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln(x+1)分别切于、．则，，解得，，所以，而，故，解得，．例2已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为．解析：依题意有：，即恒成立，a＝0时显然成立，a＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立，所以，要使不等式恒成立，需a≤0.当a＜0时，设，易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的“临界状态”时的切点坐标.设公切点为，则，解之得∴切点为为使，只需，故又a＜0，所以.综上，实数a的取值范围为．例3已知函数，若，且，则的最小值是_____.答案：分析：根据几何意义，满足条件的点在曲线上，该点处切线与平行.解析：设为曲线上一点，当该点处切线与平行时，满足题意.令得满足题意，即把代入得把代入得，即∴即为所求.答案：.【巩固训练】跟踪练习1．(2020·江南十校联考)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为_________．【解析】设l与f(x)＝ex的切点为(x1，ex1)，与g(x)＝lnx＋2的切点为(x2，lnx2＋2)．因为f′(x)＝ex，g′(x)＝eq\f(1,x)，所以l：y＝ex1·x－x1·ex1＋ex1，y＝eq\f(1,x2)·x＋lnx2＋1.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex1＝\f(1,x2)，,（1－x1）ex1＝lnx2＋1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,x2＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝\f(1,e).))∴切线方程为y＝x＋1或y＝ex.2．若与在它们的公共点处具有公共切线，则的值为（）A．B．C．1D．23．若与存在公切线，则的取值范围为（）A．B．C．D．4．已知函数，若函数的图象在点A、B处的切线重合，则的取值范围为（）A．B．C．D．5．已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则的值为（）A．B．1C．3D．55．设函数与有公共点，切在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为____________．6.函数xax2－－x，中∈，若等式x1－a恒成，数a取范围为．答案：7.设函数，为正实数，若函数有且只有个零点，则的值为．答案：1解析:遇含参问题能分离变量则分离.函数有且只有个零点，意即与的图象只有一个交点，由于与均过点，所以的零点为.所以与在点处相切，故与相等，所以.8.（2019·泰州中学、宜兴中学、梁丰高中4月联考）已知函数，若直线，是函数图象的两条平行的切线，则直线，之间的距离的最大值是_____．答案：2分析：函数的图象关于坐标原点对称，故两条平行的切线的切点也关于坐标原点对称，只需求坐标原点到其中一条切线距离的最大值即可.根据几何意义，该切线应与过切点与坐标原点的直线垂直.解析：不妨设切点为（）∵，而过切点与坐标原点的直线的斜率为∴解之得故切点为∴两切点间的距离是2，即为所求.9.（2018·安徽江南十校联考·10）若曲线与曲线存在公共切线，数a取范围为．答案：10.（2012·新课标Ⅰ，12）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B解析：函数与函数互为反函数，图象关于直线对称．问题转化为求曲线上点P到直线的距离的最小值，则的最小值为．（用切线法）：设直线与曲线相切于点，因为，所以根据导数的几何意义，得，，所以切点，从而，所以因此曲线上点P到直线的距离的最小值为直线与直线的距离，从而，所以，故选择B．

2021届高三一轮复习难点突破（1）----切线与公切线的应用例1（2016·新课标Ⅱ，16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=．解析：方法1（常规方法）：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln(x+1)分别切于、．则的切线为：，的切线为：，∴，解得，，∴．方法2（参数法）：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln(x+1)分别切于、．则，，解得，，所以，而，故，解得，．例2已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为．解析：依题意有：，即恒成立，a＝0时显然成立，a＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立，所以，要使不等式恒成立，需a≤0.当a＜0时，设，易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的“临界状态”时的切点坐标.设公切点为，则，解之得∴切点为，为使，只需，故又a＜0，所以.综上，实数a的取值范围为．例3已知函数，若，且，则的最小值是_____.分析：根据几何意义，满足条件的点在曲线上，该点处切线与平行.解析：设为曲线上一点，当该点处切线与平行时，满足题意.令得满足题意，即把代入得把代入得，即∴即为所求.跟踪练习1．(2020·江南十校联考)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为_________．【解析】设l与f(x)＝ex的切点为(x1，ex1)，与g(x)＝lnx＋2的切点为(x2，lnx2＋2)．因为f′(x)＝ex，g′(x)＝eq\f(1,x)，所以l：y＝ex1·x－x1·ex1＋ex1，y＝eq\f(1,x2)·x＋lnx2＋1.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex1＝\f(1,x2)，,（1－x1）ex1＝lnx2＋1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,x2＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝\f(1,e).))∴切线方程为y＝x＋1或y＝ex.2．若与在它们的公共点处具有公共切线，则的值为（）A．B．C．1D．23．若与存在公切线，则的取值范围为（）A．B．C．D．4．已知函数，若函数的图象在点A、B处的切线重合，则的取值范围为（）A．B．C．D．5．已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则的值为（）A．B．1C．3D．56．设函数与有公共点，切在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为____________．7.函数xax2－－x，中∈，若等式x1－a恒成，数a取范围为．答案：8.设函数，为正实数，若函数有且只有个零点，则的值为．答案：1解析:遇含参问题能分离变量则分离.函数有且只有个零点，意即与的图象只有一个交点，由于与均过点，所以的零点为.所以与在点处相切，故与相等，所以.9.已知函数，若直线，是函数图象的两条平行的切线，则直线，之间的距离的最大值是_____．答案：2分析：函数的图象关于坐标原点对称，故两条平行的切线的切点也关于坐标原点对称，只需求坐标原点到其中一条切线距离的最大值即可.根据几何意义，该切线应与过切点与坐标原点的直线垂直.解析：不妨设切点为（），∵，而过切点与坐标原点的直线的斜率为，∴，解之得，故切点为，∴两切点间的距离是2，即为所求.10.若曲