高中数学-第一章-集合与常用逻辑用语-1.1-集合-1.1.1-集合及其表示方法-第2课时学案含解

集合及其表示方法第2课时学习目标1.理解并掌握集合的两种表示方法,并针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用数学的符号语言来刻画集合,发展数学抽象素养;2.理解并掌握区间及其表示,为后续不等式解集的学习打好基础.自主预习1.什么是列举法?2.什么是特征性质描述法?思考:如何选择合适的方法去表示集合?3.区间及其表示(1)若a∈R,b∈R,且a<b,则有下表:集合简写名称数轴表示闭区间开区间半闭半开区间半开半闭区间(2)如果用“+∞”表示“正无穷大”,用“-∞”表示“负无穷大”,则实数集R可表示为区间(-∞,+∞).符号(a,+∞)(-∞,a)集合{x|x≥a}{x|x≤a}课堂探究1.列举法【发现问题】(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数构成的集合.思考1:以上集合均是用自然语言描述的,能否用数学语言去简洁表示呢?【探究新知】①由两个元素0,1组成的集合可用列举法表示为;

②24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24组成的集合可用列举法表示为;

③中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为;

④不大于100的自然数组成的集合可以表示为;

⑤自然数集N可用列举法表示为.

思考2:{2,1}和{1,2}是同一个集合吗?思考3:只含一个元素的集合{a}也是一个集合,{a}与a该如何理解?例1用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数组成的集合.跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A;(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B;(3)一次函数y=x+2与y=-2x+5的图像的交点组成的集合D.2.描述法思考4:以下集合用列举法表示方便吗?如果不方便,该如何表示呢?①满足x>3的所有数组成的集合A;②所有的两个整数的商组成的集合B.例2用描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数集合;(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.跟踪训练2下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义分别是什么?例3用适当的方法表示下列集合:(1)方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A;(2)平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合B.思考5:如何选用合适的方法来表示集合呢?跟踪训练3用适当的方法表示下列集合:(1)英语单词mathematics(数学)中的所有英文字母组成的集合;(2)方程x+2y=7的所有解组成的集合;(3)绝对值小于0的所有实数组成的集合.例4用区间表示不等式2x-12>x的所有解组成的集合跟踪训练4用区间表示下列集合:(1){x|-1≤x≤3};(2){x|0<x≤1};(3){x|2≤x<5};(4){x|0<x<2};(5){x|x<3};(6){x|x≥2}.例5已知集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合.延伸探究:1.若将“只有一个元素”改为“有两个元素”,其他条件不变,求实数k的值组成的集合.2.若将“只有一个元素”改为“至少有一个元素”,其他条件不变,求实数k的取值范围.课堂练习1.用列举法表示集合{x|x2-2x-3=0}为()A.{-1,3} B.{(-1,3)}C.{x=1} D.{x2-2x-3=0}2.一次函数y=x-3与y=-2x的图像的交点组成的集合是()A.{1,-2} B.{x=1,y=-2}C.{(-2,1)} D.{(1,-2)}3.设A={x∈N|1≤x<6},则下列正确的是()A.6∈A B.0∈AC.3∉A D.3.5∉A4.设区间A=(-2,3),B=[2,+∞),使得x∈A且x∈B的一个实数为.

5.已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,求x的值.课后巩固1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为()A.{1,1} B.{1}C.{x=1} D.{x2-2x+1=0}2.如果A={x|x>-1},那么()A.-2∈A B.{0}∈AC.-3∈A D.0∈A3.下列集合中,不同于另外三个集合的是()A.{x|x=1} B.{x|x2=1}C.{1} D.{y|(y-1)2=0}4.下列命题中正确的是()A.集合{x∈R|x2=1}中有两个元素B.集合{0}中没有元素C.13∈{x|x<23}D.{1,2}与{2,1}是不同的集合5.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为()A.3 B.4 C.5 D.66.已知A={1,2,3},B={2,4},定义集合A,B间的运算A*B={x|x∈A且x∉B},则集合A*B等于()A.{1,2,3} B.{2,4}C.{1,3} D.{2}7.能被2整除的正整数的集合,用描述法可表示为.

8.已知集合A={x|2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是.

9.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集.(答案不唯一)

10.用适当的方法表示下列集合:(1)一年中有31天的月份的全体;(2)大于-3.5小于12.8的整数的全体;(3)梯形的全体构成的集合;(4)所有能被3整除的数的集合;(5)方程(x-1)(x-2)=0的解集;(6)不等式2x-1>5的解集.核心素养专练1.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是.

2.设集合B=x∈(1)试判断元素1和2与集合B的关系;(2)用列举法表示集合B.参考答案自主预习略课堂探究思考及探究新知:略例1解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即所求交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.(4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.跟踪训练1解:(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.(2)方程x2-9=0的实数根为-3,3,所以B={-3,3}.(3)由y=x所以一次函数y=x+2与y=-2x+5的交点为(1,3),所以D={(1,3)}.例2解:(1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N+,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N+}.(2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故n∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.跟踪训练2解:(1)不是.(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,即A=R,可以认为集合A表示函数y=x2+1中自变量的取值范围.集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1},可以认为集合B表示函数y=x2+1中因变量的取值范围.集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是满足y=x2+1的数对.可以认为集合C是由坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的.例3(1)A={0,1}(2)B={(x,y)|x>0,y>0}跟踪训练3(1){m,a,t,h,e,i,c,s}(2){(x,y)|x+2y=7}(3)⌀例4A=1跟踪训练(1)[-1,3](2)(0,1](3)[2,5)(4)(0,2)(5)(-∞,3)(6)[2,+∞)例5解:①当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;②当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意.综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}.延伸探究1.解:由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不相等的实数根,故k≠0,且Δ=64-64k>0,即k<1,且k≠0.所以实数k组成的集合为{k|k<1,且k≠0}.2.解:由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,符合题意;②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≥0,即k≤1,且k≠0.综合①②可知,实数k的取值集合为{k|k≤1}.课堂练习1.A2.D3.D4.2(答案不唯一)5.-1或-8课后巩固1.B2.D3.B4.A5.B6.C7.{x|x=2n,n∈N+}8.(-∞,-2]9.不是110.解:(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.(3){a|a是梯形}或{梯形}.(4){x|x=3n,n∈Z}.(5){1,2}.(6){x|x>3}.核心素养专练1.答案:5解析:因为A={0,1,2},又集合B中元素为x-y且x∈A,y∈A,所以x的可能取值为0,1,2,y的可能取值为0,1,2.当x=0,y=0或1或2时,对应的x-y的值为0,-1,-2.当x=1,y=0或1或2时,对应的x-y的值为1,0,-1.当x=2,y=0或1或2时,对应的x-y的值为2,1,0.综上可知,集合B={-2,-1,0,1,2},所以集合B中的元素的个数为5.2.解:(1)当x=1时,62+1=2∈N;当x=2时,62+2=32∉N,所以1∈B,(2)因为62+x∈N,x∈N,所以2+x只能取2,3,6,所以x只能相应取0,1,4,所以B={0,1,4学习目标1.掌握集合的三种表示方法,并能进行转化;2.会选择合适的方法表示集合;3.能正确表述和理解集合语言.自主预习一、列举法列举法:把集合中的元素出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在内,这种表示集合的方法称为列举法.

二、描述法1.特征性质:一般地,如果属于集合A的元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.

2.描述法:用特征性质p(x)表示为的形式.这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称描述法.

思考:不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征?三、区间及其表示1.设a,b是两个实数,且a<b,则有下表:集合简写名称数轴表示{x|a≤x≤b}

闭区间{x|a<x<b}(a,b)开区间

[a,b)半闭半开区间{x|a<x≤b}(a,b]

2.实数集R可以用区间表示为,“∞”读作“无穷大”.如:

符号

(a,+∞)

(-∞,a)集合{x|x≥a}

{x|x≤a}课堂探究一、列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;(4)由所有正整数构成的集合.跟踪训练1用列举法表示下列给定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A;(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B;(3)一次函数y=x+2与y=-2x+5的图像的交点组成的集合D.二、描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数集合;(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.跟踪训练2下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义分别是什么?三、集合的表示方法例3用适当的方法表示下列集合(能用区间表示的用区间表示):(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集;(2)在自然数集内,小于1000的奇数构成的集合;(3)不等式x-2>6的解的集合;(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.跟踪训练3下列集合中,不同于另外三个集合的是()A.{x|x=1} B.{y|(y-1)2=0}C.{x=1} D.{1}核心素养专练1.集合{x∈N+|x-3<2}的另一种表示方法是()A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}2.坐标轴上的点的集合可表示为()A.{(x,y)|x=0,y≠0或x≠0,y=0}B.{(x,y)|x2+y2=0}C.{(x,y)|xy=0}D.{(x,y)|x2+y2≠0}3.方程组x+y=1,A.(1,0,2) B.{1,0,2}C.{(1,0,2)} D.{(x,y,z)|1,2,3}4.集合{y|y=x+1}与集合{y|y=x2+1}的公共元素是()A.{(1,2),(0,1)} B.{y|y=x2+1}C.⌀ D.{y|y≥1}5.如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素,则a的值是()A.0 B.0或1C.1 D.不能确定6.若集合M={1,2},满足集合P={x|x∈M}的P有.

参考答案自主预习略课堂探究一、列举法表示集合例1解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即所求交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.(4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.跟踪训练1解:(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,