双曲线的几何性质

关于双曲线的几何性质oYX关于X,Y轴,原点对称(±a,0),(0,±b)(±c,0)A1A2;B1B2|x|

a,|y|≤b F1F2A1A2B2B1复习椭圆的图像与性质上述性质其研究方法各是什么？第2页,共29页，2024年2月25日，星期天双曲线的标准方程形式一：

（焦点在x轴上，（-c，0）、（c，0））

形式二：（焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c））其中复习

第3页,共29页，2024年2月25日，星期天YXF1F2A1A2B1B2焦点在x轴上的双曲线图像第4页,共29页，2024年2月25日，星期天

2、对称性

一、研究双曲线的简单几何性质1、范围关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授

第5页,共29页，2024年2月25日，星期天3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo-bb-aa如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长（2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线（3）第6页,共29页，2024年2月25日，星期天M(x,y)4、渐近线N(x,y’)Q慢慢靠近xyoab（1）（2）

利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图（3）第7页,共29页，2024年2月25日，星期天证明:双曲线的渐近线方程为这一部分的方程可写为设M(x,y)是它上面的点，N(x,Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.xyoNMQ第8页,共29页，2024年2月25日，星期天如何根据双曲线的标准方程确定双曲线的渐近线方程方法一(几何法)矩形对角线所在直线方法二把双曲线标准方程中等号右边的1改为0,就得到了双曲线的渐近线方程反过来,能否由渐近线方程确定双曲线的标准方程呢?这样的双曲线是否是唯一的?探求:以为渐近线的双曲线有哪些??双曲线的渐近线方程为观察它们形式上的联系xyo第9页,共29页，2024年2月25日，星期天已知渐近线方程,不能确定a,b的值,只能确定a,b的关系如果两条渐近线方程为,那么双曲线的方程为当λ>0时,当λ<0时,当λ=0时,,这里λ是待定系数共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。双曲线焦点在x轴上双曲线焦点在y轴上即为双曲线的渐近线方程1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将1变为-1第10页,共29页，2024年2月25日，星期天xyo根据以上四项性质,能较准确地画出双曲线的图形吗?练习:画出双曲线的草图双曲线的开口大小有没有限制?向远处伸展有没有约束范围?当x→∞时,方程近似变为,即双曲线上的点无限接近直线第11页,共29页，2024年2月25日，星期天5、离心率离心率。c>a>0e>1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：（2）e的范围：（3）e的含义：第12页,共29页，2024年2月25日，星期天（4）等轴双曲线的离心率e=?(5)A1A2B1B2abcx0y几何意义第13页,共29页，2024年2月25日，星期天焦点在x轴上的双曲线的几何性质复习

双曲线标准方程：YX双曲线性质：1、范围：x≥a或x≤-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点A1（-a，0），A2（a，0）4、轴：实轴A1A2虚轴B1B2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=第14页,共29页，2024年2月25日，星期天XYF1F2OB1B2A2A1焦点在y轴上的双曲线图像第15页,共29页，2024年2月25日，星期天焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答

双曲线标准方程：YX双曲线性质：1、范围：y≥a或y≤-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点B1（0，-a），B2（0，a）4、轴：实轴B1B2;

虚轴A1A2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=c/aF2F2o如何记忆双曲线的渐进线方程？第16页,共29页，2024年2月25日，星期天小结xyo或或关于坐标轴和原点都对称性质双曲线范围对称性

顶点

渐近线离心率图象

xyo第17页,共29页，2024年2月25日，星期天12=+byax222（a＞b＞0）12222=-byax(a＞0b＞0)222=+ba(a＞0b＞0)c222=-ba(a＞b＞0)c椭圆双曲线方程abc关系图象椭圆与双曲线的性质比较yXF10F2MXY0F1F2p小结第18页,共29页，2024年2月25日，星期天渐近线离心率顶点对称性范围

准线|x|

a,|y|≤b|x|≥

a，yR对称轴：x轴，y轴对称中心：原点对称轴：x轴，y轴对称中心：原点（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)长轴：2a短轴：2b(-a,0)(a,0)实轴：2a虚轴：2be=ac(0＜e＜1)ace=(e1)无y=abx±第19页,共29页，2024年2月25日，星期天例1:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:14416922=-xy1342222=-xy53422=+45==ace例题讲解

第20页,共29页，2024年2月25日，星期天1、填表|x|≥618|x|≥3(±3,0)y=±3x44|y|≥2(0,±2)1014|y|≥5(0,±5)第21页,共29页，2024年2月25日，星期天例2求中心在原点,对称轴为坐标轴,经过点P(1,3)且离心率为的双曲线方程1.已知双曲线的实轴的一个端点为A1,虚轴的一个端点为B1,且则b等于________2.双曲线的离心率为2,则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长,短两段的比是______________________3:13.已知双曲线的离心率则m的取值范围是__________(-12,0)4.双曲线与椭圆有相同的焦点,一条渐近线为y=x,求双曲线的方程.3练习第22页,共29页，2024年2月25日，星期天5.双曲线和它的共轭双曲线离心率分别为e1和e2，则e1、e2应满足的关系_________________________6.双曲线的离心率为2,则两渐近线的夹角为__________60°第23页,共29页，2024年2月25日，星期天例3已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为12，求它的标准方程.注：

称为与双曲线共渐近线的双曲线系方程（λ是参数）第24页,共29页，2024年2月25日，星期天P113，1小结：本节课讨论了双曲线的简单几何性质：范围，对称性，顶点，离心率，渐近线，请同学们熟练掌握。作业113，1第25页,共29页，2024年2月25日，星期天例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证:(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.YXA1A2B1B2F1F2oF’2F’1第26页,共29页，2024年2月25日，星期天证明:(1)设已知双曲线的方程是:则它的共轭双曲线方程是:渐近线为：渐近线为:可化为：故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐