弯矩曲率关系

关于弯矩曲率关系一、概述

Hh位移计As

NPb外加荷载柱的竖向荷载数据采集系统带定向滑轮的千斤顶台座试验柱h荷载分配梁As

LP数据采集系统外加荷载L/3L/3Asb试验梁应变计位移计IIIIII

OM适筋超筋平衡最小配筋率第2页,共85页，2024年2月25日，星期天二、骨架曲线的弯矩-曲率关系

1.基本假定平截面假定----平均应变意义上LPL/3L/3asAs

ctbhAs’as’ydy

cb

s

s’

c

nh0(1-

n)h0忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响第3页,共85页，2024年2月25日，星期天二、骨架曲线的弯矩-曲率关系

2.短期荷载下的弯矩-曲率关系截面的相容关系ash/2-as

hh/2-asZias

As

sAs

sAs1in

c1

s

ci

M

s

As

ci截面中心线bN第4页,共85页，2024年2月25日，星期天二、骨架曲线的弯矩-曲率关系

2.短期荷载下的弯矩-曲率关系截面的物理方程（对物理方程的处理）ash/2-as

hh/2-asZias

As

sAs

sAs1in

c1

s

ci

M

s

As

ci截面中心线bN对钢筋混凝土柱，有时也可能会出现

s<0

第5页,共85页，2024年2月25日，星期天二、骨架曲线的弯矩-曲率关系

2.短期荷载下的弯矩-曲率关系截面的平衡方程ash/2-as

hh/2-asZias

As

sAs

sAs1in

c1

s

ci

M

s

As

ci截面中心线bN第6页,共85页，2024年2月25日，星期天二、骨架曲线的弯矩-曲率关系

2.短期荷载下的弯矩-曲率关系拉区混凝土开裂后的处理ash/2-as

hh/2-asZias

As

sAs

sAs1in

c1

s

ci

M

s

As

ci截面中心线bN

ci

>

t0

该条带混凝土开裂

ci

>

tu该条带混凝土退出工作

ci=0

第7页,共85页，2024年2月25日，星期天二、骨架曲线的弯矩-曲率关系

2.短期荷载下的弯矩-曲率关系拉区混凝土开裂后的处理即使在纯弯段也只可能在几个截面上出现裂缝,裂缝间混凝土的拉应变不相等PP

平均应变分布曲率?第8页,共85页，2024年2月25日，星期天二、骨架曲线的弯矩-曲率关系

2.短期荷载下的弯矩-曲率关系拉区混凝土开裂后的处理--Considère(1899)试验00.0010.0020.0030.00420010050150N(kN)平均应变

混凝土：fc=30.8MPa;ft=1.97MPa;

Ec=25.1

103MPa.钢筋：fy=376MPa;fsu=681MPa;

Es=205

103MPa;As=284mm2.混凝土中的钢筋裸钢筋152NN915152“拉伸硬化”现象第9页,共85页，2024年2月25日，星期天三、截面尺寸和配筋构造

1.梁净距

25mm

钢筋直径dcccbhc25mm

dh0=h-35bhh0=h-60净距

30mm

钢筋直径d净距

30mm

钢筋直径d第10页,共85页，2024年2月25日，星期天三、截面尺寸和配筋构造

1.板hh0c15mm

d分布钢筋板厚的模数为10mm第11页,共85页，2024年2月25日，星期天四、受弯构件的试验研究

1.试验装置h荷载分配梁A

sLP数据采集系统外加荷载L/3L/3Asb试验梁应变计位移计第12页,共85页，2024年2月25日，星期天四、受弯构件的试验研究

2.试验结果适筋破坏第13页,共85页，2024年2月25日，星期天四、受弯构件的试验研究

2.试验结果超筋破坏第14页,共85页，2024年2月25日，星期天四、受弯构件的试验研究

2.试验结果超筋破坏第15页,共85页，2024年2月25日，星期天四、受弯构件的试验研究

2.试验结果平衡破坏（界限破坏，界限配筋率）第16页,共85页，2024年2月25日，星期天四、受弯构件的试验研究

2.试验结果最小配筋率第17页,共85页，2024年2月25日，星期天四、受弯构件的试验研究

2.试验结果LPL/3L/3IIIIII

OM适筋MI

c

sAs

t<ftMcr

c

sAs

t=ft(

ct=

tu)MII

c

sAs

s<

yMyfyAs

c

s=

y

s>

yfyAsMIII

c(c’<

u)(Mu)超筋少筋平衡最小配筋率第18页,共85页，2024年2月25日，星期天四、受弯构件的试验研究

2.试验结果结论适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，设计时应予避免在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢筋屈服的同时，混凝土压碎界限配筋率、最小配筋率是区分适筋破坏、超筋破坏和少筋破坏的定量指标第19页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

1.基本假定平截面假定----平均应变意义上LPL/3L/3asAs

ctbhAs’as’ydy

cb

s

s’

c

nh0(1-

n)h0第20页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

1.基本假定混凝土受压时的应力-应变关系

u

0o

cfc

c第21页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

1.基本假定混凝土受拉时的应力-应变关系

t

to

t0ft

t=Ec

t第22页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

1.基本假定钢筋的应力-应变关系

s

s

s=Es

s

y

sufy第23页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

2.弹性阶段的受力分析

cb

ct

s

Asbhh0M

c

sAsxn采用线形的物理关系第24页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

2.弹性阶段的受力分析（

E-1）As将钢筋等效成混凝土用材料力学的方法求解

cb

ct

s

bhh0M

c

sAsxnAs第25页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

2.弹性阶段的受力分析当

cb=tu时，认为拉区混凝土开裂并退出工作（约束受拉）bhh0Asxn=

nh0

ct

cb=

tu

s

c

t0为了计算方便用矩形应力分布代替原来的应力分布xn=xcrM

ct

sAsCTcft

t

to

t0ft2t0第26页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

2.弹性阶段的受力分析bhh0Asxn=

nh0

ct

cb=

tu

s

c

t0xn=xcrM

ct

sAsCTc第27页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

2.弹性阶段的受力分析bhh0Asxn=

nh0

ct

cb=

tu

s

c

t0xn=xcrM

ct

sAsCTc第28页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

3.开裂阶段的受力分析

ct

cb

s

cyxnM

ct

sAsCycM较小时，

c可以认为是按线性分布，忽略拉区混凝土的作用bhh0Asxn=

nh0第29页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

3.开裂阶段的受力分析M较大时，

c按曲线性分布，需要进行积分计算（略）bhh0Asxn=

nh0

ct

cb

s

cyxnM

ct

sAsCyc第30页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

4.破坏阶段的受力分析

ct

ct=

c0

sAs（fyAs）MCyc

c0xn=

nh0应用积分bhh0Asxn=

nh0

ct

cb

s

cyxnM

ct

sAsCyc第31页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

4.破坏阶段的受力分析

ct

ct=

c0

sAs（fyAs）MCyc

c0xn=

nh0对适筋梁，达极限状态时，第32页,共85页，2024年2月25日，星期天五、受弯构件正截面受力分析

4.破坏阶段的受力分析

ct

ct=

c0

sAs（fyAs）MCyc

c0xn=

nh0对超筋梁，达极限状态时，解一元二次方程第33页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

1.压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）

sAsMu

c0=

1fcCycxn=

nh0Muxn=

nh0bhh0As

cu

s

sAsCxn=

nh0

1

c0MuCycxn=

nh0

sAsx=

1xn引入参数

1、

1进行简化原则：C的大小和作用点位置不变第34页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

1.压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）

sAsMu

c0=

1fcCycxn=

nh0

1

c0MuCycxn=

nh0

sAsx=

1xn由C的大小不变由C的位置不变第35页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

1.压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）

sAsMu

c0=

1fcCycxn=

nh0

1

c0MuCycxn=

nh0

sAsx=

1xn线性插值（《混凝土结构设计规范》GB50010）第36页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

1.压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）

1

c0MuCycxn=

nh0

sAsx=

1xn定义：对试验梁，已知b、h0、As、fc、fy、Es，在试验中测得

s及Mu，于是：第37页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

1.压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）

1

c0MuCycxn=

nh0

sAsx=

1xn由大量试验结果，根据统计分析中间线性插值第38页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

2.界限受压区高度

cu

yxnbh0平衡破坏适筋破坏超筋破坏第39页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

2.界限受压区高度

cu

yxnbh0平衡破坏适筋破坏超筋破坏适筋梁平衡配筋梁超筋梁第40页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

3.极限受弯承载力的计算基本公式Mu

1fcx/2C

sAsxh0第41页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

3.极限受弯承载力的计算适筋梁fyAsMu

1fcx/2Cxh0截面抵抗矩系数截面内力臂系数将

、

s、

s制成表格，知道其中一个可查得另外两个第42页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

3.极限受弯承载力的计算适筋梁的最大配筋率（平衡配筋梁的配筋率）fyAsMu

1fcx/2Cxh0保证不发生超筋破坏《混凝土结构设计规范》GB50010中各种钢筋所对应的

b、

smax、列于教材表4-1中第43页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

3.极限受弯承载力的计算适筋梁的最小配筋率xnxn/3fyAsMuCh0钢筋混凝土梁的Mu=素混凝土梁的受弯承载力Mcr《混凝土结构设计规范》GB50010中取：Asmin=

sminbh配筋较少压区混凝土为线性分布偏于安全地具体应用时，应根据不同情况，进行调整第44页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

3.极限受弯承载力的计算超筋梁的极限承载力h0

cu

sxnb=x/

1

sih0i关键在于求出钢筋的应力任意位置处钢筋的应变和应力只有一排钢筋fcu50Mpa第45页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

3.极限受弯承载力的计算

sAsMu

1fcx/2Cxh0超筋梁的极限承载力避免求解高次方程作简化解方程可求出Mu第46页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

4.承载力公式的应用已有构件的承载力（已知b、h0、fy、As，求Mu）fyAsMu

1fcx/2Cxh0<

smin>

sb

smin

s

sb素混凝土梁的受弯承载力Mcr适筋梁的受弯承载力Mcr超筋梁的受弯承载力Mcr第47页,共85页，2024年2月25日，星期天六、受弯构件正截面简化分析

4.承载力公式的应用截面的设计（已知b、h0、fy、M

，求As

）fyAsMu

1fcx/2Cxh0先求x再求As<

smin>

sb

smin

s

sbOK！加大截面尺寸重新进行设计第48页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

1.应用情况截面的弯矩较大，高度不能无限制地增加bh0h截面承受变化的弯矩对箍筋有一定要求防止纵向凸出第49页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

2.试验研究不会发生少筋破坏bh0h和单筋矩形截面受弯构件类似分三个工作阶段第50页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

3.正截面受力性能分析弹性阶段As

cb

ct

s

bhh0M

c

sAsxnAs’（

E-1）As（

E-1）As’用材料力学的方法按换算截面进行求解第51页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

3.正截面受力性能分析弹性阶段----开裂弯矩(考虑

s’As’的作用)xcrbhh0AsAs’

ct

cb=

tu

s

c

t0

s’Mcrxn=xcr

ct

sAsCTc

s’As’第52页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

3.正截面受力性能分析带裂缝工作阶段xnbhh0AsAs’

ct

cb

s

c

t0

s’Mxn

ct

sAsC

s’As’Mxn

ct

sAsC

s’As’荷载较小时，混凝土的应力可简化为直线型分布荷载增大时，混凝土的应力由为直线型分布转化为曲线型分布和单筋矩形截面梁类似第53页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

3.正截面受力性能分析破坏阶段（标志

ct=

cu）压区混凝土的压力CC的作用位置yc和单筋矩形截面梁的受压区相同xnbhh0AsAs’

ct

cb

s

c

t0

s’Mxn

ct

sAsC

s’As’Mxn

ct

sAsC

s’As’Mu

ct=

cu

ct=

c0

sAs（fyAs）Cyc

c0xn=

nh0

s’As’第54页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

3.正截面受力性能分析破坏阶段（标志

ct=

cu）当fcu50Mpa时，根据平截面假定有：Mu

ct=

cu

ct=

c0

sAs（fyAs）Cyc

c0xn=

nh0fy’As’以Es=2105Mpa，as’=0.5xn/0.8代入上式，则有：

s’=-396Mpa结论：当xn2

0.8

as’

时，HPB235、HRB335、HRB400及RRB400钢均能受压屈服第55页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

3.正截面受力性能分析破坏阶段（标志

ct=

cu）当fcu50Mpa时，根据平衡条件则有：Mu

ct=

cu

ct=

c0

sAs（fyAs）Cyc

c0xn=

nh0fy’As’第56页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

4.正截面受弯承载力的简化计算方法Mu

ct=

cu

ct=

c0

sAs（fyAs）Cyc

c0xn=

nh0fy’As’Mu

1fc

sAs（fyAs）Cycxn=

nh0fy’As’x

1、

1、

1的计算方法和单筋矩形截面梁相同第57页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

4.正截面受弯承载力的简化计算方法MufyAs

1fcCfy’As’xbhh0AsAs’fyAs1As1Mu1

1fcCxbhh0fyAs2As2Mu’fy’As’bAs’第58页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

4.正截面受弯承载力的简化计算方法fyAs1As1Mu1

1fcCxbhh0fyAs2As2Mu’fy’As’bAs’承载力公式的适用条件1.保证不发生少筋破坏:

s>smin(可自动满足)2.保证不发生超筋破坏:第59页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

4.正截面受弯承载力的简化计算方法承载力公式的适用条件3.保证受压钢筋:x>2as’

，当该条件不满足时，应按下式求承载力或近似取x=2as’

则，MufyAs

1fcCfy’As’xbhh0AsAs’第60页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

5.承载力公式的应用已有构件的承载力fyAs1As1Mu1

1fcCxbhh0fyAs2As2Mu’fy’As’bAs’求x<2as’>

bh02as’

x

bh0适筋梁的受弯承载力Mu1超筋梁的受弯承载力Mu1第61页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

5.承载力公式的应用截面设计I----As’未知fyAs1As1M1

1fcCxbhh0fyAs2As2M’fy’As’bAs’第62页,共85页，2024年2月25日，星期天七、双筋矩形截面受弯构件

5.承载力公式的应用截面设计I----As’已知fyAs1As1M1

1fcCxbhh0fyAs2As2M’fy’As’bAs’<2as’>

bh02as’

x

bh0按适筋梁求As1按As’未知重新求As’和As按最小配筋率求As1第63页,共85页，2024年2月25日，星期天八、T形截面受弯构件

1.翼缘的计算宽度

1fcbf’见教材表4-2第64页,共85页，2024年2月25日，星期天八、T形截面受弯构件

2.正截面承载力的简化计算方法中和轴位于翼缘fyAsMu

1fcx/2Cxh0Asbf’bhf’hh0as两类T形截面判别I类否则II类中和轴位于腹板第65页,共85页，2024年2月25日，星期天八、T形截面受弯构件

2.正截面承载力的简化计算方法I类T形截面T形截面开裂弯矩同截面为腹板的矩形截面的开裂弯矩几乎相同xfyAsMu

1fch0Asbf’bhf’h0as按bf’×h的矩形截面计算第66页,共85页，2024年2月25日，星期天八、T形截面受弯构件

2.正截面承载力的简化计算方法II类T形截面----和双筋矩形截面类似xfyAsMuh0

1fcAsh0bf’bhf’asfyAs1Mu1xh0

1fcAs1h0basxfyAs2h0As2(bf’-b)/2bhf’as(bf’-b)/2hf’Mf’h0

1fc第67页,共85页，2024年2月25日，星期天八、T形截面受弯构件

2.正截面承载力的简化计算方法II类T形截面----和双筋矩形截面类似fyAs1Mu1xh0

1fcAs1h0basxfyAs2h0As2(bf’-b)/2bhf’as(bf’-b)/2hf’Mf’h0

1fc第68页,共85页，2024年2月25日，星期天八、T形截面受弯构件

2.正截面承载力的简化计算方法II类T形截面----和双筋矩形截面类似fyAs1Mu1xh0

1fcAs1h0basxfyAs2h0As2(bf’-b)/2bhf’as(bf’-b)/2hf’Mf’h0

1fc第69页,共85页，2024年2月25日，星期天八、T形截面受弯构件

3.正截面承载力简化公式的应用已有构件的承载力xfyAsMu

1fch0Asbf’bhf’h0as按bf’×h的矩形截面计算构件的承载力I类T形截面第70页,共85页，2024年2月25日，星期天八、T形截面受弯构件

2.正截面承载力的简化计算方法fyAs1Mu1xh0

1fcAs1h0basxfyAs2h0As2(bf’-b)/2bhf’as(bf’-b)/2hf’Mf’h0

1fc已有构件的承载力II类T形截面按b×h的单筋矩形截面计算Mu1第71页,共85页，2024年2月25日，星期天八、T形截面受弯构件

2.正截面承载力的简化计算方法截面设计xfyAsM

1fch0Asbf’bhf’h0as按bf’×h单筋矩形截面进行设计I类T形截面第72页,共85页，2024年2月25日，星期天八、T形截面受弯构件

2.正截面承载力的简化计算方法fyAs1Mu1xh0

1fcAs1h0basxfyAs2h0As2(bf’-b)/2bhf’as(bf’-b)/2hf’Mf’h0

1fcII类T形截面与As’已知的b×h双筋矩形截面进行设计截面设计第73页,共85页，2024年2月25日，星期天九、深受弯构件的弯曲性能

1.基本概念和应用深受弯构件PPhl0第74页,共85页，2024年2月25日，星期天九、深受弯构件的弯曲性能

1.基本概念和应用转换层