2020-2021学年上海市杨浦区高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市杨浦区高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共4小题，共12.0分)

已知不等式归-懈上工成立的一个充分不必要条件是加”口，则实数懒的取值范围是()

A.电血：；的4—B.0<—

罢%

C.哪•<㈣或耀渐二D.

己知函数f(%)=•“去锹；“空嫄若/(2一。2)>f(Q),则实数Q的取值范围是()

2.

Q3瓦:一宏1，塞r0

A.(-00,-1)0(2,4-00)B.(-1,2)

C.(-2,1)D.(—8,-2)U(l,+8)

(lfx>0

定义符号函数sgzi%={o,x=0,则函数/(%)=/sgnx的图象大致是()

(-1,%<0

4.3、已知命题P：实数m满足加一1工0,命题q：函数j=(9—4m>是增函数。若pvq为真

命题，为假命题，则实数m的取值范围为

A.(1,2)B.(0,1)C.[1,2]D.[0,1]

二、单空题(本大题共12小题，共36・0分)

5.函数/(%)=%2-4%,%€［0,a］的值域是［-4,0］,则。的取值范围为

6,下列是函数/(%)(连续不断的函数)在区间［1,2］上一些点的函数值

X11.251.371.4061.4381.51.621.751.8752

/(X)-2-0.9840.260-0.0520.1650.6251.9852.6454.356

由此可判断：当精确度为0.1时，方程/(x)=0的一个近似解为(保留两位有效数字).

7.函数/(n)=-log7的定义域为.

2

8.设全集U=Z,集合4={x\x-x-2>0fxeZ}9则C〃1=(用列举法表示).

9.己知点(4,2)在幕函数y=/(%)的图象上，则不等式/(%)>2的解集为.

10.设函数/。)=钎+1，6(2)的定义域为[一瓦一(1]“£1,句,其中0<a<b.若函数f(x)在区间

[a,回上的最大值为6,最小值为3,则f(x)在区间[-瓦-a]上的最大值与最小值的和为.

11.使1。92%<%2<2、成立的自变量x的取值范围是.

12.若函数/(%)=sin3x+岛-1(x6[-2018,2018])的值域为口口，则a+b=.

13.设函数熊满是定义在R上的奇函数，且对任意嘉至霾都有激冠=，拆升阳,当需电G北够时，

颜减：=2的，则底?014—观：2014=_。

14.已知函数y=f(x)(x€R),对函数y=g(x)(xCR),定义g(x)关于/(x)的''对称函数”为函数

y=h(x)(xeR),y=h(x)满足:对任意％GR,两个点(x,/i(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若

h(x)是g(x)=44-中关于/'(%)=3x+b的“对称函数"，且/i(x)>g(x)恒成立，则实数b的

取值范围是.

15.下列5个判断：①若—2ax在[-1,+8)上增函数，则a=l；②函数/。)=2"-/只

有两个零点；③函数y=ln12+l)的值域是&④函数y=2M的最小值是1；⑤在同一坐标

系中函数y=2*与y=2-*的图象关于y轴对称.其中正确命题的序号是.

09

16.已知a=logi,i0.9,b=l.l,c=log070.9,则这三个数从小到大排列为.

三、解答题(本大题共5小题，共52.0分)

17.已知函数/'(%)=lg(l+2x)—lg(l-2x).

(1)证明:函数y=f(x)是奇函数;

(2)解不等式/(x)>0.

18.以保护环境，发展低碳经济为宗旨，某单位在国家科研部门的支持下进行技术改革，采用新公

益，把二氧化碳转化为一种可以利用的化工产品，已知该单位每月处理二氧化碳最少为400吨,

最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=之/-

200x-10000,且每月处理一吨二氧化碳该单位可得到价值为100元的可利用的化工产品.

(1)记每月处理双吨)二氧化碳该单位可以获得的利润为S(元)，试用S(元)表示成双吨)的函数，并写

出函数的定义域；(利润=可利用的化工产品德尔价值-成本)

(2)吐过丹迪政府对发展低碳经济的惬意给予专项奖励，每处理一吨二氧化碳给予160元专项奖励，

那么该单位每月处理多少吨二氧化碳使，才能使本单位在低碳经济的发展中获得处理二氧化碳

的最大经济效益？

19.(1)设尤21,y>1,证明x+y+=s—+—+xy；

‘帮席胖

(2)1<a<b<c,证明logab+log6c+logca<logba+logcb+logac.

20.已知四礴是定义在(0,+8)上的增函数，且满足翼璇仁.频喷出煲同“肺口=工

⑴求加卿I的值；⑵求不等式四减海曾夫踊次一㉚的解集.

21.已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔t(单位：分钟)满足：2StS20,t€N.经测算，电车

载客量p(t)与发车时间间隔t满足：p(t)=竹*一2(1°~02;？，其中tGN.

(4UU10WtWZU

(1)求p(5),并说明p(5)的实际意义；

(2)若该线路每分钟的净收益为Q=四产-60(元)，问当发车时间间隔为多少

时，该线路每分钟的净收益最大？并求每分钟最大净收益.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：试题分析：因为|耳:-叫y口鼻-卜耳:一硼熄"畿/嗑蟋瓯瞪，则其成立的一个充分不必要条

件，即为绝对值不等式的子集，可知即”二1包含于集合归-则《小，那么结合数轴法得到结论为

Iw-l<-¥

,>香；“㈣三懒E”，故选8.

I”

a.

考点：本试题考查了充分条件的运用。

点评：解决该试题的关键是能运用集合的思想，根据小集合是大集合成立的充分不必要条件的运用。

属于基础题。

2.答案：C

解析：试题分析：由已知条件，可知道函数/(x)在整个定义域内为增函数，因为/(2-。2)>/g),

所以2-a2>a,解得-2<a<1,故选C.

考点：1.分段函数；2.函数得到调性.

3.答案：B

(x2,x>0

解析：解：函数/'(%)=/sgnx=，0,%=0,

(^―x2,x<0

故选：B.

%2,%>0

根据新定义可得函数/(%)=/sgnx=<0,1=0，根据函数的单调即可判断

—x2,x<0

本题考查了新定义和函数图象的识别，属于基础题.

4答案:A

解析：解：由题意得：命题p：m<1

因为函数J=(9-4加厂是增函数，所以9—4m>1,解得：m<2

所以命题q：m<2

因为pvq是真命题，尸是假命题，所以命题p,q一真一假

若p真q假，则nt解；若p假q真，贝故选A.

5.答案：［2,4］

解析：解：•.・函数/(x)=/一人的图象是开口方向朝上，以直线x=2为对称轴的抛物线；

在区间［0,2］上是减函数，在［2,+8)上是增函数，

且f(0)=f(4)=0,f(x)min=f(2)=-4,

若定义域为［0,a］,值域为［-4,0］,

则2<a<4

故答案为：［2,4］.

由已知函数的解析式，我们可以判断出函数图象的形状，单调性及最值，根据函数/(久)=M-4x,

x6［0,。］的值域是［-4,0］,易结合二次函数的图象和性质得到答案.

本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知条件确定二次函数的图象和性质，是解答本题

的关键.

6.答案：1.4

解析：解：由所给的函数值的表格可以看出，

在x=1.406与x=1.438这两个数字对应的函数值的符号不同，

即/'(1.406)/(1.438)<0,

二函数的零点在(1.406,1.438)上，

故当精确度为0.1时，方程f(x)=0的一个近似解为1.4

故答案为：1.4

由表格可得,在％=1.406与x=1.438处对应的函数值的符号不同，BP/(1.406)/(1.438)<0,根据

零点判定定理可得零点的位置.

本题考查函数的零点的判定定理，解题的关键是看清那两个函数值之间符号不同，属基础题.

7.答案:(0,4］

解析：

本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题.

由根式内部的代数式大于等于0,然后求解对数不等式得答案.

解：由2-log2X20,得log2xW2,解得0<xW4.

函数/(工)-log",的定义域为

故答案为：(0,4］.

8.答案：{0,1)

解析：解：由集合4中的不等式/—%—220,因式分解得:

(x-2)(x+1)>0,

可化为:{":怒:或仔二票

<-%+1>0lx+1<0

解得：x>2或x<-1,

［A={久|%22或xW-1,且x6Z},又全集U=Z,

•••CyA={x［—1<%<2,且x6Z)=［0,1}.

故答案为：{0,1)

求出集合4中一元二次不等式的解集，确定出集合4根据全集(7=2,求出集合4的补集，找出补集

解集中的整数解，列举出集合4的补集即可.

此题考查了补集及其运算，以及一元二次不等式的解法，做题时学生注意审清题意，求补集时注意

全集的范围.

9.答案：［4,+8)

解析：解：设基函数的解析式为"X)=xa,

由嘉函数f(x)的图象过点(4,2),得2=4%

解得：a=

所以/'(X)=Vx；

所以f(x)的定义域为［0,+8),且单调递增；

故/'0)22,即日22,解得：X>4,

故不等式的解集是［4,+8),

故答案为：［4,+8).

设出幕函数的解析式，求出函数的解析式，得到关于x的不等式，解出即可.

本题考查了求察函数的解析式问题，考查不等式问题，是一道基础题.

10.答案：一5或9

解析：解:令g(x)=%a,定义域为［一比一a］U［a,b］,则

•••函数/'(x)=X。+l(aGQ)在区间［a,0上的最大值为6,最小值为3,

g(x)=x。在区间［a,b］上的最大值为5,最小值为2,

若g(x)=x。是偶函数，则g(x)=/在区间［-瓦-团上的最大值为5,最小值为2,.•.函数f(x)=X。+

l(a€Q)在区间［-仇-可上的最大值为6,最小值为3,最大值与最小值的和9；

若g(x)是奇函数，则g(x)=针在区间［一仇一团上的最大值为一2,最小值为-5,.••函数/(%)=

X。+l(a6Q)在区间［一比一可上的最大值为一1,最小值为一4,最大值与最小值的和一5；

f(x)在区间［-b,-a］上的最大值与最小值的和为-5或9

故答案为：一5或9.

令g(x)=%a,定义域为［—仇—a］U［a,b］,g(x)=%。在区间［a,b］上的最大值为5,最小值为2,再分

类讨论，即可得到结论.

本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用募函数的性质是关

键.

11.答案：0<x<2,或x>4

解析：解：由条件知久>0,

由图可知：

当0cx<2时，y=log2%,y=x2,y=2*三个函数的图

象依次从下到上排列，

二10g2X</<2",成立.

又当x=4时，42=24,

y-x2,y=2才函数的图象在x=4时相交，

根据这三个函数的图象可知，

2X

当x>4时，log2x<x<2

二使不等式log2%<久2<2”成立的自变量x的取值范是：0<生<2,或久>4,

故答案为：0cx<2,或x>4.

分别作出三个函数的图象，利用数形结合即可求出自变量的取值范围.

本题考查对数函数的图象与性质、指数函数的图象、事函数的图象，利用数形结合是解决本题的关

键.

12.答案：0

解析：解：函数/'(x)=sin3x+一1=siJi3x+沼^.

由/'(-x)=sin(-3x)+工^0-(sin3x+察)=-/(x).

可知/'(x)是奇函数，

它在％G[-2018,2018])上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0.

a+h=0,

故答案为：0

利用函数的奇偶性求解x6[-2018,2018]的最值，可得a+b.

本题考查函数的奇偶性，属于函数函数性质应用题，较容易.

13.答案：L

2

解析：试题分析：根据题意，由于函数.非：蹴是定义在R上的奇函数，且对任意第德索都有

,我磁=暮'#硼:，可知周期为4,那么可知/(2012)=/(0)=0,同时f(2013)=f(1)=-f(-l)=

--故答案为L。

22

考点：函数的奇偶性函数的周期性

点评：解决的关键是将大变量转化为已知区间的函数值，结合函数的解析式求解得到。属于基础题。

14.答案：(2国+8)

解析：解：根据“对称函数”的定义可知，幽13三

2

即九(%)=6%+2b—V4—%2,

若九(%)>g(%)恒成立，

则等价为6%+2b—V4—x2>V4—%2,

即3x+b>，4一%2恒成立,

设V1=3%+b,y2=-干2,

作出两个函数对应的图象如图，

当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=袅=

罂=2,

Vio

即|b|=2"U，

•••b=2A/TU或—舍去)，

即要使九(%)>g(x)恒成立，

则b>2同,

即实数b的取值范围是(26。+8),

故答案为：(2-/10,+oo)

根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论.

本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决

本题的关键.

15.答案：④⑤

解析：解：①若就减=/-融毓,在［T,+8)上增函数，a<-1；

②在同一坐标系中作出窜=蜜“9=3?,有三个交点，即函数有三个零点；

③因为一(«胃逆工，所以值域是［0,+8);

④因为忖空娜，所以罗=镇的最小值是1：

⑤用_'冢代替?=室中的第:，图象关于〃轴对称.

故答案为④⑤.

16.答案：a<c<b

0,9

解析:解:*•,a=logltl0.9<0,b=l.l>1,c=log070.9<log070.7=1,

­­a<c<b.

故答案为：a<c<b.

利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.

17.答案：(1)证明：解得一

IJL—LX>U//

所以函数y=/(x)定义域(一表》，关于原点对称，

又因为/(r)=lg(l-2x)-lg(l+2x)=-/(%),

所以函数y=f(x)是奇函数；

(2)解：即lg(l+2x)-lg(l-2x)>0,

BPlg(l+2x)>lg(l-2x),

•，-1+2x>1—2.x,且%解得：0<x<5，

所求不等式解集为｛x|0<x<i］.

解析：(1)根据对数函数的真数大于0可求出函数的定义域，然后利用奇函数函数的定义进行判定即

可；

(2)根据对数函数的单调性，建立不等式，结合函数的定义域可求出所求.

本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及对数不等式的解法，同时考查了学生的运算求解能力，属

于基础题.

18.答案：解：(1)由题意，

S=100x-(|x2-200x-10000)

=-|x2+300x+10000,

函数的定义域为[400,600]；

(2)设该单位在低碳经济的发展中，获得处理二氧化碳的最终利润为〃元)，

则L=S+160x

=--x2+300%+100004-160x

2

=--x2+460x+10000,

2

=-i(x-460)2+205800；

故当x=460e[400,600]时,L有最大值205800；

故该单位每月处理460吨二氧化碳时,才能使本单位在低碳经济的发展中获得处理二氧化碳的最大经

济效益205800元.

解析：(1)由题意，写出S=100%-(12-200%一10000)=一)2+300%+10000并函数的定义

域为[400,600]；

(2)设该单位在低碳经济的发展中，获得处理二氧化碳的最终利润为L(元)，则/,=5+160%,配方求

最值.

本题考查了函数在实际问题中的应用及配方法求最值，属于中档题.

19.答案：(1)见解析(2)见解析

解析：(1)由于xNl,y>1,

要证》+yd-----<—+-+xy,

蹄需胖

只需证+y)+14y+x+(xy)2.

因为[y+%+(xy)2]一[%y(x+y)+1]

=[(xy)2—1]—\xy(x4-y)—(x+y)]

=(xy+l)(xy—1)—(%+y)(xy—1)

=(xy—l)(xy—x—y4-1)

=(xy-l)(x-l)(y-1).

由条件x21,y>1>得(xy—l)(x—l)(y—1)20,

从而所要证明的不等式成立.

』』

(2)设logab=x,log6c=y,由对数的换底公式得logcd=—,logba=一,\ogcb=—,logac=xy.

于是，所要证明的不等式即为x+y+二±t+-+xy.

'敏雷般

其中x