2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-强化练6 离心率及其取值范围

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

专题强化练6离心率及其取值范围

22

1.（2022辽宁沈阳重点高中联合体月考）已知件尸2是椭圆C:=+2=l（a>b>0）的

左、右焦点，点M是过原点0且倾斜角为60°的直线1与椭圆C的一个交点,且

IMF^+MFl|=|丽-丽则椭圆C的离心率为（）

A.1B.2-V3

C.V3-1D.—

2

22

2.（2022河南中原名校联考）若双曲线巳-£=l（a>0,b>0）的右支上到原点和右焦

azbz

点距离相等的点有两个,则双曲线离心率的取值范围是（）

A.e>V2B.1<e<V2

C.e>2D.Ke<2

22

3.（2022四川南充阖中中学期中）设A,B是椭圆C:J+匕=l（m>0）的长轴的两个端

3m

点，若C上存在点M满足NAMB=120。，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

过

3B・3）

o,

O,

V6一

3

4.（2021四川凉山州宁南中学月考）设Fi,F2为椭圆G与双曲线C2的公共的左、右

焦点,G,C2在第一象限内交于点M,△MFFz是以线段MF1为底边的等腰三角形,若双

曲线C的离心率ee[|,4],则椭圆G的离心率的取值范围是（）

22-乙-ei

」

I

5.已知双曲线C:马—*1（a>0,b>0）的左焦点为Fi,若直线l:y=kx,k£俘，网与

azbzL3J

双曲线C交于M,N两点,且MFiXNFu则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A.(1,2)B.[V2,2)

C.[V2,V3+1]D.(2,V3+1]

22

6.(2022江西南昌大学附属中学期中)已知椭圆C:三+2=1(a>b〉O)的左、右焦点

砂bz

分别为Fi,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得AFF2P为等腰三角形,则椭圆

C的离心率的取值范围是

22

7.已知双曲线a-^=l(a>0,b>0)的右焦点为F,左顶点为C,过点F作x轴的垂线

交双曲线于A,B两点,若4ABC为直角三角形,则双曲线的离心率为.

8.已知Fi,Fz为椭圆G和双曲线C2的公共焦点,P为G和C2的一个公共点，且

人即苫,椭圆3和双曲线C2的离心率分别为e1,e2,求e1•e2的最小值.

22

9.(2022福建泉州科技中学期中)已知点Fi,F2分别为双曲线与-^=l(a>0,b>0)的

azbz

左、右焦点，过F2的直线交双曲线于A,B(点A在点B的上方)两点，且

AFi±AB,|AFjAB|=3：4,求该双曲线的离心率.

22

10.(2022黑龙江齐齐哈尔五校期中联考)已知椭圆Cj+9=l(a>b>0)的长半轴

azbz

长为2.

(1)若椭圆C经过点(鱼，日),求椭圆C的方程；

(2)A为椭圆C的右顶点,B(l,0),椭圆C上存在点P,使得普=V2,求椭圆C的离

心率的取值范围.

答案全解全析

l.c不妨设M在第一象限.

将|丽+丽|=|丽-丽|两边平方后化简得丽•丽=0,

所以环耳，曲.

在RtAMFiF2中，|FR|=2c,0为FE的中点，

A|OM|=c.

XZM0F2=60°,OF2|=C,/.|MF2|=C,AiMFihVSc.

由椭圆定义可知IMF2|+1MF1|=c+V3c=2a,

•二离心率e=-=-^p=V3-l.故选C.

a1+V3

2.C设双曲线右支上一点坐标为(x,y),则xea.

•••该点到右焦点的距离和到原点的距离相等，，由两点间距离公式得

x?+y2=(x-c)*,.\x=|.',这样的点有两个，；.x>a,即e>2.

故选C.

3.B当椭圆的焦点在x轴上时,设上顶点为N,

则NANB2120。，.•.NAN0260°(。为坐标原点)，

.,.tanNANOeg,.,.更，遮，，而W1,.二。4，

7m

椭圆的离心率e上等£像，1).

av33J

当椭圆的焦点在y轴上时，同理,可得e£殍，1).

综上,e£殍,1)故选B.

4.C设椭圆的长轴长为25,双曲线的实轴长为2a2.

因为△MFF2是以线段MF1为底边的等腰三角形，所以IMF?|=|F1F2|=2c.

由椭圆的定义可得IMFi|+1MF2|=2ab即|MF1|+2c=2a1.

由双曲线的定义可得|MF】HMF2|=2a2,即|MF1|-2c=2a2.

c

双曲线C2的离心率e2=^^=.Je即式IMF1-2c)W2cW4(IMF1-2c),

2a2IMF±I-2cL22

所以IMFJq枭苧.

所以椭圆3的离心率ei=^^=—*故选C.

2al\MF11+2cL89J

5.C易得Fl(-C,0).设M(x,y),由题意有N(-X,-y),则

MF；=(-c-x,-y),NF；=(一c+x,y).

因为MF」NFi,所以丽・西=(-c-x)(-c+x)-y2=0,即x2+y2-c2.

22

因为M(x,y)在双曲线上，所以、方L

-1(d2(2c2-a2)

a2b2—2=------2-----,

由《x2+v2-c2解得《4；22,4

4zz4

\X~ry—C,I2_c-2ac+a

lb2=c2-a2,。=一一，

又M在直线y=kx上,ke[y,V3],

A22442

2-2ac+ae-2e+l

所以k^222整理得

X乙a(2c-a)

t4宗"解得2We?W4+2/或4-28/W(舍去),

le4-8ez+4<0,3

所以故选C.

6.D显然P是短轴端点时，IPF1UIPF2I,满足AFF2P为等腰三角形，因此由对称

性知四个象限内各有一个符合条件的点.

不妨设P(x,y)是第一象限内使得AFF2P为等腰三角形的点,

（百竺二

a2b2，

若IPF1|=F1F2I,则<//x2—2Q消去y并整理得c2x2+2a2cx-4a2c2+a4=o,

Jk%+c）+y/=2c,

<a2=b2+c2,

解得x=2上（舍去）或x=22.

cc

由0<x<a得0<-2^—<a,所以釜<1,即3e〈l.

（百丝二

a2b2'

222224

若IPF2|=IF1F2I,则<r、2—2Q消去y并整理得cx-2acx-4ac+a=0,解

J^x~c）+y/=2c,

<a2=b2+c2,

得x=j£或x=£*£（舍去）.

cc

由O〈x〈a得0〈贮卫〈a,所以乂々3即乂e〈±

c3a232

综上,e的范围是G，1）.故选D.

7.答案2

解析设F（c,O）,其中c2=a?+b2.

将x=c代入双曲线方程,得与寻,则y2=b2（4-i）=^,即Iy\=~，

az匕巳\az/aza

所以IAFI二匕.

a

由AABC为直角三角形及|AC|=|BC|,得NACF=45。，所以|CF|=|AF|,即a+c=-,即

a

c2-2a2-ac=0,所以e?-e-2=0,解得e-2（负值舍去）.

8.解析设椭圆G的长轴长为2电,双曲线C2的实轴长为2a%公共焦距为

2c,|PFi|=ri,IPF21=r2,且ri>r2,则ri+r2=2abri-r2=2a2,所以n=ai+a2,e=a「a2.

在△PFE中，|F1F2I2=r/+r/-2nr2cos/F1PF2,

22+a-a2_

即4c=(a1+2)(i2)2(ai+a2)(ai-a2)xZ=2a：+2ag_c^+a：=a#+

3胫,所以"+申=4.

由基本不等式得4=44^2U-4=—，当且仅当![=2,即e当,ez="时,等

比e27ele2el,e2M为22

号成立，

所以•0洛二.故•e2的最小值为”.

ei42ei2

9.解析设|AFi|=3m(m>0),则|AB|=4m,|BFi|=5m.

如图1,当A,B均在双曲线的右支上时，由双曲线的定义可

知，|AF21=3m-2a,|BF21=|AB-AF21=m+2a,BFiHBF21=5m-(m+2a)=2a,Z.m=a,

IAFi|=3a,IAF21=a.

在RtZkAFE中，由勾股定理可得4c2=9a2+a2=10a2,.*.e=-=—.

a2

图1图2

如图2,当点A在双曲线的左支上，点B在双曲线的右支上时，由双曲线的定义可

|BF21=5m-2a,

IAF2|=9m-2a,IAF21-1A