2022届全国高考模拟信息卷 数学（理）试题（一）

高考模拟信息卷01（理）

（本卷满分150分，考试时间120分钟。）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知集合4={。,刈/+9=1},集合B={（x,y）|y=|x|-1},则集合A口台的真子集的个数为

（）

A.3B.4C.7D.8

2.设复数z=l-6（i是虚数单位），则z+目的值为（)

A.372B.272C.1D.2

3.已知sina=26sin(a+半｝则cos2a=()

771

A.一一B.-C.一—D.-

9933

4.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数

学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影

响深远.若a>b>0,则下列结论错误的是()

A.-<-B.log((7-Z?)>0

ab2

ii,

C•存〉片D.3">3>

5.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为：，

则从A到区这部分电源能通

电的概率为()

—CZ3—CZD——

97929n97919A98029口98019

A・B•C・

100000100000100000•100000

6.一动圆尸过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=i6相切,则动圆圆心P的轨迹方程是

2222

A.----^=l(x.2)B.---乙=1(用，-2

412412

2222

C.土—匕=1D.匕—土=1

412412

7.若直角坐标平面内4、3两点满足①点4、3都在函数/（力的图像上；②点4、3关于原点

对称，则点（A3）是函数“X）的一个“姊妹点对”.点对（A,3）与（民A）可看作是同一个“姊妹点

%2+2尤（％<0）

对”，已知函数〃x）=2,、，则的“姊妹点对”有（）

京（20）

A.0个B.1个C.2个D.3个

8.运用祖瞄原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面

的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都

与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下

底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2）,用任何一个平行于底

面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.

22

现将椭圆工+匕=i绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3）,类比上述方法，运用祖

1636

9.如图，在一个凸四边形ABC。内，顺次连接四边形各边中点E,F,G,77而成的四边形是一

个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形.如图，现有一个面积为12的凸四

边形A5CZ）,设其对应的瓦里尼翁平行四边形为A用G2,记其面积为为，四边形为人用G2对

应的瓦里尼翁平行四边形为482G2,记其面积为生，…，依次类推，则由此得到的第四个瓦里

尼翁平行四边形484GA的面积为（）

43

A.1B.—C.—D.不确定

10.已知函数〃x）=cos（2x+“|小口爪x）=/（x）+¥r（x）为奇函数，则下述四个结论中

说法正确的是（）

A.tan=V3

B.〃司在［-。,。］上存在零点，则a的最小值为,

c.尸（X）在生）上单调递增

D./（x）在有且仅有一个极大值点

11.对于棱长为1的正方体ABCD-AAGR,有如下结论，其中错误的是（）

A.以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体；

B.过点A作平面片8。的垂线，垂足为点H,则A,"，G三点共线；

C.过正方体中心的截面图形不可能是正六边形；

D.三棱锥A-耳CR与正方体的体积之比为1：3.

12.锐角AASC的三边分别为。力,C,a=2bcos8,则f的取值范围是（）

b

[1,3)B.P2

D.[1,2)

7

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数y=/⑴的图象在点M（2"（2））处的切线方程是y=2x-8,则=

J⑴

22

14.如图，双曲线C:三-斗=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为F2,过F?作线段鸟尸与C交

cib

于点Q,且Q为尸名的中点.若等腰△尸耳❷的底边PF?的长等于C的半焦距，则C的离心率为

15.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意

一点，设向量m=2现+〃正贝！|彳+〃最小值为

16.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德•黎曼发现提出，在高等数学中

,、当尤=旦（。应都是正整数,旦是既约真分数〕，、

有着广泛的应用，其定义为：R（x）PP上若函数

0,当尤=0,1或［0,1］上的无理数

是定义在R上的奇函数，且对任意x都有“2-"+“力=0,当xe［0,l］时，/（x）=7?（x）,则

J（ln2）-/^=--------------•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知数列加“｝是公差不为0的等差数列，g=3,%%=

（1）求｛%｝的通项公式及«„的前”项和S”的通项公式；

（2）a=5+：+...+:,求数列也｝的通项公式，并判断a与々的大小.

did227

18.松山区教研室某课题组对“加强，语文阅读理解，训练对提高，数学应用题，得分率作用”这一课题

进行专项研究.为此对松山区某中学高二甲、乙两个同类班级进行“加强，语文阅读理解'训练对提

高，数学应用题，得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班

（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致,

试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数汝口表所示：

60分以下61〜7071〜8081〜9091〜100

甲班（人数）36111812

乙班（人数）48131510

现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.

（1）试分别估计两个班级的优秀率；

（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强，语文阅读理解，训

练对提高，数学应用题，得分率作用”有帮助？

优秀人数非优秀人数合计

甲班

乙班

合计

参考公式及数据：小3)(：益%("“),其中…”+c+d.

2

P（K>k0）0.400.250.150.1000.0500.0250.010

k。0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

19.如图，四棱锥ST3c。的底面是正方形，SOI5?®ABCD,SD=2a,AD=6a点、E是SD

上的点，且DE=2a(0</lW2)

(1)求证：对任意的九w(0,2],都有AC,鹿

(2)设二面角C—AE—O的大小为。，直线BE与平面A5CZ)所成的角为,，若sin*=cos。,

求2的值

22

20.已知椭圆\+%=l(a>6>0)的左焦点尸在直线3x-y+3忘=0上，且a+6=2+0.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线/与椭圆交于A、C两点，线段AC的中点为M,射线MO与椭圆交于点P,点。为AR4c

的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.

21.已知函数〃x)=2xlnx-依2_2彳+/(。>0)在其定义域内有两个不同的极值点.

(1)求”的取值范围；

(2)设/'(x)两个极值点分别为xi,xi,证明：Jxj>e.

选做

[X=­0t

22.在直角坐标系xOy中，已知直线/的参数方程为2(t为参数).以原点。为极点，X轴

y=1+—/

12

的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为02cos2。=1,直线/与曲线C交于48两

点.

⑴求|A却的长；

⑵若点P的极坐标为,求A3中点/到尸的距离.

23.设函数/(x)=|尤-2|+2x-3,记/(x)4-l的解集为

(I)求M；

(II)当xeM时,证明：x[/(x)]2-x2/W<0

高考模拟信息卷01(理)

(本卷满分150分，考试时间120分钟。)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知集合4={(兑刈f+/=1},集合B={®刈则集合APB的真子集的个数为

()

A.3B.4C.7D.8

答案：C

2.设复数z=l-0i(i是虚数单位)，贝！J|z+W的值为()

A.3也B.2A/2C.1D.2

答案：D

3.已知sina=2&sin]a+S）,则cos2a=（）

71

A.D.

93

答案：A

4.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数

学家哈利奥特首次使用“v，，和“〉，，符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影

响深远.若a>b>0,则下列结论带送的是()

A.-<-B.log(^-Z?)>0

ab2

ii,

C.”>按D.3">/

答案：B

5.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为：，则从A到3这部分电源能通

电的概率为()

CZJ—GZD——1

97929979199802998019

------B.------

100000100000100000100000

答案：A

6.一动圆P过定点加(-4,0),且与已知圆N:(x-4尸+:/二房相切，则动圆圆心产的轨迹方程是

22

A.---上=1（总2）B.---&=1（苍，-2）

412412

答案：C

7.若直角坐标平面内4、5两点满足①点4、3都在函数/(x)的图像上；②点A、3关于原点

对称，则点(A3)是函数“X)的一个“姊妹点对”.点对(A3)与(民A)可看作是同一个“姊妹点

x2*4+2x(x<0)

对”，已知函数4%)=2/小，则/(%)的“姊妹点对”有()

小。)

A.0个B.1个C.2个D.3个

答案：C

8.运用祖瞄原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面

的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都

与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下

底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2）,用任何一个平行于底

面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.

22

现将椭圆31rl绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3）,类比上述方法，运用祖

眠原理可求得其体积等于（）

32兀

答案：C

9.如图，在一个凸四边形ABCD内，顺次连接四边形各边中点E,F,G,77而成的四边形是一

个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形.如图，现有一个面积为12的凸四

边形A5CZ）,设其对应的瓦里尼翁平行四边形为4瓦G。，记其面积为为，四边形为对

应的瓦里尼翁平行四边形为482G2,记其面积为生，…，依次类推，则由此得到的第四个瓦里

尼翁平行四边形484GA的面积为（）

43

A.1B.—C.—D.不确定

答案：C

10.已知函数,f（x）=cos（2x+e）"|<|^,尸（x）=〃x）+岑尸⑴为奇函数，则下述四个结论中

说法正确的是（）

A.tancp=^3

B."%）在［-々，句上存在零点，则。的最小值为弓

c.*X）在二，3上单调递增

D./（x）在有且仅有一个极大值点

答案：B

11.对于棱长为1的正方体48。-A耳G2,有如下结论，其中错误的是（）

A.以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体；

B.过点A作平面的垂线，垂足为点H,则A,"，G三点共线；

C.过正方体中心的截面图形不可能是正六边形；

D.三棱锥与正方体的体积之比为1：3.

答案：C

12.锐角AASC的三边分别为4c,a=2bcosB,则，的取值范围是（）

b

A.[1,3）B.[川

C.1夸D.[1,2）

答案：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数y=〃x）的图象在点“（2"（2））处的切线方程是y=2x-8,则%=.

答案：-2

22

14.如图，双曲线-斗=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为耳，F2,过F?作线段匕尸与C交

ab

于点Q,且Q为尸乙的中点.若等腰△尸耳❷的底边PF?的长等于C的半焦距，则C的离心率为

2+2万

答案:

7

15.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意

一点，设向量而=2麻+〃正贝!|彳+〃最小值为

答案：|

16.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德•黎曼发现提出，在高等数学中

,、,,当尤=应都是正整数，旦是既约真分数〕，、

有着广泛的应用，其定义为：R(x)pP上若函数”X)

0,当尤=0,1或［0,1］上的无理数

是定义在R上的奇函数，且对任意X都有〃2-力+〃力=0,当xe［0,l］时，/(x)=7?(x),则

加n"］)-------------•

答案:

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知数列｛““｝是公差不为0的等差数列，4=3,%.%=的二

(1)求｛可｝的通项公式及明的前”项和S,,的通项公式；

(2)2=5+：+...+:,求数列也,｝的通项公式，并判断"与々的大小.

di%27

解：(1)设。1=〃，公差为d,贝!Ja(〃+3d)=(a+d)2,解得d=〃=3,

所以4=3〃，Sn=———2.

2

71112<1111112rl

从而勿=)+行+……+-MJ=支一百

18.松山区教研室某课题组对“加强，语文阅读理解，训练对提高，数学应用题，得分率作用”这一课题

进行专项研究.为此对松山区某中学高二甲、乙两个同类班级进行“加强，语文阅读理解'训练对提

高，数学应用题，得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班

（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致,

试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数汝口表所示：

60分以下61〜7071〜8081〜9091〜100

甲班（人数）36111812

乙班（人数）48131510

现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.

（1）试分别估计两个班级的优秀率；

（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强，语文阅读理解，训

练对提高，数学应用题'得分率作用”有帮助？

优秀人数非优秀人数合计

甲班

乙班

合计

______W。)’_______,其中〃

参考公式及数据：K2==〃+b+c+d・

+》)(c+d)(〃+c),+d)

2

P(K>k0)0.400.250.150.1000.0500.0250.010

k。0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

解：（1）由题意可得：甲乙两班的人数均为50人，

甲班优秀人数为30人，优秀率为：亲=60%;

25

乙班优秀人数为25人，优秀率为：益=5。％.

（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，

优秀人数非优秀人数合计

甲班302050

乙班252550

合计5545100

,n(ad-bc^100x(30x25-20x25?

K2=----'、,~~--------=------------------«1.010<2.706.

(Q+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)50x50x55x45

故没有75%的把握认为“加强，语文阅读理解，训练对提高，数学应用题，得分率”有帮助.

19.如图，四棱锥ST3C。的底面是正方形，SD1TOABCD,SD=2a,缶点E是切

上的点，且OE=&?(0<；142)

AB

(1)求证：对任意的2eQ2],都有AC,鹿

(2)设二面角C—AE—O的大小为。，直线BE与平面A3C。所成的角为?，若sine=cos。，

求X的值

解：(1)证法：以。为原点，方可觉，丽的方向分别作为x,»z轴的正方向建立如图所示的

空间直角坐标系，

y

则D(0,0,0),A(^2a,0,0),8(伍,缶,0),C(0,缶,0),E(0,0,/La),

AC=(-垃a,y/2a,0),BE=(­/2a,-y/2a,Aa)

2

AC-BE=2a2—2a+0-4Q=0，

即AC±BE；

(2)由(1)得丽=(缶,0,-孙方=(0,缶,-而)屈=(-缶，-缶/Q).

设平面ACE的法向量为5=(九,y,z),则由n1EA,n±ECW

n•EA=0[V2x-2z=0

—，即/-，

n-EC=0Xz=0

取z=5/2，得〃=(，,、,A/2)«

易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为丽=(0,0,2a)与

DC=(0,^,0),/.sin^=^^=^_,cos^^-^=-^_.

sin0=cos0,即/j=/:<=>分=2.

，X+4v24+2

由于Xe(0,2],解得彳=忘,即为所求.

22

20.已知椭圆|y+2=l(a>b>0)的左焦点F在直线3x-y+3忘=0上，且°+6=2+夜.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线/与椭圆交于4、C两点，线段AC的中点为",射线MO与椭圆交于点P,点。为△R4C

的重心，探求△PAC面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.

a2-b2=2

解:(1):直线3x-y+30"=O与x轴的交点为(一夜,0),••c=A/2)••

a+Z?=2+

_22

解得a=2,6=0,.•.椭圆的方程为土+匕=1.

42

(2)若直线/的斜率不存在，则MO在x轴上，此时10H=a=2,因为点。为AR4c的重心，所

以|OM|=g=l,将|尤|=1代入椭圆方程，可得回一9]=手，即卜日，所以

S=\PM\-\AM\=3-^-=^~；

若直线/的斜率存在，设直线/的方程为丫=履+根，代入椭圆方程，

整理得(1+24尤2+4/巾%+2租2—4=0

设C(x2,y2),

。

ni1l4km2(m-2).(2m

贝^+j=一^，j，芳+%=左(%+%)+2，〃=17^.

1।乙K

由题意点。为AR4c的重心，设尸（x。,%）,贝［占+；+%=0,y+%=0,

所以=%=一（乂+%）=一^^，

22221+2左2

4km2m2.2

代入椭圆工+匕=1徨-------7+-------------------2T=1nHZ=

行(1+2左2/(1+2V)

422

\m\

设坐标原点0到直线/的距离为d,则d=

Jl+公

则APAC的面积S=；|AC|•3d

=1A/T7F|X1-X2|-3-J=L

-无21Ml

MX片

32012(1+2公)-1

2l+2k2

1+2/^__

2(1+2F)-

J1+2F3A/6.

=3A/2-

1+2/7T-

综上可得，“AC面积S为定值乎.

21.已知函数“尤）=2尤lnx-«x2-2x+/（a>0）在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求。的取值范围；

（2）设〃尤）两个极值点分别为xi,*2,证明：百元〉e.

解：（1）由题意得〃尤）的定义域是（。,+?）,

/(x)=2xlnx-ar2-2x+tz(«>0),

贝"(x)=21nx+2-2ax-2,令制x)=。，得Inx-5=。,

问题转化为方程Inx-⑪=。在（0,+?）上有2个异根,

令g（x）=lnx-办，问题转化为函数g（x）有2个不同的零点,

而g，(x)」_a=l"(无>0),

xx

a>0,当0<x<—时，g,x)>0,当x>—时，<。,

故g(x)在单调递增，在1，+力单调递减,

故g(X)的极大值为g=In-1,

又：当尤-0时，g(尤-oo,当x-*+oo时,又X)->YO,

于是只需g(x)的极大值大于零，即In：-1>0,故

即a的取值范围是[。，：,

(2)证明：由(1)可知xi,也分别是方程lnx-av=0的两个根,

即In玉=axx,lnx2=ax2,

\h.

设芯>%,作差得ln」x=a