2021年专升本高数复习资料

第一章极限和连续

第一节极限

［复习考试要求］］

1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点

处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，驾驭极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念,驾驭无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求

极限。

4.娴熟驾驭用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性

［复习考试要求］］

L理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关

系，驾驭推断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。

2.会求函数的间断点。

3.驾驭在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简洁命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学

第一节导数与微分

［复习考试要求］］

1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与尊性的关系,会用定义求函数在一点

处的导数。2.

会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.娴熟驾驭导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

4.驾驭隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。

5.了解高阶导数的概念。会求简洁函数的高阶导数。

6.理解微分的概念，驾驭微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。

第二节导数的应用

［复习考试要求］］

1.娴熟驾驭用洛必达法则求、"8-8”型未定式的极限的方法。

2.驾驭利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单

调性证明简洁的不等式。3.

理解函数极值的概念，驾驭求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会

解简洁的应用题。

推断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线

第三章一元函数积分学

第一节不定积分

［复习考试要求］］

1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，驾驭不定积分的性质。

2.娴熟驾驭不定积分的基本公式。

3.娴熟驾驭不定积分第一换元法，驾驭第二换元法（仅限三角代换与简洁的根式代换）0

4.娴熟驾驭不定积分的分部积分法。

5.驾驭简洁有理函数不定积分的计算。

第二节定积分及其应用

［复习考试要求］］

L理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件

2.驾驭定积分的基本性质

3.理解变上限积分是变上限的函数，驾驭对变上限积分求导数的方法。

4.娴熟驾驭牛顿-莱布尼茨公式。

5.驾驭定积分的换元积分法与分部积分法。

6.理解无穷区间的广义积分的概念，驾驭其计算方法。

7.驾驭直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成

的旋转体的体积。

第四章多元函数微分学

［复习考试要求］］

L了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续的概念。

3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，驾驭二元函数的一阶髓数的求法。驾驭

二元函数的二阶偏导数的求法，驾驭二元函数的全微分的求法。

4.驾驭复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。

5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。

6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简洁的实际问题。

第五章概率论初步

［复习考试要求］］

L了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事务的概念。

2.驾驭事务之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。

事务之间并（和）、交（积）、差运算的意义，驾驭其运算规律。

4.理解概率的古典型意义，驾驭事务概率的基本性质及事务概率的计算。

事务的条件概率；驾驭概率的乘法公式及事务的独立性。

6.了解随机变量的概念及其分布函数。

驾驭概率分布的计算方法。

8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。

第一章极限和连续

第一节极限

［复习考试要求］］

1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点

处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.

了解极限的有关性质，驾驭极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念,驾驭无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求

极限。

4.娴熟驾驭用两个重要极限求极限的方法。

［主要学问内容］］

（-）数列的极限

定义按一定依次排列的无穷多个数

>丫口…Y*，…

称为无穷数列，简称数列，记作{X},数列中每一个数称为数列的项，第n项x为数

nn

列的一般项或通项，例如

（1）1,3,5,..,（2nd）,..（等差数列）

（2）祥今（等比数列）

（3）（递增数列）

（4）1,0,1,0…小「.（震荡数歹3）

都是数列。它们的一般项分别为

（2n-l）,^^e

对于每一个正整数n,都有一个x与之对应，所以说数列｛x｝可看作自变量n的函数

nn

xn=f（n）,它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取123…一切正整数时，对应

而函数值就排列成数列。

在几何上，数列仅｝可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点xx,x，…x0

n1,23n,...

定义对于数列｛X｝，假如当n-8时，X无限地趋于一个确定的常数A,则称当n趋于

无穷大时，数列1/以常数A为极限，最称数列收敛于A,记作瞅3-

比如：0

*今••无限的趋向0

津,无限的趋向1

否则，对于数列仅｝,假如当n-8时，x不是无限地趋于一个确定的常数，称数列仅｝

nnn

没有极限，假如数列没有极限，就称数列是发散的。

比如：1,3,52n-l）,...1,0,1,

0r••1+（-0..,

数列极限的几何意义：将常数A及数列的项一依次用数轴上的点表示，若数列仅1

以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点x可以无限靠近点A,即点x与点A之百

的距离|x-A|趋于0。"""

n

比如：

汴2A无限的趋向0

出咛无限的趋向1

（二）数列极限的性质与运算法则

定理L1（惟一性）若数列仅｝收敛，则其极限值必定惟一。

n

定理1.2（有界性）若数列｛x｝收敛，则它必定有界。

n

留意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如：

1,0,1,0一忐有界:0,1

定理1.3（两面夹准则）若数列｛x｝,｛y｝,｛z｝满足以下条件:

nnnJ

(1)

(2)描%*=瞄S*=N,贝［J益才=y

定理14若数列｛x｝单调有界，则它必有极限。

n

3.数列极限的四则运算定理。

定理

\J-J法&”)=羯痔皤犬="0

(2)发&"丁)=弑e)・(躅%*)7・2

(3)当日时，吟SH

(三)函数极限的概念

1.当X-X。时函数f(x)的极限

(1)当x-x。时f(x)的极限

定义对于函数y=f(X),假如当X无限地趋于X时，函数f(X)无限地趋于一个常数

0

A,则称当x-x0时，函数f(x)的极限是A,记作

状包、或f(x)-A(当x—x时)

0

例y=f(x)=2x+l

x-*l,f(x)->?

x<lx—>1

A…3gSH8saa8-»3

Y…n?。•丽era丽…

x>lx—>1

入…3530)丁顿…田

Y…riinjrnm—>i

(2)左极限

当x-x。时f(x)的左极限

定义对于函数y=f(X),假如当X从x°的左边无限地趋于X。时，函数f(X)无限地趋

于一个常数A,则称当x-x0时，函葵f(x)的左极限是A：记作

会“4或f(XQ-O)=A

(3)右极限

当x-x。时，f(x)的右极限

定义对于函数y=f(X),假如当X从X。的右边无限地趋于X。时，函数f(X)无限地趋

于一个常数A,则称当X-X。时,函益f(X)的右极限是A：记作

端或f(Xo+O)=A

例子：分段函数

但Ix>0

E(X)=\0X=0一

|x+Ix<0IxJx'jnuYfxlI徜'(Y)

解：当X从。的左边无限地趋于0时f(x)无限地趋于一个常数1。我们称当X-0时,

f(x)的左极限是1,即有

&X£o的右边无限地趋于0时，f(X)无限地趋于一个常数-1。我们称当X-0时,

f(x)的右极限是-1,即有

X部\(%=骨(丫一力=]

■、㈤/融Mx)

图I

明显,函数的左极限面⑶右极限需”与函数的极限小*之间有以下关系：

定理当X-X0时，函数f(X)的极限等于A的必要充分条件是

x->W_x->W+

jrarjra;

反之，假如左、右极限都等于A,则必有近87。

咐=三21)

X—>1时f(X)T?

X/14加热=(工+：)(二严+|

X—>lf(x)->2

对吊函数3,g)，当X-1时，f(x)的左极限是2,右极限也是2。

图3

2.当x-8时，函数f(x)的极限

(1)当X-8时，函数f(x)的极限

y=f(x)x—>oof(X)—>?

y=f(x)=l+?

x—8f(x)=l+Ll

n->®x

|TIU(J+Y)=J

定义对于函数y=f(X),假如当x-8时，f(X)无限地趋于一个常数A,则称当x-

8时，函数f(x)的极限是A,记作

视眼或f(x)-A(当x-8时)

(2)当X-+8时，函数f(x)的极限

定义对于函数y=f(x),假如当x-+8时，f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x

一+8时,函数f(x)的极限是A,记作曲3

这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n-+8的n是正整数；而

在这个定义中，则要明确写出X-+8,且其中的x不一定是正整数，而为随意实数。

y=f(x)x—>+oof(x)x—>?

F

m+j

x—+8,f(x)=2+¥-2

'荷(3+6”3

例：函数f(x)=2+e-x,当x-+8时，f(x)—?

解：f(x)=2+e-x=2+T,x—+8,f(x)=2+

L2

所以留6+3=3

(3)当x-8时，函数f(x)的极限

定义对于函数y=f(X),假如当X--8时，f(X)无限地趋于一个常数A,则称当x

-8时,f(x)的极限是A,记作

窗nm

X-*-oof(x)->?

则f(x)=2+¥(x<0)

X—-8,-X—+OO

f(x)=2+"2

留6+警)7

彳列：函数工四)7+早往<0),当X--8时，f(X)—?

解：当X--8时，-X-+8

但尹¥一2,即有

荷($+W)7

由上述X—8,X—+8,X--8时，函数f(X)极限的定义，不难看出：X-8时(X)

的极限是A充分必要条件是当X-+8以及X--8时，函数f(X)有相同的极限A。例

如函数'剑储,当XT-8时，f(X)无限地趋于常数1,当X-+8时，f(X)也无限

地趋于同一个常数1,因此称当X-8时3若的极限是1,记作

*->co丫、

RB(l+p-I

其几何意义如图3所示。

f(X)=l+7

留(1+;)=】

X、

[呻(J+y)=]

1^(1+Y)=J

y=arctanx

x->-co3W-KOs

JTUJ9LCf9UX=--Jima.C(9UX=—

前axtsuY彳o

但是对函数y=arctanx来讲，因为有

x-»-«o3

Jim9LCf9UX=--

Uco5

jiingicfguY=-

即虽然当X--8时，f(X)的极限存在，当X-+8时，f(X)的极限也存在，但这两

个极限不相同,我们只能说，当X-8时，y=arctanx的极限不存在。

X)=l+7

X苻(1+标］

破(I+"

i^(i+Y)-i

y=arctanx

x->-co3W-KO3

JTUJ9LCf9UX=--JIWa.C(9UX=—

:JTIU贝0：911乂1、^^~^1~o

但是对函数y=arctanx来讲，因为有

n-^-co3x-»-Ko3

JIUJ9LCf9UX=--JTUJ9LCf3UX=—

即虽然当X--8时，f(X)的极限存在，当X-+8时，f(X)的极限也存在，但这两

个极限不相同，我们只能说，当X-8时，y=arctanx的极限不存在。

(四)函数极限的定理

定理1.7(惟一性定理)假如日存在，则极限值必定惟一。

定理1.8(两面夹定理)设函数通效力，㈤在点,。的某个邻域内(，可除外)满足条件：

1\/n\f°

(X)&⑶㈤,(N)呷R(Y)=pmN(x)=y

则有瑞飞(x)=yO

留意：上述定理及定理对…也成立。

下面我们给出函数极限的四则运算定理

定理假如需3)=▽需鼠Y)=R贝［］

,1\x-»Wx->W

(1)呷A(x)：i：W(x)l=呷、(公不呷双x)=Y：FQ

r\丫令0

(/J呷AG)R(x)l=(I皿(呷鼠X))=YR

x-»wg(x)jiw&(x)弋

(3)当需s—时，'皿西=嬴丁1时，

上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：

{1}闪71，1力1I…|・Rin

C\―w

（NJ1TBi'c•=C・口B

□）呷r\（Y）L=[pn\COL

用极限的运算法则求极限时，必需留意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存

在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。

另外，上述极限的运算法则对于3a的情形也都成立。

（五）无穷小量和无穷大量

1.无穷小量（简称无穷小）

定义对于函数，假如自变量X在某个变更过程中，函数依）的极限为零，则称在该变

化过程中，'3为无穷小量，一般记作心侬=。

常用希腊字母”，…来表示无穷小量。

定理函数、⑶以A为极限的必要充分条件是：

\仪）可表示为A与一无穷小量之和。

L温W）

【皿X（Y）=Y=X（x）=N+6

留意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变更趋势无限趋

于为零。

（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷

小量。

（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变更趋势紧密相关的。在不同的变更过程

中，同一个变量可以有不同的变更趋势，因此结论也不尽相同。

彳列女口：STm->0,cosx->:

5

X->0D2TUY振荡型发散版g

（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，"就越变越小，但

它不是无穷小量。

（5）无穷小量不是一个常数，但数"0"是无穷小量中惟一的一个数，这是因为需

2.无穷大量（简称无穷大）

定义；假如当自变量3a（或8）时，的确定值可以变得充分大（也即无限地增大），

则称在该变更过程中，\但为无穷大量。记作58=

留意：无穷大（OO）不是一个数值，"8"是一个记号，绝不能写成"或w

3.无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量之间有一种简洁的关系，见以下的定理。

定理在同一变更过程中，假如、⑸为无穷大量，则平为无穷小量；反之，假如3为

无穷小量，且\如。，则平为无穷大量。

当f无穷大

33无穷小

当一»\（Y）=j为无穷小

"平今一无穷大

4.无穷小量的基本性质

性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的

乘积是无穷小量。

HH1

Y

XT0'-T8

10Y

咿~叫=0

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。

5.无穷小量的比较

定义设0飞是同一变更过程中的无穷小量，即映-皿0=0。

（1）假如商=。则称”是比展高阶的无穷小量,记作一0;

（2）假如心…则称与乃同阶的无穷小量；

（3）假如芯r则称■与“为等价无穷小量,记为…；

（4）假如呷睛则称是比、较低价的无穷小量。当—。

x-»0Yx-»0

【皿>+Y=jpj（3+x）=3

WOYx-»0

即洛+、=1!皿¥+'）=0

X-»OXx—o

RB不-=I!B（J+x）=】

x+、T（Y-0）

等价无穷小量代换定理：

（X-»8）（丫->8）仆->8）

假如当时X-,EXTH飞均为无穷小量，又有CSs0飞f且吟存在,则吟=,。

WH飞均为无穷小

又有CR~dW

3=+.旦.&

Lu5Q

=呷&

[TW^=JTIU（^

这特性盲常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必需留意：等价无

穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。

常用的等价无穷小量代换有：

当I时，

sinx~x;tan~x;arctanx~x;arcsinx~x;

j-coax——?JU(J+X)~x：

(六)两个重要极限

1.重要极限I

重要极限I是指下面的求极限公式

X-»OX'10X1W0X

pin---------=TTiiu=jJIUJ----------------=j

2TUXf3U16X2IUX

=J

x->0XK->0CO2X

=TTIM----------JIUJ-----------

2IUXJ

x-»0XK-»0XC02X

puj---------=rim----------------------

f9UYaiuxj

不

y«kC2TUY=2TUT=Y

x->0Y-025TO1

[IIM----------------=JIUJ——=TJUJ=1

BX2IUX，J

这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。

其结构式为:瑞盖『

漏(工+»_2^

8IU(X3-J)

fX-JF(X+J)(X-J)

即砺尸=[皿(Y+J)・西飞-J)

fX-J

[IB---7-----r=J

2IU(X-J)

2.重要极限口

重要极限口是指下面的公式：

*8*

j™(j+y)u=6

I[B(J+])X=6

10

RB(J+。,=®

其中

其结构式为：

吃”0

HB(…⑼心⑺=6

重要极j限I是属于《型的未定型式，重要极限n是属于":'型的未定式时，这两个重

要极限在极限计算中起很重要的作用，娴熟驾驭它们是非常必要的。

(七)求极限的方法：1.

利用极限的四则运算法则求极限；

2.利用两个重要极限求极限；

3.利用无穷小量的性质求极限；

4.利用函数的连续性求极限；

5.利用洛必达法则求未定式的极限；

6.利用等价无穷小代换定理求极限。

基本极限公式

/n\fo

(I)=cINj呷X=Y。

(r、i

D)I，m7=0

(4)尚叫+@XI+74T+…*

7。4+4丫。+川乂。H----1■炉

例L无务小量的有关概念

(1)［9601］下列变量在给定变更过程中为无穷小量的是

A.呜"俎

C.皿J+、)(Y~0)D.g(YT3)筒C

发散

Y

YT0+'--->-Ko

7

B、-»0_；7-8RT0

I

YJ-3(乂+3)”->Y+3/、©

----=------------=—>3)—

D.Y-RY-RJJ

(2)［0202］当/寸i与x比较是A.

高阶的无穷小量B.等价的无穷小量C.

非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量

筒B

解:当2Q,皿*与X是

xfO'IU（J+Y）7

K->0XIOX

I皿丽西7ral7tB（I+Y）

*70x->0

=pmN（J+X）三=1矶pur（J+Y）J

=jus=］

极限的运算：

［0611］直段r—

-0

―ox+jnro（x+Do+J

»__jrm----------=-、〜-----------=-----------=—i

解：、产T能&+好7）。户一

［答案］-1

例2.（型因式分解约分求极限

（1）［0208r茨T—［答已

解：

一3—3(Y+5)(Y-5)XTJX+5st

呷■=pin---------=TIUJ----=-

%+xY(x+3)(x-5)x+32

一3%一寸

(2)［0621］计算…―［答］

—JY厂寸Xfj”-S)(x+5)st

角牟:四妙(2+D=3

例3.《型有理化约分求极限

―3X-5

(1)［0316］计算

—3x-5―30-5）（任+空）

解:即（午一邪）（小+气5）

J

X7J(x-5)(乍+龙)—5(金+卡)

=JTUJ-------------------------TTW—-----------------^=~

Y7JJ-t-3

(2)［9516p^a［答］许

E鹿入蕾（-―停卫+劭U+电

用牛：型,（A3^+J-2）（ASX+J+2）（AX-3+A3）

_e_3

一近一建

X7寸（A5x+J+3）

=nm,?----

5（A^-5+AS）

x一寸（、一6（伊+1+，

=-7、，1r

5（工一.）（午7+乍）

例4.当…时求翌的极限例］;

(1)［0308］回答=一

一般地，有

oo(w>板).

尚鹏1+■%+■••+，•世

U

<3%+«%H+-+<5t号,=闷'

0(«<*),

―8?、+、XT83+不1呻(3+y)=3

JTDJ--——=Tim——8

1%-7

『即(J-y)

例5.用重要极限I求极限

*-»0Y2）-2S（x）

।皿诉=r1皿而商=i

（1）［9603］下列极限中,成立的是

A/11f酝=1B1袅।

C族杀=Q9最『答］B

(2)［0006］阖符

赧睁!兰&*-高上」山

用牛.Siu(x-I)anj(x-D2iu(x-i)T

fX-JfY+Q

=TTUJ-----------.pm—

2TU(X-J)

"J

例6.用重要极限II求极限

„*->0

商（:+$一口即+1=，

2）78长（X），"盟°（I+*（Y））研八=目

即（】+丁1）=6半

（1）［0416］计算*筒

［解析］解一：令*V

X78、-»n

wo$-»o

蚂=I皿(I+必=pm[(I+D山

、I

wo

[1皿1+。+=%

xt-^x>Y

解二：道邛=I皿[(I+/]卜=[I皿(I+-)s]3

x-»8Y

即(J+a=%p

x->0

皿1+叫=、

[0306]

x->0

[0601]Rm(J+S=%

(2)[0118]计算就4

解:蝌-i氤-%-%

例7.用函数的连续性求极限

[0407]溜网J+飞）一筒0

1。

解:【呻河J+Q

*Y)=N(l+.),02=(3/

[皿丽+弋)=丽+0、)=0

例8.用等价无穷小代换定理求极限

[0317谭需[答]0

解:当X->03-CO2X〜视

Y

XTQY+2IUY3x->o1+aux

蜘=即一57PBo

例、

(1)[0307]设3MTt

则其x)在『的左极限入8=——

筒1

[解析]X(o-o)=部\(4=以(SX+I)=J

*->0+1。+

、(n+n)=PB\(竹=nxuiu(j+Y)=n

fcO2X*x>o

(2)[0406]设历卜、+『.厕描1(Y)=一[答口

[解析]X(o-o)=宣一\W=宣一('+J)=J

XTO+*T()+

\(O+O)=I皿=呷C02Y=J

,CS-mCCn+n”]

XT。

-JJttJ1(幻=]

例

(1)已知凤事二呗U常数”

［解析］解法—：而&+/+2）=0,即I+m,得工=7.

解法二：令0£—。0+母）=丫、+（母一1）、一枕

得仁二，解得“

解法三：（洛必达法则）

巩治每算3’即飞+g,得XT.

（2）若喝舄=?求a,b的值.

［解析卜型未定式.

当…时,可叫一07「1.

《+DY+?=8一J)(X+*)

__0—盗卬①一。(X-])(X+J)I+J

"T~曰[IB------------------=JIUJ-?,得

J7EY—(x-j)(x+»s)-J+*

即\；+DY+?=(X_J)(Y+2)='+#一?

所以—7.

X->QY

[0402]呼标

[0017]同辞1=8，贝Uk=,(答:In2)

［解析］1回78/

3^=P8=P53=3F5

）=8

前面我们讲的内容：

极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的

概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。

第二节函数的连续性

［复习考试要求］］

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关

系，驾驭推断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。

2.会求函数的间断点。

3.驾驭在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简洁命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

［主要学问内容］］

（-）函数连续的概念

1.函数在点x处连续

0

定义1设函数y=f（x）在点x的某个邻域内有定义，假如当自变量的变更量好（初

0

值为X。）趋近于o时，相应的函数的变更量,也趋近于0,即

邺荷［\例+vx）-\M=o

W->0、

JIJJJvh=o

则称函数y=f(x)在点x处连续。

函数y=f(x)在点x连媛也可作如下定义：

0

定义2设函数y=f(X)在点X。的某个邻域内有定义，假如当X-X0时，函数y=f(X)

的极限值存在，且等于X处的。函数值f(X)即0

007,

nilVx)=

定义3设函数y=f(x),假如匹则称函数f(x)在点x0处左连续；假如谢.w,

则称函数f(x)在点x0处右连续。由上述定义2可知假如函数y=f(x)在点x0处连

续，则f(x)在点x0处左连续也右连续。

2.函数在区间［a,b］上连续

定义假如函数f(x)在闭区间［a,b］上的每一点x处都连续，则称f(x)在闭区间［a,

b］上连续，并称f(x)为［a,b］上的连续函数。

这里，f(x)在左端点a连续，是指满足关系:瑞…,在右端点b连续，是指满足关

系:瑞…，即f(x)在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。

可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。

定义假如函数f(x)在点x0处不连续则称点X。为f(x)一个间断点。

由函数在某点连续的定义可知，若f(x)在点x0处有下列三种状况之一：

(1)在点x0处，f(x)没有定义；°

(2)在点x0处，f(x)的极限不存在;

(3)虽然在点X。处f(x)有定义，星”存在，但

福［X)八①)/

则点X是f(X)一个间断点。

,0

"T(x<5

叫「常则f(x)在

A.x=O,x=l处都间断B.x=O,x=l处都连续

C.x=O处间断，x=l处连续

D.x=O处连续，x=l处间断

解：x=0处，f(0)=0

\(0+0)=1^(X3-1)=0

响盟%W)wf(0+0)

x=0为f(x)的间断点

x=l处，f(1)=1

\(j+o)=jra/\(x)=1^(3-x)=I

(1+0)=f(1)

・•・f(X)在x=l处连续［答案］C

x=0

在x=0处连续，则k等于

A.0B.?CJ

分析：f(0)=k

\(o)=i时\(丫)

fxgx+i+s)寸

=皿一--=7

fx(他

:及H［答案］B

13'I.午+寸_3

例3［0209］设式不Y在x=O处连续，则2=

解：f(0)=eo=l

Vo+0)=商\(x)=I蒜(a+x)=。

\(O-0)=苗\(x)=inus,=j

•I•f(0)=f(0-0)=f(0+0)

•.a=l［答案］1

(二)函数在一点处连续的性质

由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续

函数的性质。

定理1.12(四则运算