专题十二：二次函数与圆有关的综合题（解析版）

专题十二：二次函数与圆有关的综合题典例分析例：（2021宜宾中考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则BF的长即为所求．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线表达式为y=a（x-2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a=，∴该抛物线的表达式为y=x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴当y=0时，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6，∴A（-2，0），B（6，0），∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，∴BE2=BC2+CE2，∴∠BCE=90°，∴△BCE是直角三角形；（3）如图，在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，

则BF的长即为所求．连接CP，∵CP半径，∴，又∵∠FCP=∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴，FP=EP，∴BF=BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF=CE，E（2，8），∴F（，），∴BF=【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．专题过关1、（2021广元中考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值：x…0123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作轴，垂足为F，的外接圆与相交于点E．试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）；；（2）；（3）是，1．【解析】【分析】（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用平移和找对称点方式，将的长转化为，再利用两点之间线段最短确定的最小值等于CE的长，加1后即能确定的最小值；（3）设出圆心和D点的坐标，接着表示出E点的坐标，利用圆心到B点的距离等于圆心到D点的距离，求出q和e的关系，得到E点的纵坐标，进而确定EF的长为定值．【详解】解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）设抛物线解析式为：，将点（0,3）代入解析式得：3=a+4，∴，∴抛物线解析式为：，顶点坐标．（2）由表格可知，抛物线经过点A（-1,0），C（0,3），如图3，将A点向上平移一个单位，得到，则∴四边形是平行四边形，∴，作关于MQ的对称点E，则∴，∴，当P、E、C三点共线时，最短，设直线CE的解析式为：，将C、E两点坐标代入解析式可得：，∴，∴直线CE的解析式为：，令，则，∴当时，P、E、C三点共线，此时最短，∴的最小值为．（3）是；理由：设，因为A、B两点关于直线x=1对称，所以圆心位于该直线上，所以可设的外接圆的圆心为，作，垂足为点N，则，由轴，∴，∵，且由表格数据可知∴，化简得：，∵点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即的长不变，为1．【点睛】本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等．2、（2021张家界中考）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点．

（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点的坐标及直线的表达式；（3）判断的形状，试说明理由；（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值．【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）【解析】【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标求出AB解析式即可；（3）根据二次函数对称性可知为等腰三角形，再根据O、A、B三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可；（4）根据题意可知动点的运动时间为，在上取点，使，可证明，根据相似三角形比例关系得，即，当、、三点共线时，取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．【详解】解：（1）二次函数的图象经过，且与轴交于原点及点∴，二次函数表达式可设为：将，代入得：解这个方程组得∵二次函数的函数表达式为（2）∵点为二次函数图像的顶点，∴，∴顶点坐标为：，设直线的函数表达式为，则有：解之得：∴直线的函数表达式为（3）是等腰直角三角形，过点作于点，易知其坐标为∵的三个顶点分别是，，，∴，且满足∴是等腰直角三角形（4）如图，以为圆心，为半径作圆，则点在圆周上，依题意知：动点的运动时间为在上取点，使，连接，则和中，满足：，，∴，∴，从而得：∴显然当、、三点共线时，取得最小值，过点作于点，由于，且为等腰直角三角形，则有，，∴动点的运动时间的最小值为：．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．3、（2021乐山中考）（3分）如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（）A．4 B． C． D．5【分析】设点P的坐标为（x，﹣x+6），由点P、A的坐标得，PA＝（6﹣x），则AN＝＝，由AB＝10＝BN+AN，得到10＝+2+x，进而求解．【解答】解：设⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，连接PM、PN，设圆的半径为x，则PN＝PM＝x，由题意知，OC＝AO＝6，则直线BA与y轴的夹角为45°，则CM＝MP＝x，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣x+6，则点P的坐标为（x，﹣x+6），由点P、A的坐标得，PA＝（6﹣x），则AN＝＝，∵⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，故BN＝BM＝BC+CM＝2+x，在Rt△ABO中，OA＝6，OB＝8，则AB＝10＝BN+AN，即10＝+2+x，解得x＝1，故点P的坐标为（1，5），将点P的坐标代入y＝ax2得5＝a，故选：D．【点评】本题为几何和函数综合题，涉及一次函数的性质、圆的切线的性质、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．4、（2021鞍山中考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题；动点型；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（，﹣）；（3）2≤t≤．【分析】（1）运用待定系数法将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求得答案；（2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标D（1，﹣4），由AE∥PD得△AEF∽△PDF，再根据△PDF与△AEF的面积相等，可得△AEF≌△PDF，故点F分别是AP、ED的中点，设E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），结合中点坐标公式建立方程求解即可；（3）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），过点O′作O′H⊥y轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∵AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），∴△AEF∽△PDF，设E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，S1＝S2，∴△AEF≌△PDF，∴AF＝PF，EF＝DF，即点F分别是AP、ED的中点，又∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），E（e，e+2），D（1，﹣4），∴由中点坐标公式得：，解得：m1＝0（与“AE∥PD”不符，应舍去），m2＝，∴t2＝，∴P（，﹣），E（，）；（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，则O′（，），OO′＝O′B＝，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM＝90°，O′H＝，O′M＝OO′＝，∴MH＝＝＝，∴t＝+＝，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，∵OB＝OC＝3，∴⊙O经过点C，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，则OM＝OB＝3，OE＝1，∵∠MEO＝90°，∴ME＝＝＝2，∴t＝2，综上所述，2≤t≤．5、（2020遵义中考）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）不存在，理由见解析；（3）⊙M的半径为，，，【解析】【分析】（1）已知抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作OM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N，根据△QCO是等边三角形，求得Q点坐标，再验证Q点是否在抛物线上；（3）分四种情况①当⊙M与y轴相切，如图所示，令M点横坐标为t，PM=t，将PM用t表示出来，列出关于t的一元二次方程，求得t，进而求得半径；②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示，令M点横坐标为m，因为PN=2MN，列出关于m的一元二次方程，即可求出m，同理③④种情况，进而求得⊙M的半径．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)∴解得∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3故答案为：y＝﹣x2+x+3（2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作QM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N∵△QCO是等边三角形，OC=3∴CN=∴NQ=即Q(,)当x=时，y＝﹣×()2+×+3=≠∴Q(,)不在抛物线上y＝﹣x2+x+3故答案为：不存在，理由见解析（3）①⊙M与y轴相切，如图所示∵y＝﹣x2+x+3当y=0时，﹣x2+x+3=0解得x1=-1，x2=4∴B(4,0)令直线BC的解析式为y=kx+b解得∴直线BC的解析式为令M点横坐标为t∵MP∥y轴，⊙M与y轴相切∴t=﹣t2+t+3-解得t=⊙M的半径为②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示令M点横坐标为m∵PN=2MN∴解得m=1或m=4（舍去）∴⊙M的半径为：③当与轴相切时，如图3：点与点重合时半径④当与轴相切时如图4：设，则，因解得，（舍去）半径综上所述：的半径为，，，【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，是二次函数的综合题，涉及了二次函数与几何问题，二次函数与圆的问题，其中考查了圆切线的性质．6、（2020荆州中考）如图1，在平面直角坐标系中，，以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO的延长线于C，连接AB，BC，过O作ED//BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D，且顶点为E，求此抛物线的解析式；点P是此抛物线对称轴上的一动点，以E，D，P为顶点的三角形与相似，问抛物线上是否存在点Q，使得，若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）抛物线的解析式为，存在，Q点的横坐标为或或或【解析】【分析】（1）证得OE是△ABC的中位线，求得点E的坐标，分别求得AB、AC、BC的长，利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，从而证明结论；（2）求得BC=OD=OA=，利用平行四边形的判定定理可证得四边形OBCD是平行四边形；（3）证明Rt△ODNRt△OEM，求得点D的坐标，利用待定系数法可求得此抛物线的解析式；分△PED△OAB和△DEP△OAB两种情况讨论，利用相似三角形的性质求得PE的长，再根据三角形的面积公式即可求得Q点的横坐标．【详解】（1）如图1，设AB与y轴交于点M，则AM=2，OM=1，AB=5，则OA=OC，∵OE∥BC，∴OE是△ABC的中位线，∴AE=AB=，BC=2EO，∴点E的坐标为(，)，ME=，OM=1，∴OE=，∴BC=2OE=，∵，是直角三角形，即，所以BC是半圆的O的切线；（2）四边形OBCD是平行四边形，由图知：BC=OD=OA=，∵OD∥BC，∴四边形OBCD是平行四边形；（3）①由（2）知：OD=OA=，E为AB的中点，过点D作轴，则DN//ME，∴Rt△ODNRt△OEM，∴，∴，∴，，∴点D的坐标为(，)，∵抛物线经过点D(，)，且顶点为E(，)，∴设此抛物线的解析式为，则∴，∴此抛物线的解析式为，即，如图，设抛物线对称轴交AC于F，由（1）知：∠AOE=∠ACB=90，∠AEF=90，∴∠OEF+∠AEO=90，∠A+∠AEO=90，∴∠OEF=∠A，∵以E，D，P为顶点的三角形与相似，∴分△PED△OAB和△DEP△OAB两种情况讨论，当△PED△OAB时，ED=OE+OD=，即，∴，∵，设点Q到PE的距离为h，∴，即，∴，∴点Q的横坐标为或；当△DEP△OAB时，ED=OE+OD=，即，∴，∵，设点Q到PE的距离为，∴，即，∴，∴点Q的横坐标为或；∴符合条件的Q点的横坐标为或或或．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用．7、（2020武汉中考）将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．（1）直接写出抛物线，的解析式；（2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；（3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点．【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2）【解析】【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；（2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况；（3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可．【详解】解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6．（2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，∵是等腰直角三角形，∴∠BOA=45°，又∵∠BDO=∠BAO=90°，∴点A、B、O、D四点共圆，∴∠BDA=∠BOA=45°，∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，∴是等腰直角三角形，∴DC=AC．∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，∴抛物线的对称轴为x=2，设点A的坐标为（x，x2-4x-2），∴DC=x-2，AC=x2-4x-2，∴x-2=x2-4x-2，解得：x=5或x=0（舍去），∴点A的坐标为（5，3）；同理，当点B、点A在x轴的下方时，x-2=-(x2-4x-2)，x=4或x=-1（舍去），∴点的坐标为（4，-2），综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）．（3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点，∴，∴x2-kx-6=0，设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF，∴xE+xF=k，∴中点M的横坐标xM==，中点M的纵坐标yM=kx=，∴点M的坐标为（，）；同理可得：点N的坐标为（，），设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0），将M（，）、N（，）代入得：，解得：，∴直线MN的解析式为y=·x+2（），不论k取何值时（），当x=0时，y=2，∴直线经过定点（0，2）．【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．8、（2020济宁中考）我们把方程(x-m)2+(y-n)2=r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x-1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐标系中,圆C与轴交于点A．B．且点B的坐标为(8．0),与y轴相切于点D(0,4)，过点A,B,D的抛物线的顶点为E．(1)求圆C的标准方程；(2)试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）相切，理由见解析【解析】【分析】（1）连接CD，CB，过C作CF⊥AB，分别表示出BF和CF，再在△BCF中利用勾股定理构造方程求解即可得到圆C半径以及点C坐标，从而得到标准方程；（2）由（1）可得点A坐标，求出抛物线表达式，得到点E坐标，再求出直线AE的表达式，联立直线AE和圆C的表达式，通过判断方程根的个数即可得到两者交点个数，从而判断位置关系.【详解】解：连接CD，CB，过C作CF⊥AB，∵点D（0，4），B（8，0），设圆C半径为r，圆C与y轴切于点D，则CD=BC=OF=r，CF=4，∵CF⊥AB，∴AF=BF=8-r，在△BCF中，，即，解得：r=5，∴CD=OF=5，即C（5，4），∴圆C的标准方程为：；（2）由（1）可得：BF=3=AF，则OA=OB-AB=2，即A（2，0），设抛物线表达式为：，将A，B，D坐标代入，，解得：，∴抛物线表达式为：，∴可得点E（5，），设直线AE表达式为：y=mx+n，将A和E代入，可得：，解得：，∴直线AE的表达式为：，∵圆C的标准方程为，联立，解得：x=2，故圆C与直线AE只有一个交点，横坐标为2，即圆C与直线AE相切.【点睛】本题考查了圆的新定义，二次函数，一次函数，切线的判定，垂径定理，有一定难度，解题的关键是利用转化思想，将求位置关系转化为方程根的个数问题.9、（2020德州中考）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段PA与PM的数量关系为________，其理由为：________________．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标……P的坐标……猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是________．验证：（4）设点P的坐标是，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点，，点D为曲线L上任意一点，且，求点D的纵坐标的取值范围．【答案】（1），线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）图见解析，抛物线；（3）见解析；（4）；（5）【解析】【分析】（1）由尺规作图的步骤可知，HG是AM的中垂线，结合中垂线的性质，即可得到答案；（2）根据第（1）的作图方法，得到相应点P的位置，即可求解；（3）用平滑曲线作出图象，即可；（4）过点P作轴于点E，用含x，y的代数式表示，，，结合勾股定理，即可得到答案；（5）连接，由题意得当时，在的外接圆上，弧所对的圆心