第06章 重点突破训练：实数的性质及应用-简单数学之2020-2021学年七年级下册同步讲练（解析版）（人教版）

第六章重点突破训练：实数的性质及应用典例体系（本专题41题25页）考点1：实数常规计算典例：（2020·邯郸市复兴区户村中学初一期末）计算：（1）（2）【答案】；．

【解析】解：原式；原式．

故答案为；．方法或规律点拨本题考核知识点：实数运算.解题关键点：熟记实数运算法则.巩固练习1．（2020·广东阳东初一期末）计算：．【答案】5－π【解析】解：＝－2＋4－π＋3＝5－π．2．（2020·辽宁西丰初一期末）计算：（1）（2）【答案】（1）2；（2）5【解析】解：（1）原式==2；（2）原式==53．（2020·莆田第二十五中学初一期末）计算：．【答案】【解析】原式．4．（2020·宁夏盐池初一期末）计算：【答案】2【解析】原式＝﹣2﹣+5+﹣1＝2．5．（2020·辽宁兴城初二期末）计算：【答案】-1【解析】解：原式===-16．（2020·南丹县八圩瑶族乡初级中学初一期中）计算：【答案】0【解析】解：==．考点2：自定义新运算典例：（2019·贵州安顺初一期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）=bc－ad．例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）=_______；（2）若有理数对（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，则x=_______；（3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数时，求整数k的值．【答案】（1）－5；（2）1；（3）k=1，﹣1，﹣2，﹣4．【解析】解：（1）﹣5（2）1（3）∵等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数,∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）（x﹢k）=5﹢2k,∴（2k﹢3）x=5,∴,∵k是整数,∴2k+3=±1或±5,∴k=1，﹣1，﹣2，﹣4．.方法或规律点拨定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.巩固练习1．（2020·金昌市金川总校第五中学初一期末）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．【答案】(1)7；（2）x1=3,x2=-7【解析】解：（1）4△3＝42－32＝16－9＝7.（2）（x+2）△5=0，(x+2)2－52=0，(x+2)2=52，x+2=±5，x1=3，x2=－7.2．（2020·河北邢台三中初一期末）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax＋2by－1，（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a·0＋2b·1－1＝2b－1．已知T（1，－1）＝－2，T（－3，2）＝4．（1）求a，b的值；（2）利用（1）的结果化简求值：（a－4b）（4a－3b）－（2a＋b）（2a－b）【答案】(1)；(2)【解析】解：(1)∵T(1,-1)＝－2，T(-3,2)＝4，∴解得：，故答案为：．(2)原式，将代入：原式，故答案为．3．（2020·江苏锡山初一期末）定义一种新运算“ab”：当a≥b时，ab=a+2b；当a＜b时，ab=a-2b．例如：3(-4)=3，．（1）填空：（-3）（-2）=；（2）若则x的取值范围为；（3）已知，求x的取值范围；（4）利用以上新运算化简：．【答案】（1）1；（2）；（3）或；（4）【解析】（1）∵，∴(-3)(-2)=-3-2×(-2)=1，

故答案为：1；（2）∵∴，解得：，故答案为：；（3）由题意可知分两种情况讨论：①，解不等式，得，解不等式，得，∴不等式组的解集为：；②，解不等式，得，解不等式，得，∴不等式组的解集为：；综上所述：x的取值范围为或；（4）∵==∴，∴．4．（2020·江苏省泰兴市济川中学初二期末）定义新运算：对于任意实数，、，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：（1）求，求的值；（2）若的值小于10，请判断方程：的根的情况．【答案】（1）1或-5；（2）有两个不相等的实数根【解析】解：（1）x⊕（﹣4）＝6；∴x的值为1或-5.（2）3⊕a＜10，3（3﹣a）+1＜1010﹣3a＜10a＞0，∵，所以该方程有两个不相等的实数根.考点3：实数与数轴典例：（2020·江苏镇江中考真题）（算一算）如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为，AC长等于；（找一找）如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点是这个数轴的原点；（画一画）如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（用一用）学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；②写出a、m的数量关系：．【答案】（1）5，8；（2）N；（3）图见解析；（4）①+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数，图见解析；②m＝4a．【解析】解：（1）【算一算】：记原点为O，∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴AB＝BC＝4，∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．所以点C表示的数为5，AC长等于8．故答案为：5，8；（2）【找一找】：记原点为O，∵AB＝+1﹣（﹣1）＝2，∴AQ＝BQ＝1，∴OQ＝OB﹣BQ＝+1﹣1＝，∴N为原点．故答案为：N．（3）【画一画】：记原点为O，由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，作AB的中点M，得AM＝BM＝n，以点O为圆心，AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，则点E即为所求；（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a．∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，则点G即为所求．+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．故答案为：m＝4a．方法或规律点拨本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系．巩固练习1．（2020·广西防城港初一期中）我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：(1)线段OA的长度是多少?(要求写出求解过程)(2)这个图形的目的是为了说明什么?(3)这种研究和解决问题的方式体现了的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)A．数形结合B．代入C．换元D．归纳【答案】(1)OA=；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.【解析】解：(1)OB2＝12+12＝2，∴OB＝，∴OA＝OB=(2)数轴上的点和实数是一一对应关系(3)这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．故选A.2．（2020·武汉七一华源中学初一月考）如图，点A表示，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2.5个单位到达点B，设点B所表示的数为m，且n+2.5的平方根是0．

(1)求m、n的值；(2)求𝑛−4−𝑚−1+的值．【答案】（1），；（2）．【解析】解：（1）∵点A沿数轴向右直爬2.5个单位到达点B∴，∵n+2.5的平方根是0，∴，即；（2）当，时，．3．（2020·四川三台初二期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简.【答案】-2a+b【解析】由图可知，，且，

所以，，

所以．4．（2019·浙江永康初一期末）如图，点是数轴上的两点，为原点，点表示的数是1，点在点的左侧，．（1）求点表示的数；（2）数轴上的一点在点的右侧，设点表示的数是，若点到，两点的距离的和是15，求的值；（3）动点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，设运动时间为秒，是否存在这样的值，使，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）-4；（2）6；（3）或3．【解析】（1）∵点表示的数是l，点在点的左侧，，∴点表示的数是；（2）根据题意得：，解得：，∴当点到两点的距离的和是15时，的值为6；（3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，①当点在点左侧时，，解得：；②当点在线段上时，，解得：；③当点在点右侧时，，∴此种情况不成立；综上所述，存在这样的值，使，的值为或3．5．（2020·湖北茅箭初二期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式-+|1-b|．【答案】-2a．【解析】由题意，可得a＜0＜b，且|a|＜1，|b|＞2，-+|1-b|=1-a-（a+b）+（b-1）=1-a-a-b+b-1=-2a．6．（2019·湖北房县初一期末）数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度、每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a，b满足|a－3|+（b－4）2=0．（1）请直接写出a=，b=；（2）如图1，若点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点N从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点．若MP=MA，求t的值；（3）如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t．当以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为94时，求此时点M对应的数．【答案】（1）a=3，b=4；（2）t=或

；（3）此时点M对应的数为12．【解析】（1）∵|a－3|+（b－4）2=0．∴a－3=0，b－4=0∴a=3，b=4（2）①点M未到达O时（0＜t≤时），NP=OP=2t，AM=3t，OM=10－3t，

即2t+10－3t=3t，解得t=②点M到达O返回时（＜t≤时），OM=3t－10，AM=20－3t，即2t+3t－10=20－3t，解得t=

③点M到达O返回时，即t＞时，不成立（3）①依题意，当M在OA之间时，

NO+OM+AM+MN+OA+AN=4t+3t+(10－3t)+7t+10+(10+4t)=15t+30=94，解得t=＞，不符合题意，舍去；②当M在A右侧时，NO+OA+AM+AN+OM+MN=4t+10+(3t－10)+(4t+10)+3t+7t=94，解得

t=4，点M对应的数为12答：此时点M对应的数为12．7．（2019·甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学初一期中）如图①,在直角三角形中，,则有,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的“勾股定理”．请利用上面的“勾股定理”，解决下面的问题:如图②，在三角形中,,求的长；如图③，线段垂直于数轴,,请在数轴上找出表示的点．【答案】；见解析【解析】解：；由可知，以为圆心长为半径画圆，交轴正半轴一点,这个点就是点；8．（2020·浙江东阳初一期末）教材中的探究：如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为，；（2）请你参照上面的方法，把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成一个正方形．①在图3中画出裁剪线，并在图4位置画出所拼正方形的示意图．②在数轴上分别标出表示数以及﹣3的点，（图中标出必要线段长）【答案】（1），；（2）①详见解析；②详见解析【解析】解：（1）由图可得，点A到原点的距离为：，点A在原点左侧，∴点A表示的实数为，由图可得，点B到原点的距离为：，点B在原点右侧，∴点B表示的实数为，故答案为：，；（2）如图所示：（3）表示数以及﹣3的点如图所示：考点4：实数运算与规律探究典例：．（2020·山西交城初二期中）观察下列式子变形过程，完成下列任务：（1）类比上述变形过程的基本思路，猜想的结果并验证；（2）算：.【答案】（1），验证见解析；（2）【解析】（1），验证：，，（2），，．故答案为（1），验证见解析；（2）方法或规律点拨本题考查算术平方根，根据题目给出的规律得出算术平方根的运算结果是解题的关键，运用了类比的思想方法．巩固练习1．（2020·吉林长岭初二期末）观察下列各式：①，②；③，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析．【解析】解：(1)(2)(3)故答案为(1)2．（2020·山东招远初三期中）阅读下列材料，并解答问题：①；②；③；④；……(1)直接写出第⑤个等式___________________________________；(2)用含n(n为正整数)的等式表示你探索的规律；(3)利用你探索的规律，求＋＋＋…＋的值．【答案】（1）；（2）=；（3）.【解析】（1）观察前4个等式，可知第⑤个等式是，故答案为；（2）观察可知等式左边是，右边是，所以用含n的等式表示为：=；（3）＋＋＋…＋=+++…+==.3．（2020·河北泊头初二期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，1＜＜2，于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题：（1）的整数部分是，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．（3）已知：90+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x++59﹣y的平方根．【答案】（1）5，﹣5；（2）2；（3）﹣13，13．【解析】解：（1）∵5＜＜6，∴的整数部分是5，小数部分是−5，故答案为：5，﹣5，（2）3＜＜4，5＜＜6，由题意可知：a＝﹣3，b＝5，所以原式＝﹣3+5﹣＝2；（3）10＜＜11，由题意可知：x＝100，y＝﹣10，所以原式＝100++59-（-10）=169，169的平方根为±13，所以平方根为﹣13，13．4．（2020·沭阳县修远中学初二月考）观察下列等式：回答下列问题：（1）化简：（无需化为最简二次根式）（2）化简：（为正整数）（3）利用上面所揭示的规律计算（无需化为最简二次根式）：【答案】（1）（2）（3）【解析】解：（1）；故答案为：；（2）；为正整数）；故答案为：；（3）．5．（2020·云南西山初三学业考试）观察下列等式：第个等式：第个等式：第个等式：第个等式：按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第个等式：_；（2）计算：．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）（2）6．（2020·全国初一课时练习）阅读下面的解答过程．计算：．解：因为，所以原式．根据以上解题方法计算：（1）________（n为正整数）；（2）．（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）（2）．（3）原式．7．（2020·湖南茶陵初二期末）观察下列各式及其验证过程：按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；针对上述各式反应的规律，写出用为任意自然数，且表示的等式，并说明它成立．【答案】;.【解析】解：验证：；，证明：．考点5：实数的实际应用问题典例：（2020·河南巩义初一期末）有一块正方形钢板，面积为16平方米．（1）求正方形钢板的边长．（2）李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由．（参考数据：，）．【答案】（1）4米（2）见解析【解析】解：（1）正方形的面积是16平方米，正方形钢板的边长是米；（2）设长方形的长宽分别为米、米，则，，，，，长方形长是米，而正方形的边长为4米，所以李师傅不能办到.方法或规律点拨本题考查了算术平方根的实际应用，灵活的利用算术平方根表示正方形和长方形的边长是解题的关键.巩固练习1．（2020·重庆綦江初二月考）（1）已知x=，求代数式x2+5x-6的值．（2）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．【答案】（1）；（2）AC=【解析】（1）解：当x=时，原式===；（2）解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10-x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x）2．解得：x=，即AC=．2．（2020·山西兴县初二期中）为了打赢湖北保卫战、武汉保卫战，4万多名医护人员逆行出征，约4万名建设者从八方赶来，并肩奋战，抢建火神山和雷神山医院．他们日夜鏖战，与病毒竞速，创造了10天左右时间建成两座传染病医院的“中国速度”！他们不畏风险，同困难斗争，充分展现团结起来打硬仗的“中国力量”，在建设过程中，有一位木工遇到了这样一道数学题：有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．（1）求剩余木料的面积？（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出_________块这样的木条．【答案】（1）6；（2）2【解析】（1）∵两个正方形的面积分别为和，∴这两个正方形的边长分别为和，∴剩余木料的面积为；（2）∵剩余木料的长为，宽为，且，，∴从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．3．（2019·重庆北碚西南大学附中初二月考）“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》书中被称为“铺地锦”具体步骤如下：①先画一个矩形，把它分成p×q个方格（p，q分别为两乘数的位数）在方格上边、右边分别写下两个因数；②再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数；③然后这些乘积由右下到左上，沿对角线方向相加，相加满