广东省中山市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(学生版+解析)

中山市高二年级2022-2023学年度第二学期期末统一考试数学试卷本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号(考号)填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验．经计算，则所得到的统计学结论是：有()的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A.2.5% B.1% C.97.5% D.99%2.要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是()A. B.C. D.3.6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有()A.36种 B.72种 C.144种 D.720种4.下列求导数计算错误的是()A. B.C. D.5.一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则白球个数的数学期望是()A. B. C. D.6.已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：甲：乙：丙：丁：若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.设，分别为等比数列，的前项和．若(，为常数)，则()A. B. C. D.8.下列关于数列的判断中正确的是()A.对一切都有B.对一切都有C.对一切都有，且存在使D.对一切都有，且存在使二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数的导函数的图象如图所示，则()A.为函数零点 B.为函数的极小值点C.函数在上单调递减 D.是函数的最小值10.已知，则()A B.C. D.11.已知等差数列的前n项和为，公差，则下列数列一定递增的是()A. B.C. D.12.设，下列结论正确的是()A. B.C. D.在，，…，中，最大三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为_________．14.某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中______次．15.若函数在区间上最大值为，最小值为，则实数__________．16.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是____________；若，则____________(用含n的代数式作答).四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.(1)求的值；(2)若展开式中的常数项为，求的值.18.已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：.19.已知各项均为正数等比数列满足，．(1)求的通项公式；(2)令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和．20.“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了两套测试方案，现各抽取100名员工参加两套测试方案的预测试，统计成绩(满分100分)，得到如下频率分布表．成绩频率方案0.020.110.220.300.240.080.03方案0.160180.340.100.100.080.04(1)从预测试成绩在的员工中随机抽取3人，求恰有1人参加测试方案的概率；(2)由于方案的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩与绩效等级优秀率，如下表所示：324154687480920.280.340.440.580.660.740.94根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，．(ⅰ)若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？(ⅱ)根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率为多少？参考公式与数据：(1)．(2)线性回归方程中，．(3)若随机变量，则，，．21.根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230概率其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多).(1)若，求和；(2)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等).①若希望增大，如何调控的值？②是否存在的值使得，请说明理由.22.已知函数.(1)当时，求的极值；(2)当时，证明：存在唯一极值点，且.

中山市高二年级2022-2023学年度第二学期期末统一考试数学试卷本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号(考号)填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验．经计算，则所得到的统计学结论是：有()的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A.2.5% B.1% C.97.5% D.99%【答案】C【解析】【分析】将的值与表中数据比较大小可知，由此确定出相应的把握有多少.【详解】因为，对照表格：，因为1－0.025＝0.975＝97.5%，所以有97.5%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”.故选：C.2.要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相关系数的含义,判断每个选项里的相关系数的绝对值的大小即可.【详解】当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关；，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小，故，因此线性相关最强的是A,故选：A3.6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有()A.36种 B.72种 C.144种 D.720种【答案】C【解析】【分析】利用捆绑法可求不同的排法.【详解】甲、乙、丙三人在一起，有种不同的排法，把甲、乙、丙看成一个整体，与其余的3个人混排，共有种不同的排法，故共有种，故选：C.4.下列求导数计算错误的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可.【详解】，A正确；，B错误；，C正确；，D正确.故选：B.5.一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则白球个数的数学期望是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，白球个数X服从超几何分布，再借助超几何分布的期望公式计算作答.【详解】依题意，取出3球中白球个数X为随机变量，，X服从超几何分布，所以白球个数的数学期望是.故选：B6.已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：甲：乙：丙：丁：若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】由甲乙两个有一个正确得的均值为，可得甲乙正确，然后由正态分布的性质判断丙丁．【详解】首先甲、乙中至少有一个正确，因此是的均值，从而甲乙两个均正确，，丙正确，而，丁错误．故选：D．7.设，分别为等比数列，的前项和．若(，为常数)，则()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】设，项和转换，求解即可【详解】由题意，设则故选：C8.下列关于数列的判断中正确的是()A.对一切都有B.对一切都有C.对一切都有，且存在使D.对一切都有，且存在使【答案】A【解析】【分析】利用均值不等式可得，结合二项式定理和裂项相消法可得.【详解】我们先证明一个不等式：.证明：要证，即证，即证：,由均值不等式可得.故不等式成立.我们再证明一个不等式：.证明：由二项式定理可得，而当时，，故，故.故A正确，BCD错误.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数的导函数的图象如图所示，则()A.为函数的零点 B.为函数的极小值点C.函数在上单调递减 D.是函数的最小值【答案】BC【解析】【分析】由图中与0的大小关系可得到函数的单调区间，再根据极值、零点和最值的定义判断各选项的正误即可得出答案.【详解】解：由的图象可知，在和上单调递增，在和上单调递减，所以为的极小值点，所以B，C均正确；是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.故选：BC.10.已知，则()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据条件概率公式、全概率公式、和事件公式可以判断答案.【详解】B选项：，对；C选项：,C对；A选项：由全概率公式得：,,A错；D选项：D对；故选：BCD11.已知等差数列的前n项和为，公差，则下列数列一定递增的是()A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式，利用数列单调性的概念，结合作差法即可判断.【详解】对于A，，，，则数列是递增数列，A正确；对于B，，∵，∴不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，B错误；对于C，，∵，∴不一定正实数，即数列不一定是递增数列，C错误；对于D，，故数列是递增数列，D正确．故选：AD．12.设，下列结论正确的是()A. B.C. D.在，，…，中，最大【答案】ABD【解析】【分析】采用赋值法，两式相加即可判断A；求出的通项求出可判断B；对多项式两边求导，令，可判断C；求出的通项知为正，为负，可判断D.【详解】令，所以①，令，所以②，所以①②得：，所以，所以A正确；，则的通项为：所以令，则，所以，令，则，所以，所以，故B正确；对两边同时求导，则，令，所以，所以C错误；由的通项知为正，为负，所以，，在，，…，中，最大，所以D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为_________．【答案】【解析】【分析】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以，由题意可求出，所以可求出．【详解】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以，所以，代入有：，解得：，，因为离散型随机变量X服从两点分布，所以.故答案为：.14.某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中______次．【答案】4【解析】【分析】易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中m次，于是，解出不等式即可得到答案.【详解】投篮命中次数，设最有可能命中次，则，，．最有可能命中4次．故答案为：4.15.若函数在区间上最大值为，最小值为，则实数__________．【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可求出函数的极小值，再求出区间端点处的函数值，即可求出函数的最值，即可得解.【详解】因为，所以，所以当时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，又，，，因为，所以，，所以，，则.

故答案为：16.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是____________；若，则____________(用含n的代数式作答).【答案】①.②.【解析】【分析】类比杨辉三角，根据“莱布尼茨三角形”的特点求解即可．【详解】由题意知，将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形为“莱布尼茨三角形”，观察表中数字，题中要求第8行第5个数，所以，，所以第8行第5个数为.由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和，∵，，，…，，，将上述各式相加，得，∴，.故答案为：；四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.(1)求的值；(2)若展开式中的常数项为，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据二项式系数的定义及组合数计算即可；(2)设二项式的展开式通项，待定系数计算即可.【小问1详解】因为前三项的二项式系数之和等于79，所以，解得或.因为，所以.【小问2详解】设的通项为，所以当时，，此时，常数项为，解得.18.已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；(2)设，，利用导数可求得单调性，结合可得单调性，得到，由此可证得结论.【小问1详解】，，又，所求切线方程为：.【小问2详解】设，则定义域为，，令，则，在上单调递增，又，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，即.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数几何意义求解切线方程、不等式的证明问题；本题证明不等式的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数求解函数的最值.19.已知各项均为正数的等比数列满足，．(1)求的通项公式；(2)令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和．【答案】(1)(2)3181．【解析】【分析】(1)设等比数列的公比为q，然后根据题意列出等式，进行联立即可得到，，即可求解；(2)先得到的前50项是由的前5项与的前45项组成，然后利用分组求和法即可求解【小问1详解】设等比数列的公比为q，由题意得，因为等比数列中，，所以，又，解得，所以，即的通项公式为．【小问2详解】由(1)知，因为，，所以的前50项是由的前5项与的前45项组成，记的前50项的和为，则．所以的前50项的和为3181．20.“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了两套测试方案，现各抽取100名员工参加两套测试方案的预测试，统计成绩(满分100分)，得到如下频率分布表．成绩频率方案0.020.110.220.300.240.080.03方案0.160.180.340.100.100.080.04(1)从预测试成绩在的员工中随机抽取3人，求恰有1人参加测试方案的概率；(2)由于方案的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩与绩效等级优秀率，如下表所示：324154687480920.280.340.440.580.660.740.94根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，．(ⅰ)若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？(ⅱ)根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率为多少？参考公式与数据：(1)．(2)线性回归方程中，．(3)若随机变量，则，，．【答案】(1)(2)(ⅰ)0.498；(ⅱ)0.1587【解析】【分析】(1)由古典概型概率计算公式求解即可；(2)(ⅰ)两边取对数得，即，利用所给一元线性回归方程公式求得的值，再将代入即可求解；(ⅱ)根据正态分布的性质求解即可.【小问1详解】由图表可得方案测试成绩在的员工的有人，方案测试成绩在的员工的有人，所以从预测试成绩在的员工中随机抽取3人，求恰有1人参加测试方案的概率.【小问2详解】(ⅰ)由题意两边取对数得，即，根据所给公式可得，又因为，，所以，即，故，当时，，即若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为.(ⅱ)由(ⅰ)及参考数据可得，，由即可得，解得，又，，由正态分布的性质得，即绩效等级优秀率不低于0.78的概率为0.1587.21.根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230概率其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多).(1)若，求和；(2)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等).①若希望增大，如何调控的值？②是否存在的值使得，请说明理由.【答案】(1)，；(2)①增加p的取值；②不存在，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据条件概率计算方法求