学案2：高中数学人教A版2019必修 第一册 《函数的概念》

3.1函数的概念及其表示

3.1.1函数的概念

【学习目标】

课程标准学科素养

1.理解函数的概念(重点、难点).1、直观想象

2.了解构成函数的三要素(重点).2、数学运算

3.正确使用函数、区间符号.3、数学抽象

【自主学习】

1.函数的概念

(1)函数的定义

设N,B是,如果对于集合/中的,按照某种确定的对应关系f,在集合6

中都有和它对应,那么就称f：/一方为从集合A到集合8的一个函数,记作.

⑵函数的定义域与值域

函数尸=/1(x)中，x叫做,A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫

做函数值的集合叫做函数的值域.显然，值域是集合8的.

⑶对应关系广：除解析式、图象表格外，还有其他表示

对应关系的方法，引进符号广统一表示对应关系.

注意：判断对应关系是否为函数的2个条件

①48必须是非空数集.

②/中任意一元素在8中有且只有一个元素与之对应.

2.函数的三要素

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：、和。

3.相同函数

值域是由和决定的，如果两个函数的定义域和相同，我们就称这两个函

数是同一函数.两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们相同的函数.

4.区间及有关概念

⑴一般区间的表示.

设a,6GR,且a〈6,规定如下：

定义名称符号数轴表示

1

[x\a£x0

_J____

闭区间abx

水U____

{x\开区间abx

半开半闭

[a,5)U____

{x\abx

区间

半开半闭

-J____

{x\a<xWb}(a,b]abx

区间

⑵特殊区间的表示.

定义R{x\x2a}{x\x>a\{x\xWa\{x\x<a\

符号

【小试牛刀】

判断正误（正确的打“J”，错误的打“X”）

⑴根据函数的定义，定义域中的一个X可以对应着不同的y.（）

⑵函数的定义域和值域一定是无限集合.（）

⑶函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.（）

⑷两个函数相同指定义域和值域相同的函数.（）

⑸广（x）=3x+4与/1（0=3t+4是相同的函数.（）

（6）函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应.（）

⑺函数f（2x—1）的定义域指2x—1的取值范围.（）

【经典例题】

题型一函数关系的判定

例1（1）若集合4{x10Wx<2},^={y|0<j<3},则下列图形给出的对应中能构成从〃到N

的函数f：AN的是（）

2

⑵下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？

①6把x对应到3x+l；②g：把x对应至U|x|+1；

③力：把X对应到;；④7:把X对应到

［跟踪训练］1设启{x1-2W后2},N={y\0Wj<2},函数y=f{x）的定义域为M,值域为N,

对于下列四个图象，不可作为函数尸Hx）的图象的是（）

题型二已知函数的解析式求定义域

求函数定义域的几种类型

⑴若/"（X）是整式，则函数的定义域是R.

⑵若/"（X）是分式，则应考虑使分母不为零.

⑶若F（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

⑷若广（X）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.

⑸若/"（X）是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义.

例2求下列函数的定义域.

3

⑴尸2+口；(2)y=\]x­2x—3；

2

(4)y=(^―1)°+

3

［跟踪训练］2求下列函数的定义域:

也0-*

(1)-A/一y-x+6.(2)y=

kl—3,

题型三函数相同

判断两个函数为同一函数的方法

判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相

同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.

注意：(1)在化简解析式时，必须是等价变形.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用

什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.

例3下列各组函数：

2

、X一X/、

①/'(X)=----,g(x)=x—l；

X

7\.=X

②/'(x)=X，g(x)^—；

③/V)=q(x+3)2,g(x)=x+3；

④/'(x)=x+l,g(A)=x+f;

⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系At)=80MOWtW5)与一次函数g(x)=80x(0Wx

W5).

其中表示相等函数的是(填上所有正确的序号).

［跟踪训练］3(1)与函数y=x—1为同一函数的是()

2

X—X

2

A.尸丁B.m=1)

4

C.y=x—xD.y=^/(l)3

(2)判断以下各组函数是否表示相等函数：

①f(X)=(/)1g(及)=*.

②/'(x)=第一2才一1；g(%)=#一2t一1.

题型四求抽象函数的定义域

两类抽象函数的定义域的求法

(1)已知/1(X)的定义域，求/1(g(x))的定义域：若/1(X)的定义域为［a,6］,则/1(g(x))中aW

g(x)Wb,从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域.

(2)已知/1(g(x))的定义域，求广(x)的定义域：若/1(g(x))的定义域为［a,b］,即求

得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为广(x)的定义域.

例4(1)设函数广5)=口，则广(x+1)等于什么？f(x+l)的定义域是什么？

(2)若函数y=f(x)的定义域是［0,+8),那么函数尸/1(x+1)的定义域是什么？

［跟踪训练］4已知函数/Xx)的定义域为［1,3］,求函数/'(2x+l)的定义域.

注意：定义域是x的取值范围，f(x)中的x与/'(2x+l)中的2x+l是相对应的.

例5⑴已知函数尸/1(x)的定义域为［-2,3］,求函数y=F(2x—3)的定义域;

(2)已知函数y=f(2x—3)的定义域是［-2,3］,求函数y=F(x+2)的定义域.

5

［跟踪训练］5(1)函数/<2x+l)的定义域为［1,3］,求函数f(x)的定义域.

(2)函数f(l—x)的定义域为［1,3］，求函数A2^+l)的定义域。

题型五求函数值及值域

求函数值的方法

①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.

②求九g(a)］的值应遵循由里往外的原则.

求函数值域常用的4种方法

①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；

③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,

便于求值域；

④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对

于f(x)=ax+6+、cx+d(其中a,b,c,d为常数，且aWO)型的函数常用换元法.

例6已知/1(x)=［］(x@R,且上-1),g{x)=x+2(x£R).

⑴求/1⑵,g⑵的值;(2)求f(g(3))的值.

［跟踪训练］6已知函数/V)=1.

⑴求”2)；(2)求/1(/U)).

6

例7求下列函数的值域：

（1）y=x+l,{1,2,3,4,5）；(2)y=x—2x+39[0,3)；

2x+1

(3)y=

x—3'

［跟踪训练］7求下列函数的值域:

⑴1；

/、5x-1

⑵尸产？

⑶y=Zx—y/x—l.

【当堂达标】

1.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

/-I

A.p=xT和尸x+]B.和p=l

7

/、(、疔i.m

c.F(x)=(X—1)2和g(x)=(x+l)2D-M=x和g(而=而

2.已知函数七)的定义域是[。,2],则函数扪)=瞽的定义域是()

A.[0,1]B.[0,1)

C.[0,1)U(1,4]D.(0,1)

3.下列函数中，值域为(0,+8)的是()

D.y=/+l

4.已知全集〃=R,4={x|l〈启3},贝此〃用区间表示为.

5.若函数f(x)的定义域是[0,1],则函数f(2x)+%+|)的定义域为

6..已知区间[—2a,3a+5],则a的取值范围为

7.设函数/1(x)=/—2x—1,若F(a)=2,则实数a=.

8.已知函数f(x)—x+x—1.

(1)求f(2),

⑵若f(x)=5,求x的值.

8

9.试判断函数y=yjx—1•在下!与函数尸勺(x+1)(x—1)是否相等，并说明理由.

10.已知函数尸)加2—6勿x+%+8的定义域是R,求实数力的取值范围.

【参考答案】

【自主学习】

1.非空的实数集任意一个数x唯一确定的数yy=f(x),A自变量x的取值范

围函数值{/'(x)|x©R}子集

2.定义域对应关系值域

3.定义域对应关系对应关系不是

4.[a,b](a,6)(―°°,+0°)[a,+°°)(a,+0°)(―°°,a](―00,a)

【小试牛刀】

(1)X(2)X⑶V(4)X(5)V(6)X(7)X

【经典例题】

例1(1)D[解析]A中的对应不满足函数的存在性，即存在xG弘但"中无与之对应的几

B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确.

⑵解①是实数集R上的一个函数.它的对应关系/•是：把x乘3再加1,对于任意x©R,3x

+1都有唯一确定的值与之对应，如当x=-1时，有3x+l=—2与之对应.

同理，②也是实数集R上的一个函数.

9

③不是实数集R上的函数.因为当x=0时，工的值不存在.

X

④不是实数集R上的函数.因为当木0时，、「的值不存在.

［跟踪训练］1C由函数定义可知，任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点，

结合选项可知C中图象不表示y是x的函数.

3

例2［解］(1)当且仅当x—2W0,即xW2时，函数y=2+—^有意义，所以这个函数的定

义域为｛x|x#2｝.

⑵要使函数有意义，需x2—2x—320,即(X—3)(x+l)20,所以x23或xW—1,即函数的

定义域为｛x|x23或后一1｝.

3—x20,

(3)函数有意义，当且仅当解得1W后3,所以这个函数的定义域为｛x|lW启

、才一1三0,

3).

Z—1W0,

(4)函数有意义，当且仅当〈三三0,

XI1解得x>—1,且#1,所以这个函数的定义域为

、x+lW0,

{x|x>—\且x^l}.

，x+l#0,

［跟踪训练］2⑴要使函数有意义,自变量x的取值必须满足2即

「x——x+6>0,

xy^—1,

即1解得一3W后2且#—1,即函数定义域为｛引一3

g+x-6W0,、(x+3)(x—2)W0,

W后2且#一1}.

’10-0,

⑵要使函数有意义，贝1J解得一，T5w后，15,且#±3,即定义域为｛x|一

」x|—3W0,

且XW±3｝.

例3⑤解析①广(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；②/"(X)与g(x)的解析式不同,

不是相等函数；③/1(x)=1x+3］,与g(x)的解析式不同，不是相等函数；④Hx)与g(x)的定

义域不同，不是相等函数；⑤丹。与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数.

10

[跟踪训练]3(1)D[解析]A中的x不能取0；B中的〃三1；C中的x不能取0；D化简以

后为尸3

(2)①由于函数/1(x)=(、&)2的定义域为｛RxN。｝，而g(x)的定义域为｛RxGR｝,它

们的定义域不同，所以它们不表示相等函数.

②两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示相等函数.

例4解(l)f(x+l)=,+1.令x+120,解得xN—1,所以/1(x+1)="\/x+l的定义域为[―1,

+°0).

(2)函数y=F(x)的定义域是[0,+8),所以令x+l>0,解得x>—l,所以函数y=F(x+l)

的定义域是[—1,+-).

[跟踪训练]4[解]因为函数F(x)的定义域为[1,3],即x£[l,3],函数F(2x+1)中2x+l

的范围与函数F(x)中x的范围相同，所以2x+lG[1,3],所以x©[0,1],即函数f(2x+l)

的定义域是[0,1].

例5解(1)因为函数y=F(x)的定义域为[-2,3],即xQ[—2,3],函数y=f(2x—3)中

2x—3的范围与函数尸/1(x)中x的范围相同，所以一2W2x—3W3,解得;W后3,

所以函数y=f(2x—3)的定义域为；，3.

⑵因为x©[—2,3],所以2x—3©[—7,3],即函数y=f(x)的定义域为[―7,3].

令一7Wx+2W3,解得一9W后1,所以函数y=F(x+2)的定义域为[―9,1].

[跟踪训练]5[解](1)因为x©[l,3],所以2x+l©[3,7],即函数f(x)的定义域是[3,7].

(2)因为函数/U—x)的定义域为[1,3],所以x©[1,3],所以1—X©[―2,0],所以函数f(x)

的定义域为[—2,0].

■311r3r

由2x+lG[—2,0],得xG--,所以/1(2x+l)的定义域为一万，—.

例6解(1)•••f(x)=占，AA2)=TT?=|.又：g(x)=*+2,/.5-(2)=22+2=6.

J--I-viJ.-I-乙O

(2),.X3)=32+2=ll,.•.f(g(3))=an)=jq^=卷.

［跟踪训练］6解(l)：f(x)==,.•.F(2)=U1=*

YLI乙乙""|~乙T：

11

3+1

/\/\1+125

(2)/-(1)=-=->AA1))

*8,

例7(1)(观察法){1,2,3,4,5},分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.

(2)(配方法)y=x*12—32x+3=(x—1尸+2,由x©［0,3),可得函数的值域为［2,6).

(3)(分离常数法)尸生岑=2(k3}7=2+二,显然工wo,...方2.

X—3X—3X—3X—3

故函数的值域为(-8,2)U(2,+°°).

(4)(换元法)

设则"J；"(〃>0),:+［=("；)(心0)

由uNO知(u+D'2l,.,.丁江:..,.函数尸x+.2x—l的值域为+°°1

乙乙,

［跟踪训练］7［解］(1)(观察法)•••/>(),...、6一12—1...J=/—1的值域为［—1,+8).

(2)(分离常数法)

5557

_5x—l/(4x+2)T—万,(4"2)一万_57

y―4x+2—4x+2—4x+2-2(4x+2)，

75［5

,户?•••函数的值域为引/平鼠-

乙-I-乙)仕A

(3)(换元法)设,^一1=t,

(1、1515

贝！J方>0,且x=F+l..*.y=2(t2+l)—^=2^2—z^+2=272+~^~.Vt^O,

<4)So

15\

故函数的值域为9，+°°J.

【当堂达标】

1.D［解析］A中的函数定义域不同；B中y=x°的x不能取0；C中两函数的对应关系不同.

2.B［解析］由f(x)的定义域是［0,2］知，{0W2xW2,