第一节数学期望

一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望四、小结第一节数学期望引例1

分赌本问题(产生背景)

A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?1.1数学期望的概念

A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局,AAAB

BABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAA

B

BABB因此,A能“期望”得到的数目应为故有,在赌技相同的情况下,A,B最终获胜的可能性大小之比为即A应获得赌金的而B只能获得赌金的因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X

的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:

设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下引例2

射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数k命中次数频率解平均射中环数设射手命中的环数为随机变量Y.平均射中环数频率随机波动随机波动随机波动稳定值“平均射中环数”的稳定值“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加1.离散型随机变量的数学期望关于定义的几点说明:

(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.

(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.

(3)由定义可知，取值非负的随机变量的数学期望必定非负.分赌本问题A期望所得的赌金即为X的数学期望射击问题

“平均射中环数”应为随机变量Y的数学期望（1）二项分布则有

设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为常见离散型分布的期望:两点分布b(1,p)的数学期望为p.=np(2)

泊松分布

则有(3)几何分布

2.连续型随机变量数学期望的定义定义1.2（1）指数分布

则有常见连续型分布的数学期望:（2）

均匀分布则有结论

均匀分布的数学期望位于区间的中点.（3）正态分布则有注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!若X为离散型随机变量，分布律为Y=g(X)为X的函数则Y的期望为（1）离散型随机变量函数的数学期望1.2随机变量函数的数学期望

1.一维随机变量函数的数学期望解:例5

求:（2）连续型随机变量函数的数学期望若X是连续型的,它的分布密度为f(x)则例6(教材P106例1.9，请记住结论!)

称为

概率积分。另外2.二维随机变量函数的数学期望解:例7

设(X,Y)的分布律为(教材P123第9题)由于例8

设X～N(0,1),Y～N(0,1),X与Y相互独立,求解:

(教材P124-(B)-第2题/习题课教程P98例8）

设由自动线加工的某种零件的内径

X(mm)~N(

,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径X有如下的关系：问平均直径

为何值时,销售一个零件的平均利润最大？（例9书P125（B）第4题）解：即可以验证，零件的平均利润最大.故时,销售一个

市场上对某种产品每年需求量为X吨，X~U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这种商品多少吨,才能使平均利润最大？解:设每年生产Y吨的利润为T显然，2000<Y<4000例10显然，故y=3500时,E(T)最大,E(T)=8250万元得y=35001.3

数学期望的性质(1)设C为常数，则有(2)设X是一个随机变量，C为常数，则有（3）设X1，X2,

…,Xn

是n个随机变量，为实数，则有一般地，有

（4）设X，Y是相互独立的随机变量，则有

且有柯西—许瓦兹（Cauchy-Schwarz)不等式：（证明见书P108）解：例11(教材P124第21题)例12

设X

与Y独立，

求．

解

另解：显然Y-