2024年初中升学考试模拟测试卷湖北省随州市广水市中考数学适应性试卷（4月份）

第1页（共1页）2023年湖北省随州市广水市中考数学适应性试卷（4月份）一、单选题（共30分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．﹣2 B．﹣ C． D．22．（3分）在这四个文字中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B＝（）A．65° B．55° C．45° D．35°4．（3分）下列计算正确的是（）A．4x﹣（x+y）＝3x+y B．（ab）4＝a4b4 C．x3÷x＝x4 D．（a+b）2＝a2+ab+b25．（3分）通过抖音等自媒体的宣传，重庆某火锅店生意日渐兴隆，今年1月日均接待顾客500人，3月日均接待顾客720人，设该店日均接待顾客的月平均增长率为x，根据题意下列方程正确的是（）A．500（1﹣2x）＝720 B．500（1+2x）＝720 C．720（1﹣x）2＝500 D．500（1+x）2＝7206．（3分）如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（）A．ED＝CD B．AC＝AE C．∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B7．（3分）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）A．4小时 B．4.4小时 C．4.8小时 D．5小时8．（3分）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣1 D．π+19．（3分）已知最近的一届世界运动会、亚运会、奥运会分别于2017年、2018年、2020年举办，若这三项运动会都是每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办（）A．2066年 B．2067年 C．2068年 D．2069年10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝2OC，点B的坐标为（﹣1，0），顶点为D，对称轴与x轴交于点E，则下列结论：①abc＞0，②a+c＜0，③，④当时，在线段DE上一定存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共18分）11．（3分）分解因式：a2+7a＝．12．（3分）舷号17的“山东舰”是我国自主设计生产的航空母舰，满载排水量65000t，把数65000用科学记数法表示为．13．（3分）一组数据1、3、x、4、5的平均数是5，这组数据的中位数是．14．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB＝45°，则⊙O的半径长为．15．（3分）如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数的图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△AOB的面积为2，则m+n＝．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．则∠CDF＝，若正方形ABCD的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF的最小值是．三、解答题（共72分）17．先化简，再求值：求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值，其中5x2﹣x﹣1＝0．18．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．（1）求证：EF∥AD；（2）求证：∠BAC+∠AGD＝180°．19．某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？20．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和60°，点A距地面2.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要持续上升的高度BC为7米，求点B距地面多少米？（，）21．如图所示，C是以AB为直径的⊙O上一点，过点O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AF＝1，⊙O的半径为2，求PA的长．22．“美丽乡村”建设全面改善了农村环境面貌，吸引大量返乡人员在家兴创业，某村结合本村优势成立了合作社，计划投资开展水产养殖和草莓种植，根据市场调查与预测，水产养殖的利润y1与投资量x（x≥0）成正比例关系，如图2所示；草莓种植的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图1所示（注：利润与投资量的单位都是万元）．（1）直接写出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果该村合作社以8万元资金投入水产养殖和草莓种植，至少获得多少利润？能获取的最大利润是多少？（3）在（2）的基础上要保证获利不低于22万元，该村合作社至多应投资水产养殖多少万元？23．【问题情境】（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）CD2＝AD•BD，（2）AC2＝AB•AD，（3）BC2＝AB•BD；请你证明定理中的结论（3）BC2＝AB•BD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，①求证：△BOF∽△BED；②若BE＝2，求OF的长．24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A，B，其中点A（﹣1，0），交y轴于点C（0，2），对称轴交x轴于点M（，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）作点C关于点M的对称点D，顺次连接A，C，B，D，判断四边形ACBD的形状，并说明理由；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

2023年湖北省随州市广水市中考数学适应性试卷（4月份）参考答案与试题解析一、单选题（共30分）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．【解答】解：∵﹣2×＝1．∴﹣2的倒数是﹣，故选：B．【点评】本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．2．（3分）在这四个文字中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．3．（3分）如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B＝（）A．65° B．55° C．45° D．35°【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠2，再求出∠BAC，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：∵m∥n，∴∠3＝∠2＝70°，∴∠BAC＝∠3﹣∠1＝70°﹣25°＝45°，∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣45°＝45°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．4．（3分）下列计算正确的是（）A．4x﹣（x+y）＝3x+y B．（ab）4＝a4b4 C．x3÷x＝x4 D．（a+b）2＝a2+ab+b2【分析】A、去括号合并同类项；B、根据积的乘方，把积的每一个因式分别乘方再把所的幂相乘计算．C、根据同底数幂的除法法则计算；D、根据完全平方公式计算．【解答】解：A、原式＝3x﹣y，∴不符合题意；B、原式＝a4b4，∴符合题意；C、原式＝x2，∴不符合题意；D、原式＝a2+2ab+b2，∴不符合题意；故选：B．【点评】本题考查整式加减、同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5．（3分）通过抖音等自媒体的宣传，重庆某火锅店生意日渐兴隆，今年1月日均接待顾客500人，3月日均接待顾客720人，设该店日均接待顾客的月平均增长率为x，根据题意下列方程正确的是（）A．500（1﹣2x）＝720 B．500（1+2x）＝720 C．720（1﹣x）2＝500 D．500（1+x）2＝720【分析】根据题意，找出等量关系：1月日均接待顾客数×（1+x）2＝3月日均接待顾客数，即可列出方程．【解答】解：设该店日均接待顾客的月平均增长率为x，可列方程为：500（1+x）2＝720．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．6．（3分）如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（）A．ED＝CD B．AC＝AE C．∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B【分析】根据尺规作图的痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，依据这两个条件逐项判断即可．【解答】解：∵根据尺规作图的痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，∴ED＝CD，∠DAC＝∠DAB，∠EDB＝90°﹣∠B，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AC＝AE，∵△ABC是直角三角形，∴∠CAB＝90°﹣∠B，∴∠EDB＝∠CAB，∵AB⊥DE，但DE不一定平分AB，∴∠DAB不一定等于∠B，∴∠DAC不一定等于∠B，故选：D．【点评】本题考查了作图—基本作图，熟练掌握角平分线和垂线的尺规作图是解决问题的关键．7．（3分）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）A．4小时 B．4.4小时 C．4.8小时 D．5小时【分析】依题意，根据函数图象可知，调进物资共用4小时，且速度保持不变，则4小时的时候已经调进结束，且共调进物资60吨．在2个小时内调出物资50吨，可计算出调出物资的速度以及剩下10吨的用时．【解答】解：解法一：调进物资共用4小时，且速度保持不变，则4小时的时候已经调进结束，且共调进物资60吨；货物还剩10吨，说明在2小时内，调出物资50吨，可得调出物资的速度为25吨/时，则剩下10吨用时：＝0.4小时，故共用时间4.4小时．解法二：由图中可以看出，2小时调进物资30吨，调进物资共用4小时，说明物资一共有60吨；2小时后，调进物资和调出物资同时进行，4小时时，物资调进完毕，仓库还剩10吨，说明调出速度为：（60﹣10）÷2吨，需要时间为：60÷25时，由此即可求出答案．物资一共有60吨，调出速度为：（60﹣10）÷2＝25吨，需要时间为：60÷25＝2.4（时）∴这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是：2+2.4＝4.4小时．故选：B．【点评】此题考查学生的推理能力，关键是应算出调出物资需要的时间，再加上前面调进时的2小时即可．需注意调进需4小时，但2小时后调进物资和调出物资同时进行．8．（3分）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣1 D．π+1【分析】已知BC为直径，则∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝2，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD＝，∴D为半圆的中点，∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π×22﹣×（）2＝π﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．9．（3分）已知最近的一届世界运动会、亚运会、奥运会分别于2017年、2018年、2020年举办，若这三项运动会都是每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办（）A．2066年 B．2067年 C．2068年 D．2069年【分析】根据题意，可知这三项运动会，一定不会在2019+4n的年份举行，然后令2019+4n等于各个选项中的数据，然后求出n的值，即可得到这三项运动会均不在下列哪一年举办．【解答】解：∵最近的一届世界运动会、亚运会、奥运会分别于2017年、2018年、2020年举办，∴这三项运动会，一定不会在2019+4n的年份举行，令2019+4n＝2066，得n＝，令2019+4n＝2067，得n＝12，令2019+4n＝2068，得n＝，令2019÷4n＝2069，得n＝，∴n为整数，∴在2067年，这三项运动会都不会举行，故选：B．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出这三项运动会均不在哪一年举办．10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝2OC，点B的坐标为（﹣1，0），顶点为D，对称轴与x轴交于点E，则下列结论：①abc＞0，②a+c＜0，③，④当时，在线段DE上一定存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，与y轴交于点C在y的负半轴上，可判断a＞0、c＜0，对称轴在y轴右侧，可判断b＜0，故abc＞0，结论①正确；由点B的坐标为（﹣1，0），可知a﹣b+c＝0，即a+c＝b＜0，故结论②正确；根据题意确定点A（﹣2c，0），结合点B（﹣1，0），可知x＝﹣1和x＝﹣2c是方程ax2+bx+c＝0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系即可计算，故结论③正确；求出，，再推出AE≤DE，即，从而判断结论④正确．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，与y轴交于点C在y的负半轴上，∴a＞0，c＜0，∵其对称轴在y轴右侧，∴，∴b＜0，∴abc＞0，故结论①正确；∵点B的坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+c＝b＜0，故结论②正确；根据题意，抛物线与y轴交点为C（0，c），且OA＝2OC，∴点A（﹣2c，0），∴x＝﹣1和x＝﹣2c是方程ax2+bx+c＝0的两个根，∴，，即，∴，故结论③正确；∴，∴，∵DE是对称轴，点P在线段DE上，∴PA＝PB，∴当△ABP为等腰直角三角形时，∠APB＝90°，∴PE＝BE＝AE，∴AE≤DE，∴，∴b2≥1，即，∴或，∴或（舍去），∴当时，在线段DE上一定存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，故结论④正确．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与x轴交点以及二次函数图形问题等知识，解题关键是掌握二次函数图象的性质以及二次函数与方程的关系．二、填空题（共18分）11．（3分）分解因式：a2+7a＝a（a+7）．【分析】直接提取公因式a即可．【解答】解：a2+7a＝a（a+7）．故答案为：a（a+7）．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．12．（3分）舷号17的“山东舰”是我国自主设计生产的航空母舰，满载排水量65000t，把数65000用科学记数法表示为6.5×104．【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：65000＝6.5×104，故答案为：6.5×104．【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．13．（3分）一组数据1、3、x、4、5的平均数是5，这组数据的中位数是4．【分析】根据平均数和中位数的概念求解．【解答】解：∵数据1、3、x、4、5的平均数是5，∴＝5，解得：12，则这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，5，12，则中位数为4．故答案为：4．【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．14．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB＝45°，则⊙O的半径长为．【分析】利用圆周角定理得到∠ABC＝90°，∠ACB＝∠ADB＝45°，则可判断△ABC为等腰直角三角形，所以AC＝2，从而得到⊙O的半径长．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝2，∴⊙O的半径长．故答案为．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．（3分）如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数的图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△AOB的面积为2，则m+n＝﹣8．【分析】由△OAB的面积为2，可求出△OBC的面积为1，进而求出△OAC的面积为3，再根据反比例函数系数k的几何意义可求出m，n，进而得出答案．【解答】解：∵S△AOB＝AB•OC＝2，S△BOC＝BC•OC，AC＝3BC，∴AB＝2BC，∴S△BOC＝1，∴S△AOC＝2+1＝3，又∵|m|＝3，|n|＝1，m＜0，n＜0，∴m＝﹣6，n＝﹣2，∴m+n＝﹣6﹣2＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．则∠CDF＝45°，若正方形ABCD的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF的最小值是．【分析】如图1所示，延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△AME≌△HCE，可得AE＝EH，由直角三角形的性质可得AE＝EF＝EH，由三角形内角和定理可求2∠ADE+2∠EDF＝270°，可得∠ADF＝135°，即可求出∠CDF＝45°；如图2所示，连接FC，过点C作CF′⊥DF于F′，由∠CDF＝45°，知点F在直线DF上运动，即得当CF⊥DF时，CF有最小值为CF′的长度，而，即CF有最小值为．【解答】解：如图1所示，延长AE交DC的延长线于点H，∵点E是CM的中点，∴ME＝EC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠MAE＝∠H，∠AME＝∠HCE，∴△AME≌△HCE（AAS），∴AE＝EH，又∵∠ADH＝90°，∴DE＝AE＝EH，∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴AE＝DE＝EF，∴∠DAE＝∠ADE，∠EDF＝∠EFD，∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD＝360°，∴2∠ADE+2∠EDF＝270°，∴∠ADF＝135°，∴∠CDF＝∠ADF﹣∠ADC＝135°﹣90°＝45°；如图2所示，连接FC，过点C作CF′⊥DF于F′，∵∠CDF＝45°，∴点F在直线DF上运动，∴当CF⊥DF时，CF有最小值，最小值为CF′的长度，∵CD＝2，∠CDF′＝45°，∴，即CF有最小值为，故答案为：45°，．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题（共72分）17．先化简，再求值：求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值，其中5x2﹣x﹣1＝0．【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，最后把已知代入得出答案．【解答】解：原式＝9x2﹣4+x2﹣2x＝10x2﹣2x﹣4，∵5x2﹣x﹣1＝0，∴5x2﹣x＝1，原式＝2（5x2﹣x）﹣4＝2×1﹣4＝﹣2．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．（1）求证：EF∥AD；（2）求证：∠BAC+∠AGD＝180°．【分析】（1）根据垂直得出∠EFB＝∠ADB＝90°，根据平行线的判定得出EF∥AD；（1）根据平行线的性质得出∠1＝∠BAD，由∠1＝∠2得出∠2＝∠BAD，根据平行线的判定得出DG∥BA，再根据平行线的性质即可得解．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（垂直的定义），∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）；（2）∵EF∥AD，∴∠1＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠BAD（等量代换），∴DG∥BA（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．19．某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？【分析】（1）先利用良好等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出合格等级的人数，然后分别计算出合格等级人数所占的百分比和优秀等级人数所占的百分比后补全两个统计图；（2）用600乘以良好与优秀两个等级的百分比的和可估计成绩达到良好及以上等级的人数；（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）调查的总人数为16÷40%＝40（人），所以合格等级的人数为40﹣12﹣16﹣2＝10（人），合格等级人数所占的百分比＝×100%＝25%；优秀等级人数所占的百分比＝×100%＝30%；统计图为：（2）600×（30%+40%）＝420（名），所以估计成绩达到良好及以上等级的有420名；（3）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为3，＝所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．20．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和60°，点A距地面2.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要持续上升的高度BC为7米，求点B距地面多少米？（，）【分析】过点A作AD⊥CN，垂足为D，构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求解．【解答】解：过点A作AD⊥CN，垂足为D，由题意，知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，BC＝7米，DN＝2.5米．在Rt△ABD中，∵∠BAD＝45°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，∵，∴，即，∴（米），∴BN＝BD+DN＝10+2.5＝12.5米，答：点B距地面约12.5米．【点评】本题考查了解直角三角形的仰角问题，题目难度较小，解决本题的关键是构造直角三角形，利用三角形的边角间关系．21．如图所示，C是以AB为直径的⊙O上一点，过点O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AF＝1，⊙O的半径为2，求PA的长．【分析】（1）连接OC，根据垂径定理，说明OF垂直平分AC，得出FA＝FC，利用等边对等角说明∠FAC＝∠FCA，根据OA＝OC，说明∠OAC＝∠OCA，即可证明∠FAO＝∠FCO，然后根据切线的性质得出∠FAO＝90°，即可证明结论；（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系：PC＝2PA，设PA＝x，则PC＝2x，OP＝x+2，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，继而也可得出PA得长．【解答】（1）证明：如图所示，连接OC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，又∵OA＝OC，∴OF垂直平分AC，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC+∠FAC＝∠OCA+∠FCA，即∠FAO＝∠FCO，∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴FA⊥AB，∴∠FCO＝∠FAO＝90°．又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．（2）解：∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，∵∠FPA＝∠OPC，∠PAF＝∠PCO＝90°，∴△PAF∽△PCO，∴，∵CO＝OA＝2，AF＝1，∴，∴PC＝2PA，设PA＝x，则PC＝2x，OP＝OA+PA＝x+2，在Rt△PCO中，由勾股定理得PC2+OC2＝OA2，∴4x2+22＝（x+2）2，解得：或x＝0（舍去），∴．【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，添加辅助线，根据题意证明△PAF∽△PCO得出PC＝2PA，是（2）小题解题的关键．22．“美丽乡村”建设全面改善了农村环境面貌，吸引大量返乡人员在家兴创业，某村结合本村优势成立了合作社，计划投资开展水产养殖和草莓种植，根据市场调查与预测，水产养殖的利润y1与投资量x（x≥0）成正比例关系，如图2所示；草莓种植的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图1所示（注：利润与投资量的单位都是万元）．（1）直接写出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果该村合作社以8万元资金投入水产养殖和草莓种植，至少获得多少利润？能获取的最大利润是多少？（3）在（2）的基础上要保证获利不低于22万元，该村合作社至多应投资水产养殖多少万元？【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设投入水产养殖的资金为m万元，则投入草莓种植的资金为（8﹣m）万元，总利润为W万元，列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；（3）求出当W＝22时，m的值，再根据二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）设，把P（1，2）代入y1＝kx中得：k＝2；把Q（2，2）代入中得：2＝4a，解得；∴（2）设投入水产养殖的资金为m万元，则投入草莓种植的资金为（8﹣m）万元，总利润为W万元，由题意得，＝＝＝，∵，0≤m≤8，∴当m＝6时，W最小，最小值为14，∴至少获得14万元的利润；当m＝0时，，当m＝8时，，∵32＞16，∴当m＝0时，W最大，最大为32，∴能获取的最大利润是32万元；（3）当W＝22时，则，解得m＝2或m＝10（舍去），∴要保证获利不低于22万元，则m≤2，∴投入水产养殖的资金至多为2万元．【点评】＝本题主要考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式和求二次函数解析式，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．23．【问题情境】（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）CD2＝AD•BD，（2）AC2＝AB•AD，（3）BC2＝AB•BD；请你证明定理中的结论（3）BC2＝AB•BD．【结论运用】（2）如图2