2024年初中升学考试模拟卷四川省广元市中考数学试卷

第1页（共1页）2023年四川省广元市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分）1．（3分）的相反数是（）A． B． C．﹣2 D．22．（3分）下列计算正确的是（）A．2ab﹣2a＝b B．a2•a3＝a6 C．3a2b÷a＝3a D．（a+2）（2﹣a）＝4﹣a23．（3分）某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（）A． B． C． D．4．（3分）某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：每周课外阅读时间（小时）2468学生数（人）2341​下列说法错误的是（）A．众数是1 B．平均数是4.8 C．样本容量是10 D．中位数是55．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（）A．56° B．33° C．28° D．23°7．（3分）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（）A． B． C． D．8．（3分）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．9．（3分）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（）A． B． C． D．10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点，且3＜m＜4，下列四个结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若抛物线过点（1，4），则﹣1＜a＜；④若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根，则4ac﹣b2≥12a，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）11．（4分）若式子有意义，则实数x的取值范围是．12．（4分）广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”，《2023年广元市重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资约45亿元，将45亿这个数据用科学记数法表示为．13．（4分）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA＝34°，则∠CAB的度数为．14．（4分）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为．16．（4分）如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PE+PF，则t的取值范围是．三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分）17．（6分）计算：+|﹣2|+20230﹣（﹣1）1．18．（8分）先化简，再求值；（+）÷，其中x＝+1，y＝．19．（8分）如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．20．（9分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：​（1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图；（2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；（3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是男生的概率．21．（9分）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为120°，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角∠OED＝45°，风叶OA的视角∠OEA＝30°．​（1）已知α，β两角和的余弦公式为：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，请利用公式计算cos75°；（2）求风叶OA的长度．22．（10分）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．计费方式月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫A782000.25免费B1085000.19免费（1）设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；（2）若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；（3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．23．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于A（3，4），B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．​（1）求k，m的值及C点坐标；（2）连接AD，CD，求△ACD的面积．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F．​（1）求证：∠BCD＝∠BOE；（2）若sin∠CAB＝，AB＝10，求BD的长．25．（12分）如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC＝30°．（1）若∠BCD＝90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB＝90°，∠EBA＝30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是；（2）如图2，在（1）的条件下，若DE⊥AB，AB＝4，AC＝2，求BC的长；（3）如图3，若∠BCD＝90°，AB＝4，AC＝2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标；（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

2023年四川省广元市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分）1．（3分）的相反数是（）A． B． C．﹣2 D．2【分析】根据相反数的定义进行判断即可．【解答】解：﹣的相反数是，故选：B．【点评】本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确解答的前提．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2ab﹣2a＝b B．a2•a3＝a6 C．3a2b÷a＝3a D．（a+2）（2﹣a）＝4﹣a2【分析】根据合并同类项法则，平方差公式，同底数幂的乘法，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：2ab与2a不是同类项，不能进行加减计算，故A错误；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可知：a2•a3＝a5，故B错误；3a2b÷a＝3ab，故C错误；根据平方差公式可得：（a+2）（2﹣a）＝4﹣a2，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．3．（3分）某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（）A． B． C． D．【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两列，左边有1个小正方形，右边有2个小正方形，结合四个选项选出答案．【解答】解：从左面看去，一共两列，左边有1个小正方形，右边有2个小正方形，左视图是：．故选：D．【点评】本题考查几何体的三视图，掌握左视图是从左面看到的图形是关键．4．（3分）某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：每周课外阅读时间（小时）2468学生数（人）2341​下列说法错误的是（）A．众数是1 B．平均数是4.8 C．样本容量是10 D．中位数是5【分析】根据众数的定义对A选项进行判断；根据平均数的计算方法对B选项进行判断；根据样本容量的定义对C选项进行判断；根据中位数的定义对D选项进行判断．【解答】解：A．这组数据的众数为6，所以A选项符合题意；B．这组数据的平均数为（2×2+4×3+6×4+8×1）＝4.8，所以B选项不符合题意；C．样本容量为10，所以C选项不符合题意；D．这组数据的中位数为5，所以D选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了总体、样本容量、加权平均数、中位数．5．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【分析】先确定a、b、c的值，在计算b2﹣4ac即可．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝，∴b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．故选：C．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（）A．56° B．33° C．28° D．23°【分析】先由平角定义求得∠AOD＝56°，再利用圆周角定理可求∠ACD．【解答】解：∵∠BOD＝124°，∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，∴∠ACD＝∠AOD＝28°，故选：C．【点评】本题主要考查的是圆周角定理的应用，利用平角定义求得∠AOD＝56°是解决本题的关键．7．（3分）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（）A． B． C． D．【分析】先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据计算即可．【解答】解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四边形OECD是正方形，∴∠COE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S阴影＝S△DCE+S半弓形DCE＝S△OCE+S半弓形DCE＝S扇形COB＝＝，故选：B．【点评】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（3分）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的图象上看，即可得解．【解答】解：依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．则注入的水量V随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢．那么从函数的图象上看，C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合．A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．故选：D．【点评】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键．9．（3分）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（）A． B． C． D．【分析】根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均速度为（1+40%）x千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合走路线b比走路线a全程少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵走路线b的平均车速比走路线a能提高40%，且走路线a的平均速度为x千米/时，∴走路线b的平均速度为（1+40%）x千米/时．根据题意得：﹣＝．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点，且3＜m＜4，下列四个结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若抛物线过点（1，4），则﹣1＜a＜；④若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根，则4ac﹣b2≥12a，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据题意得出开口向下，对称轴在y轴的右侧，即可判b＞0，c＞0，则abc＜0；②根据对称轴是直线x＝﹣＞1，计算﹣b＜2a，由抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），得到a﹣b+c＝0，即可得到3a+c＞0；③由待定系数法确定抛物线y＝ax2+2x+2﹣a，根据题意抛物线为y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，即可得出﹣am＝2﹣a，则m＝＝1﹣，根据3＜m＜4，即可得出关于a的不等式，解得即可；④抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）与直线y＝3有交点，即可得出，求得4ac﹣b2≤12a．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且3＜m＜4，∴对称轴x＝＞1，∴对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵﹣＞1，a＜0，∴﹣b＜2a，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴3a+c＞0，故②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），点（1，4），∴，解得，∵抛物线y＝ax2+2x+2﹣a，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点，∴y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，∴﹣am＝2﹣a，∴m＝＝1﹣，∵3＜m＜4，∴3＜1﹣＜4，∵a＜0，∴﹣1＜a＜，故③正确；∵若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）与直线y＝3有交点，∴，∴4ac﹣b2≤12a，故④错误．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，函数与方程的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）11．（4分）若式子有意义，则实数x的取值范围是x＞3．【分析】根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣3＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．12．（4分）广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”，《2023年广元市重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资约45亿元，将45亿这个数据用科学记数法表示为4.5×109．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：45亿＝4500000000＝4.5×109．故答案为：4.5×109．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．13．（4分）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA＝34°，则∠CAB的度数为56°．【分析】由作图可知CD垂直平分线段AB，推出CA＝CB，再利用等腰三角形的三线合一的性质以及平行线的性质求解．【解答】解：由作图可知CD垂直平分线段AB，∴CA＝CB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD，∵a∥b，∴∠ADC＝∠BCD＝34°，∴∠ACB＝2∠BCD＝68°，∴∠CAB＝∠CBA＝（180°﹣68°）＝56°．故答案为：56°．【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．（4分）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为21．【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）8的展开式中第三项．【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），因为第八行为（a+b）7，∴（a+b）7展开式的第三项的系数是1+2+3+…+6＝21，∴第八行从左到右第三个数为为21．故答案为：21．【点评】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为（，0）．【分析】设C（a，0），结合A，B两点的坐标利用两点间的距离可得OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，通过解直角三角形可得∠OBA＝∠ABC，过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，利用平行线的性质可得△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，列比例式再代入计算可求解a值，进而可求解．【解答】解：设C（a，0），∴OC＝a，∵点A（1，0），点B（0，﹣3），∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，∴∠OBA＝∠ABC，过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，∴，CD＝BC，∴，∴，解得a＝0（舍去）或a＝，∴C（，0），故答案为：（，0）．【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，两点间的距离等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．16．（4分）如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PE+PF，则t的取值范围是2≤t≤4+2．【分析】设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，求得∠CND＝∠OMD＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠CDN＝45°，求得OD＝2，得到CN＝DN＝2+2，如图1，延长EP交BC于Q，推出△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到CE＝EQ，FQ＝PF，求得t＝PE+PF＝PE+FQ＝EQ，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，根据正方形的性质得到EN＝OP＝2，求得t＝4+2；如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，同理可得t＝2，于是得到结论．【解答】解：设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，∴∠CND＝∠OMD＝90°，∵∠ACB＝45°，∴△CND是等腰直角三角形，∴∠CDN＝45°，∵ON＝OM＝2，∴OD＝2，∴CN＝DN＝2+2，如图1，延长EP交BC于Q，∵EQ⊥AC，PF⊥BC，∴∠CEQ＝∠PFQ＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠EQC＝45°，∴△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，∴CE＝EQ，FQ＝PF，∴t＝PE+PF＝PE+FQ＝EQ，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，∴EN＝OP＝2，∴t＝PE+PF＝PE+FQ＝EQ＝CE＝CN+EN＝2+2＝4+2；如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，同理可得t＝PE+PF＝PE+FQ＝EQ＝CE＝CN﹣EN＝2，故t的取值范围是2≤t≤4+2，故答案为：2≤t≤4+2．【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分）17．（6分）计算：+|﹣2|+20230﹣（﹣1）1．【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝+2﹣+1+1＝+2﹣+1+1＝4．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18．（8分）先化简，再求值；（+）÷，其中x＝+1，y＝．【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝•＝，当x＝+1，y＝时，原式＝＝．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．19．（8分）如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．【分析】（1）由平行四边形的判定可得；（2）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）如图①以AB为对角线，如图②以AD为对角线，如图③以BD为对角线；（2）∵AB＝AC＝BC＝4，AD⊥BC，∴BD＝DC＝2，∴AD＝2，如图①所示：四边形ACBD是矩形，则其对角线AB的长为4；如图②所示：AD＝2，连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，则EC＝2，BE＝2BD＝4，∴BC＝2；如图③所示：过点A作AE⊥CB，交CB延长线于E，连接AC，∴BD＝2，由题意可得：AE＝2，EC＝2BE＝8，∴AC＝＝＝2，【点评】本题考查了复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．20．（9分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：​（1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图；（2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；（3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是男生的概率．【分析】（1）先利用第二次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出第四小组的频数，然后补全频数分布直方图；（2）用1260乘以样本中第5组和第6组的频率即可；（3）画树状图为展示所有12种等可能的结果，再找出两名都是男生的结果数．然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）调查的总人数为12÷20%＝60（人），所以第四小组的频数为60﹣6﹣12﹣18﹣10﹣4＝10，补全频数分布直方图为：（2）1260×＝294（人），所以估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数294人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中两名都是男生的结果数为6，所以所选2人都是男生的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．21．（9分）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为120°，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角∠OED＝45°，风叶OA的视角∠OEA＝30°．​（1）已知α，β两角和的余弦公式为：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，请利用公式计算cos75°；（2）求风叶OA的长度．【分析】（1）根据两角和的余弦公式把75°角分成两个特殊角30°和45°，根据特殊角的锐角三角函数值代入求值即可；（2）过点A作AF⊥OE于F，先判断△AOE是等腰三角形，然后解直角三角形的方法先求出OF的长，再求出OA的长即可．【解答】解：（1）由题意得：cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45°＝；（2）由题意得：∠OED＝45°，DE＝60米，∴OE＝米，∠ODE＝45°，∴∠AOE＝120°﹣45°＝75°，又∵∠OEA＝30°．∴∠OAE＝75°，∴EA＝OE＝米，如图，过点A作AF⊥OE于F，在Rt△AEF中，∠AEF＝30°，AE＝米，∴EF＝米，∴OF＝（）米，在Rt△AOF中，cos∠AOF＝，∵∠AOF＝75°，OF＝（）米，∴OA＝米．【点评】本题是解直角三角形的应用综合题，主要考查仰角俯角问题，特殊角的锐角三角函数值，深入理解题意，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．22．（10分）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．计费方式月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫A782000.25免费B1085000.19免费（1）设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；（2）若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；（3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．【分析】（1）设方式A的计费金额y1（元），方式B的计费金额y2（元），根据表格即可得出y1和y2的函数解析式；（2）将t＝350分别代入（1）中求得的函数解析式中，在比较大小即可得到结果；（3）令y1＝108，求出此时的t值，再以此分析即可求解．【解答】解：（1）设方式A的计费金额y1（元），方式B的计费金额y2（元），根据表格数据可知，当0≤t≤200时，y1＝78；当t＞200时，y1＝78+0.25（t﹣200）＝0.25t+28；当0≤t≤500时，y2＝108；当t＞500时，y2＝108+0.19（t﹣500）＝0.19t+13；综上，，；（2）选择方式B计费，理由如下：当每月主叫时间为350min时，y1＝0.25×350+28＝115.5，y2＝108，∵115.5＞108，∴选择方式B计费；（3）令y1＝108，得0.25t+28＝108，解得：t＝320，∴当0≤t＜320时，y1＜108＜y2，∴当0≤t＜320时，方式A更省钱；当t＝320，方式A和B的付费金额相同；当t＞320，方式B更省钱．【点评】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意，利用表格数据正确得出函数解析式是解题关键．23．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于A（3，4），B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．​（1）求k，m的值及C点坐标；（2）连接AD，CD，求△ACD的面积．【分析】（1）把点A的坐标代入y＝kx+6y＝（m＞0）求出k、m的值即可；把y＝0代入直线AB的解析式，求出点C的坐标即可；（2）延长DA交x轴于点F，先求出AB平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出AD的解析式，得出点F的坐标，根据S△ACD＝S△CDF﹣S△CAF求出结果即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于A（3，4），B两点，∴4＝3k+6，4＝，∴k＝﹣，m＝12，∴一次函数的解析式为y＝﹣，反比例函数的解析式为y＝，吧y＝0代入y＝﹣得：0＝﹣，解得x＝9，∴点C的坐标为（9，0）；（2）延长DA交x轴于点F，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为y＝﹣+3＝﹣x+9，由，解得，∴D（，8），设直线AD的解析式为y＝ax+b，把A、D的坐标代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣+12，令y＝0，则0＝﹣+12，解得x＝，∴F（，0），∴CF＝9﹣＝，∴S△ACD＝S△CDF﹣S△CAF＝﹣＝9．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求函数的解析式，整理掌握待定系数法以及数形结合是解题的关键．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F．​（1）求证：∠BCD＝∠BOE；（2）若sin∠CAB＝，AB＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠OCB+∠BCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠BCD＝∠BOE；（2）过B作BH⊥CD于H，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角函数的定义得到BC＝6，根据平行线的性质得到∠BOE＝∠CAB，根据三角函数的定义得到BH＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∵OF⊥BC，∴∠BEO＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCD＝∠BOE；（2）解：过B作BH⊥CD于H，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵sin∠CAB＝＝，AB＝10，∴BC＝6，∵OF⊥BC，∴AC∥OF，∴∠BOE＝∠CAB，∵∠BCD＝∠BOE，∴∠BAC＝∠BCD，∴sin∠CAB＝sin∠DCB＝＝，∴BH＝，∵OC⊥CD，BH⊥CD，∴BH∥OC，∴△BDH∽△ODC，∴，∴，解得BD＝，故BD的长为．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．25．（12分）如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC＝30°．（1）若∠BCD＝90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB＝90°，∠EBA＝30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是AC＝DE；（2）如图2，在（1）的条件下，若DE⊥AB，AB＝4，AC＝2，求BC的长；（3）如图3，若∠BCD＝90°，AB＝4，AC＝2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．【分析】（1）证明△ABEC∽△CBD，根据相似三角形的性质得出，∠DBE＝∠CBA，进而证明△ABC∽△EBD，根据相似三角形的性质即可求解；（2）求出AE＝2，延长DE交AB于点F，在Rt△AEF中，由直角三角形的性质求得EF，AF，进而求得BF的长，根据（1的结论，得出，在Rt△BFD中，勾股定理求得BD，进而根据△ABC∽△EBD，即可求出案．（3）如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB＝90°，∠EBA＝30°，连接BE，EA，ED，EC，同（1）可得△BDE∽△BCA，求出AE的长，进而得出D在以E为圆心，为半径的圆上运动，当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，进而求得，，根据△ABC∽△EBD得出∠BDE＝∠BCA，过点A作AF⊥BC于点F，由直角三角形的性质分别求得AF，CF，然后求出BF，最后根据正切的定义即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△BDC中，∠DBC＝30°，在Rt△BAE中，∠AEB＝90°，∠EBA＝30°，∴△ABE∽△CBD，∠DBE+∠EBC＝∠ABC+∠EBC，，∴，∠DBE＝∠CBA，∴△ABC∽△EBD，∴，∴，故答案为：AC＝DE；（2）在Rt△B