高考一轮复习理数教师用书第一章集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合本节主要包括3个知识点：1.集合的基本概念；2.集合间的基本关系；3.集合的基本运算.突破点(一)集合的基本概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法．2．常用数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求元素(个数)或已知元素个数求参数[例1](1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A,y∈A}中元素的个数是________．(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.[解析](1)∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．(2)当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝eq\f(9,8).故a＝0或eq\f(9,8).[答案](1)5(2)0或eq\f(9,8)[方法技巧]求元素(个数)的方法一般给定一个新定义集合，如“已知集合A，B，求集合C＝{z|z＝x*y，x∈A，y∈B}(或集合C的元素个数)，其中‘*’表示题目设定的某一种运算”．具体的解决方法：根据题目规定的运算“*”，一一列举x，y的可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，从而得出z的所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．元素与集合的关系[例2](1)已知集合A＝{1,2,3,4}，若a∈A，且6－a∈A，则实数a的取值集合为________．(2)(2018·苏州模拟)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[解析](1)逐一验证可得a可以取2,3,4，即a的取值集合为{2,3,4}．(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－eq\f(3,2)或m＝1(舍去)，当m＝－eq\f(3,2)时，m＋2＝eq\f(1,2)≠3符合题意．所以m＝－eq\f(3,2).[答案](1){2,3,4}(2)－eq\f(3,2)[方法技巧]利用元素的性质求参数的方法已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点二])设集合P＝{x|x2－eq\r(2)x≤0}，m＝30.5，则下列关系中正确的序号是________．①mP；②m∈P；③m∉P；④m⊆P.解析：易知P＝{x|0≤x≤eq\r(2)}，而m＝30.5＝eq\r(3)＞eq\r(2)，∴m∉P.答案：③2.eq\a\vs4\al([考点一])已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．解析：集合B中的元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．答案：93.eq\a\vs4\al([考点二])(2018·徐州模拟)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝________.解析：因为{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，则eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.答案：24.eq\a\vs4\al([考点一])已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5＜k≤6.答案：(5,6]5.eq\a\vs4\al([考点二])(2018·如东中学高三月考)已知x2∈{0,1，x}，则实数x的值为________．解析：由集合中元素的互异性可知x≠0，x≠1，所以x2＝1解得x＝－1或x＝1(舍去)．答案：－1突破点(二)集合间的基本关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A⊆B，并且A≠BAB或BA相等集合A中的元素都是集合B的元素，集合B中的元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅考点贯通抓高考命题的“形”与“神”集合子集个数的判定含有n个元素的集合，其子集的个数为2n；真子集的个数为2n－1(除集合本身)；非空真子集的个数为2n－2(除空集和集合本身，此时n≥1)．[例1]已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．[解析]由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的集合C为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，3,4}，共4个．[答案]4[易错提醒](1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万不要忘记．集合间的关系考法(一)集合间关系的判定[例2](1)已知集合A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则集合A，B之间的关系是________．(2)(2018·无锡期初测试)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)π＋\f(π,3)，k∈N))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)π－\f(π,6)，k∈N))))，则集合A，B的关系是________．[解析](1)由题意知A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以BA.(2)法一：由已知得A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)，\f(4π,3)，\f(11π,6)，…))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)，\f(5π,6)，\f(4π,3)，\f(11π,6)，…))，所以AB.法二：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)π＋\f(π,3)，k∈N))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,6)3k＋2，k∈N))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x＝\f(k,2)π－\f(π,6)，k∈N))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x＝\f(π,6)3k－1，k∈N)).对任意x0∈A，设x0＝eq\f(π,6)(3k＋2)，k∈N，则x0＝eq\f(π,6)[3(k＋1)－1]．∵k∈N，∴k＋1∈N，∴x0∈B，A⊆B.对于集合B，由k＝0得－eq\f(π,6)∈B，但－eq\f(π,6)∉A，∴AB.[答案](1)BA(2)AB[方法技巧]判断集合间关系的三种方法(1)列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(2)结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(3)数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．[提醒]在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．考法(二)根据集合间的关系求参数[例3]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．[解析]∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.②若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．[答案](－∞，3][易错提醒](1)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．(2)对于含有参数的集合，需思考参数对集合的影响，尤其注意该集合是否为空集．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])集合A＝{x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为________．解析：因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.答案：72.eq\a\vs4\al([考点二·考法一])(2018·南通模拟)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，有下列四个关系：①P⊆Q；②Q⊆P；③∁RP⊆Q；④Q⊆∁RP.其中正确关系的序号是________．解析：因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，所以∁RP＝{y|y＞1}，又Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，所以∁RP⊆Q.答案：③3.eq\a\vs4\al([考点二·考法二])已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________.解析：∵A⊆B，∴a＋3＝1，解得a＝－2.答案：－24.eq\a\vs4\al([考点二·考法二])已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]突破点(三)集合的基本运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪BA∪B＝{x|x∈A，或x∈B}集合的交集A∩BA∩B＝{x|x∈A，且x∈B}集合的补集若全集为U，则集合A的补集为∁UA∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}2.集合的三种基本运算的常见性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A.(2)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.(4)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求交集、并集或补集[例1](1)(2016·江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.(2)(2018·南京溧水高三第一次检测)设集合A＝{2,3}，B＝{1,2}，则A∪B＝________.(3)(2017·北京高考改编)已知U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁UA＝________.[解析](1)在集合A中满足集合B中条件的元素有－1，2两个，故A∩B＝{－1,2}．(2)由A＝{2,3}，B＝{1,2}，得A∪B＝{1,2,3}．(3)根据补集的定义并结合数轴可得∁UA＝[－2,2]．[答案](1){－1,2}(2){1,2,3}(3)[－2,2][方法技巧]求集合交集、并集或补集的方法步骤集合运算的综合应用[例2](1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝________.(2)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝____________.(3)(2018·常州月考)已知集合M＝(－3，－1)，N＝{x|2x＋a≤0}，若M∩N＝M，求实数a的取值范围是________．[解析](1)因为∁UB＝{2,5,8}，所以A∩(∁UB)＝{2,3，5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．(2)∵A∪B＝{x|x≤0}∪{x|x≥1}＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．(3)因为集合N＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(a,2)))，而M∩N＝M得M⊆N，所以－eq\f(a,2)≥－1，即a≤2.[答案](1){2,5}(2){x|0＜x＜1}(3)(－∞，2][方法技巧]集合运算综合应用问题的解题策略(1)进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合用不等式形式表示时，可借助数轴求解，对于端点值的取舍，应单独检验．(2)注意灵活地将集合的运算性质转化为集合间的关系，再利用集合间关系解决问题．集合的新定义问题[例3](2018·南京模拟)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)．设A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，则A⊕B＝____________________.[解析]因为A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－\f(9,4)))))，B＝{y|y＜0}，所以A－B＝{y|y≥0}，B－A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＜－\f(9,4)))))，A⊕B＝(A－B)∪(B－A)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0或y＜－\f(9,4))))).[答案]eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(yy≥0或y＜－\f(9,4)))[方法技巧]解决集合新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝________.解析：集合A＝{x|－2＜x＜2}，集合B＝{－1,0,1,2,3}，所以A∩B＝{－1,0,1}．答案：{－1,0,1}2.eq\a\vs4\al([考点一])(2018·南通模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝________.解析：∵A＝(0，＋∞)，B＝(－1,1)，∴A∪B＝(－1，＋∞)．答案：(－1，＋∞)3.eq\a\vs4\al([考点二])(2018·淮安模拟)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝________.解析：由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁RB＝{x|x＜－1或x＞3}，所以A∩(∁RB)＝{x|3＜x＜4}．答案：{x|3＜x＜4}4.eq\a\vs4\al([考点三])定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素之和为________．解析：∵A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，且A＝{1,2}，B＝{1,2}，∴A*B＝{1,2,4}，故A*B中的所有元素之和为1＋2＋4＝7.答案：75.eq\a\vs4\al([考点二])设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)＜0}，B＝{x|x＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A＝{x|x(x＋3)＜0}＝{x|－3＜x＜0}，∁UB＝{x|x≥－1}，阴影部分为A∩(∁UB)，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x＜0}．答案：{x|－1≤x＜0}[课时达标检测]基础送分课时——精练“14小题”，求准求快不深挖1．(2017·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.答案：12．(2017·全国卷Ⅲ改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．解析：因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.答案：23．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝________.解析：M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0＜x≤1}，M∪N＝{x|0≤x≤1}．答案：{x|0≤x≤1}4．(2017·全国卷Ⅱ改编)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________.解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．答案：{1,3}5．(2018·镇江中学高三模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－1＜0}，则图中的阴影部分表示的集合为________．解析：因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|－1＜x＜1}，所以A∪B＝{x|－1＜x≤2}，A∩B＝{x|0≤x＜1}．故图中阴影部分表示的集合为∁(A∪B)(A∩B)＝(－1,0)∪[1,2]．答案：(－1,0)∪[1,2]6．(2018·扬州月考)已知集合A＝{x|x2－2x－a＜0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．解析：由A＝{x|x2－2x－a＜0},1∉A得12－2×1－a≥0，解得a≤－1.答案：(－∞，－1]7．(2018·如东高三第一次检测)已知全集U＝N(N是自然数集)，集合A＝{x|x－2＞0}，则∁UA＝________.解析：由U＝N，A＝{x|x－2＞0}得∁UA＝{x|x≤2，x∈N}＝{0,1,2}．答案：{0,1,2}8．设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(5，\f(b,a)，a－b))，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2，－1}，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝2，,a－b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－1，,a－b＝2.))当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝2，,a－b＝－1))时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))此时B＝{2,3，－1}，则A∪B＝{－1，2,3,5}；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－1，,a－b＝2))时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))此时不符合题意，舍去．故A∪B＝{－1,2,3,5}．答案：{－1,2,3,5}9．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x＜0}，则A∪(∁RB)＝________.解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，∴A∪(∁RB)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)10．(2018·盐城模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，则实数m的值构成的集合为________．解析：由题可知A＝{－1,2}，又B∩(∁UA)＝∅，所以B＝∅或{－1}或{2}．若B＝∅，则m＝0；若B＝{－1}，则m＝1；若B＝{2}，则m＝－eq\f(1,2).故实数m的值构成的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，－\f(1,2))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，－\f(1,2)))11．(2018·常熟高三月考)若非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A⊆B成立的实数a的集合是________．解析：借助数轴可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1≥3，,3a－5≤22，))解得6≤a≤9.答案：{a|6≤a≤9}12．(2018·启东市一中月考)定义：满足任意元素x∈A，则|4－x|∈A的集合称为优集，若集合A＝{1，a,7}是优集，则实数a的值为________．解析：依题意，当x＝1时，|4－x|＝3∈A，当x＝7时，|4－x|＝3∈A，所以，a＝3时符合条件．答案：313．(2018·南通模拟)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，集合A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素的个数是________．解析：由定义可知A×B中的元素为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)．其中使logxy∈N的有(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)，共4个．答案：414．已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝yy＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(5,2)，0≤x≤3.若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________________．解析：A＝{y|y＜a或y＞a2＋1}，B＝{y|2≤y≤4}．当A∩B＝∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋1≥4，,a≤2，))∴eq\r(3)≤a≤2或a≤－eq\r(3)，∴a的取值范围是(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，2]．答案：(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，2]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件本节主要包括2个知识点：1.命题及其关系；2.充分条件与必要条件.突破点(一)命题及其关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．命题的概念(1)能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)命题都可以写成“若p则q”的形式．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”命题的真假判断[例1](2018·嘉兴模拟)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．其中是假命题的有________．(填写所有假命题的序号)[解析]垂直于同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，①为假命题；平行于同一平面的两条直线可以相交，平行或异面，②为假命题；α与β相交，只要在α内平行于两平面交线的直线必平行于另一个平面，③为假命题；垂直于同一平面的两条直线一定平行，④为真命题．[答案]①②③[方法技巧]判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．四种命题的关系1.由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．四种命题间具有相对性，一旦将一个命题确定为原命题，相应的也就确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．[例2](1)命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是____________________．(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．(3)(2018·无锡月考)给出命题：函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在R上为减函数，若a＋b＞0则f(a)＋f(b)＜0，则该命题的逆否命题是________命题．(选填“真”或“假”)[解析](1)根据否命题的定义可知，命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．(3)因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a.因为f(x)在R上为减函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．因为函数f(x)为定义在R上奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，f(－a)＝－f(a)，所以f(a)＋f(b)＜－f(b)－f(a)，所以f(a)＋f(b)＜0，即原命题为真，所以该命题的逆否命题为真命题．[答案](1)若a≤b，则a－1≤b－1(2)1(3)真[方法技巧]1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．(2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])下列四个命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．其中真命题的个数为________．解析：①中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；②中，当Δ＝4＋4a＜0，即a＜－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；③是真命题；④中，空集不是本身的真子集，故是假命题．答案：12.eq\a\vs4\al([考点二])(2018·徐州模拟)命题“对于函数f(x)＝x3－3ax2，若a≤0，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数”的逆否命题是________________________________________________．解析：将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可，故原命题的逆否命题是“对于函数f(x)＝x3－3ax2，若f(x)在(0，＋∞)上不是增函数，则a＞0”．答案：对于函数f(x)＝x3－3ax2，若f(x)在(0，＋∞)上不是增函数，则a＞03.eq\a\vs4\al([考点二])命题“若△ABC有一个内角为eq\f(π,3)，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题为________________________________________________________________________________________________________________________________________________.解析：将原命题的条件和结论互换位置，得原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一个内角为eq\f(π,3)”．答案：若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一个内角为eq\f(π,3)4.eq\a\vs4\al([考点一、二])有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.答案：①②③突破点(二)充分条件与必要条件基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．充分条件与必要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件p⇒/q且q⇒/p2.充分条件与必要条件和集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件ABp是q的必要不充分条件BAp是q的充要条件A＝B考点贯通抓高考命题的“形”与“神”充分条件与必要条件的判断[例1](1)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则q是p的____________条件．(2)(2017·天津高考改编)设θ∈R，则“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))＜eq\f(π,12)”是“sinθ＜eq\f(1,2)”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)[解析](1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1，,y＞1，))∴x＋y＞2，即p⇒q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q⇒/p．故q是p的必要不充分条件．(2)法一：由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))＜eq\f(π,12)，得0＜θ＜eq\f(π,6)，故sinθ＜eq\f(1,2).由sinθ＜eq\f(1,2)，得－eq\f(7π,6)＋2kπ＜θ＜eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，推不出“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))＜eq\f(π,12)”．故“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))＜eq\f(π,12)”是“sinθ＜eq\f(1,2)”的充分不必要条件．法二：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))＜eq\f(π,12)⇒0＜θ＜eq\f(π,6)⇒sinθ＜eq\f(1,2)，而当sinθ＜eq\f(1,2)时，取θ＝－eq\f(π,6)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)－\f(π,12)))＝eq\f(π,4)＞eq\f(π,12).故“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))＜eq\f(π,12)”是“sinθ＜eq\f(1,2)”的充分不必要条件．[答案](1)必要不充分(2)充分不必要[方法技巧]充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——A：“若p，则q”与B：“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确确定p与q之间的关系．(2)集合法：利用满足两个条件的参数取值集合之间的关系判断充要条件，主要解决两个相似的条件难于进行区分或判断的问题，根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．充分条件与必要条件的应用[例2](1)(2018·扬州四校联考)已知p：x≥k，q：eq\f(3,x＋1)＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是________．(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．[解析](1)∵eq\f(3,x＋1)＜1，∴eq\f(3,x＋1)－1＝eq\f(2－x,x＋1)＜0，即(x－2)(x＋1)＞0，∴x＞2或x＜－1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2.(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))解得0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．[答案](1)(2，＋∞)(2)[0,3][方法技巧]根据充分、必要条件求参数的思路方法根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])(2018·苏北四市联考)“x＞1”是“log2(x－1)＜0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析：由log2(x－1)＜0得0＜x－1＜1，即1＜x＜2，故“x＞1”是“log2(x－1)＜0”的必要不充分条件．答案：必要不充分2.eq\a\vs4\al([考点二])(2018·南通模拟)已知“命题p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．解析：命题p：x＞m＋3或x＜m，命题q：－4＜x＜1.因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)3.eq\a\vs4\al([考点一])(2018·江南十校联考)△ABC中，“a＞b”是“cosA＜cosB”的____________条件．解析：由余弦函数在(0，π)上为减函数得，在△ABC中“a＞b⇔cosA＞cosB”，所以“a＞b”是“cosA＜cosB”的充要条件．答案：充要4.eq\a\vs4\al([考点二])已知p：x＞1或x＜－3，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：设P＝{x|x＞1或x＜－3}，Q＝{x|x＞a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.答案：[1，＋∞)5.eq\a\vs4\al([考点一])(2017·浙江高考改编)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的___________条件．解析：因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d＞0⇔S4＋S6＞2S5.答案：充要[课时达标检测]基础送分课时——精练“14小题”，求准求快不深挖1．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是______________________________．解析：根据逆否命题的定义，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤02．已知命题p：“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法中正确的序号是________．①命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”；②命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”；③命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”；④命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”．解析：命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故①②都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故③正确，④错误．答案：③3．(2017·北京高考改编)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析：对于非零向量m，n，若存在负数λ，使得m＝λn，则m，n互为相反向量，则m·n＜0，满足充分性；而m·n＜0包含向量m，n互为相反向量或者其夹角为钝角两种情况，故由m·n＜0推不出m，n互为相反向量，所以不满足必要性．所以“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2017·泰州模拟)原命题p：“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．答案：25．(2018·河南模拟)“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＜1”是“eq\f(1,x)＞1”的___________________________条件．解析：由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＜1得x＞0，由eq\f(1,x)＞1得0＜x＜1，因此“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＜1”是“eq\f(1,x)＞1”的必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的____________条件．解析：因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈peq\a\vs4\al(⇒/)綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要7．(2018·金陵中学月考)设函数f(x)＝asin(x＋α)＋bsin(x＋β)＋csin(x＋γ)，则p：“feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0”是q：“f(x)为偶函数”的____________条件．解析：f(x)可化为f(x)＝Asin(x＋φ)的形式，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝0，即cosφ＝0.易知cosφ＝0⇔f(x)为偶函数，所以p是q成立的充要条件．答案：充要8．(2017·烟台诊断)若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：|x|≤2等价于－2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件，所以有[－2,2]⊆(－∞，a]，即a≥2.答案：[2，＋∞)9．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中真命题的序号是________．解析：只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．答案：②④10．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为eq\f(1,2)”的____________条件．解析：当k＝1时，l：y＝x＋1，由题意不妨令A(－1,0)，B(0，1)，则S△AOB＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以充分性成立；当k＝－1时，l：y＝－x＋1，也有S△AOB＝eq\f(1,2)，所以必要性不成立．答案：充分不必要11．(2018·无锡摸底考试)命题“单调函数不是周期函数”的否命题是________________________________________________________________________．解析：先将命题改写为“若一个函数为单调函数，则该函数为周期函数”．所以该命题的否命题为“若一个函数不是单调函数，则该函数是周期函数”．答案：若一个函数不是单调函数，则该函数是周期函数12．有下列几个命题：①“若a＞b，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则eq\f(1,a)≤eq\f(1,b)”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题为真命题，故其逆否命题为真命题．答案：②③13．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8.故实数m的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)14．(2018·江苏木渎中学月考)已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[1,2]上的减函数”的____________条件．解析：若当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．当x∈[1,2]时，x－2∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－2)．故x∈[1,2]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之，若x∈[1,2]时，f(x)是减函数，此时x－2∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－2)，则当x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性也成立．故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[1,2]上的减函数”的充要条件．答案：充要第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词本节主要包括2个知识点：1.简单的逻辑联结词；2.全称量词与存在量词.突破点(一)简单的逻辑联结词基础联通抓主干知识的“源”与“流”命题p∧q、p∨q、綈p的真假性pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真简记为“p∧q两真才真，一假则假；p∨q一真则真，两假才假；綈p与p真假相反”．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”含逻辑联结词命题的真假判断[例1](2018·无锡模拟)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧綈q；④綈p∨q中，真命题的序号是________．[解析]依题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题，则綈p为假命题，綈q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧綈q为真命题，綈p∨q为假命题．[答案]②③[方法技巧]判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．(2)判断复合命题真假的步骤根据复合命题的真假求参数[例2](2018·姜堰中学月考)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足eq\f(x－3,x－2)＜0.(1)若a＝1，且p∨q为真，则实数x的取值范围是________．(2)若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．[解析](1)由x2－4ax＋3a2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.q为真时，eq\f(x－3,x－2)＜0等价于(x－2)(x－3)＜0，得2＜x＜3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x＜3.若p∨q为真，则实数x的取值范围是1＜x＜3.(2)p是q的必要不充分条件，等价于q⇒p且p⇒/q，设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x＜3}，则BA；则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a≤2，,3a≥3，,a＝2与3a＝3不同时取等号，))所以实数a的取值范围是1≤a≤2.[答案](1)(1,3)(2)[1,2][方法技巧]根据复合命题真假求参数的步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－eq\f(1,x)的单调递增区间是[1，＋∞)，则下列结论：①p∧q是真命题；②p∨q是假命题；③綈p是真命题；④綈q是真命题．其中正确的序号是________．解析：因为函数y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，所以其单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－eq\f(1,x)的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．答案：④2.eq\a\vs4\al([考点一])(2018·浙江月考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＜0，,m－x2，x≥0，))命题p：存在m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有实数解，命题q：当m＝eq\f(1,4)时，f[f(－1)]＝0，则下列命题为真命题的序号是________．①p∨q；②p∧綈q；③綈p∧q；④綈p∧綈q.解析：当x＜0时，f(x)＝2x∈(0,1)；当x≥0时，由f(x)＝0得m＝x2∈[0，＋∞)，故命题p为假命题．∵f[f(－1)]＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝0，∴命题q为真命题．所以真命题的序号为①③.答案：①③3.eq\a\vs4\al([考点二])设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x＞2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为________．解析：对于命题p：Δ＜0且a＞0，故a＞2；对于命题q：a＞2x－eq\f(2,x)＋1在x∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y＝2x－eq\f(2,x)＋1为增函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2,x)＋1))＜1，故a≥1.命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞2，,a＜1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,a≥1，))故1≤a≤2.答案：[1,2]4.eq\a\vs4\al([考点二])已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p∨q是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，则－eq\f(a,4)≤3，即a≥－12.因为p∨q是真命题，所以a∈R.答案：R突破点(二)全称量词与存在量词基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃2.全称命题和存在性命题名称形式全称命题存在性命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”全称(存在性)命题的否定[例1](1)(2018·宿迁期初测试)命题“∃x∈M，f(－x)＝－f(x)”的否定是______________________．(2)(2017·连云港模拟)命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定是______________．[解析](1)原命题是存在性命题，“∃”的否定是“∀”，“＝”的否定是“≠”，因此该命题的否定是“∀x∈M，f(－x)≠－f(x)”．(2)按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，原命题的否定应该为：存在x∈R，使得x2＜ln2.[答案](1)∀x∈M，f(－x)≠－f(x)(2)存在x∈R，使得x2＜ln2[方法技巧]对全称(存在性)命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．[提醒]对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．全称(存在性)命题的真假判断[例2]下列四个命题：①∀x∈R，ex＞0；②∀x∈N，x2＞0；③∃x∈R，lnx＜1；④∃x∈N*，sineq\f(πx,2)＝1.其中真命题的序号为________．[解析]对于①，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex＞0，故①为真命题；对于②，当x＝0时，x2＝0，故②为假命题；对于③，当x＝eq\f(1,e)时，lneq\f(1,e)＝－1＜1，故③为真命题；对于④，当x＝1时，sineq\f(π,2)＝1，故④为真命题．综上知①③④正确．[答案]①③④[方法技巧]全称(存在性)命题真假的判断方法全称命题(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可存在性命题要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题根据全称(存在性)命题的真假求参数[例3](1)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)(2018·江苏海门中学月考)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.[解析](1)因为命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题等价于x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＜－1或a＞3.(2)若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝0.[答案](1)(－∞，－1)∪(3，＋∞)(2)0[方法技巧]根据全称(存在性)命题的真假求参数的思路与全称命题或存在性命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.eq\a\vs4\al([考点一])(2018·江苏靖江中学期中)命题“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定是________________.解析：命题“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定是“∀x∈R，x2－x＋1＞0”．答案：∀x∈R，x2－x＋1＞02.eq\a\vs4\al([考点一])(2017·盐城第一中学期末)已知命题p：∀x∈R,2x＝5，则綈p为______________．解析：结合全称命题的含义及其否定的格式可得綈p为“∃x∈R,2x≠5”．答案：∃x∈R,2x≠53.eq\a\vs4\al([考点二])(2018·江苏仪征中学月考)命题p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”).解析：因为当x0＝－1时命题为真，所以该命题为真命题．答案：真4.eq\a\vs4\al([考点二])(2017·山东高考改编)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的序号是________．①p∧q；②p∧綈q；③綈p∧q；④綈p∨綈q.解析：因为x＞0时，x＋1＞1，所以ln(x＋1)＞0，所以p为真命题，綈p为假命题．若a＞b，可取a＝1，b＝－2，此时a2＜b2，所以q为假命题，所以綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题；綈p∨綈q为真命题．答案：②④5.eq\a\vs4\al([考点三])若“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于tanx≤m在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上恒成立，即y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最大值小于或等于m，又y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.答案：1[课时达标检测]基础送分课时——精练“14小题”，求准求快不深挖1．(2018·东北育才检测)已知命题p：∀x∈R，ex－x－1＞0，则綈p是________________．解析：因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题p：∀x∈R，ex－x－1＞0，则綈p：∃x∈R，ex－x－1≤0.答案：∃x∈R，ex－x－1≤02．(2018·淮安四县联考)下列命题中，真命题的序号是________．①∃x∈R，ex≤0；②∀x∈R,2x＞x2；③a＋b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝－1；④“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件．解析：因为y＝ex＞0，x∈R恒成立，所以①为假命题；因为当x＝－5时，2－5＜(－5)2，所以②为假命题；当a＝b＝0时，a＋b＝0，但是eq\f(a,b)没有意义，所以③为假命题；“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件，显然正确，故④为真命题．答案：④3．(2018·徐州期初考试)下列说法正确的序号有________.①函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值为2；②命题“∀x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；③“x＞2”是“eq\f(1,x)＜eq\f(1,2)”的充要条件；④∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＜logeq\f(1,3)x.解析：对于①，考虑x可取负值，显然①错误；对于②，否定是“∃x∈R，x2＋1≤3x”，故②错误；对于③，考虑x＜0的情况，易知③错误；对于④，当0＜x＜eq\f(1,3)时，logeq\f(1,3)x＞1＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＞0，所以④正确．答案：④4．(2018·昆明一中模拟)已知命题p：∀x∈R，x＋eq\f(1,x)≥2；命题q：∃x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，使sinx＋cosx＝eq\r(2)，则下列命题中为真命题的序号是________．①綈p∧q；②p∧綈q；③綈p∧綈q；④p∧q.解析：在命题p中，当x＜0时，x＋eq\f(1,x)＜0，所以命题p为假命题，所以綈p为真命题；在命题q中，sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，当x＝eq\f(π,4)时，sinx＋cosx＝eq\r(2)，所以q为真命题．由此可得綈p∧q为真命题．故①正确．答案：①5．(2018·常熟市中学期末)已知命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cosα；命题q：∀x∈R，x2＋1＞0.则下面结论中正确的序号是________．①p∧q是真命题；②p∧q是假命题；③綈p是真命题；④p是假命题．解析：对于命题p：取α＝eq\f(π,2)，则cos(π－α)＝cosα，所以命题p为真命题；对于命题q：∵x2≥0，∴x2＋1＞0，所以q为真命题．由此可得p∧q是真命题．答案：①6．(2018·苏州模拟)已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，3x＞2x，命题p2：∃θ∈R，sinθ＋cosθ＝eq\f(3,2)，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：綈p1∨p2和q4：p1∧綈p2中，真命题是________．解析：因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x在R上是增函数，即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x＞1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤eq\r(2)，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧綈p2是真命题．答案：q1，q47．已知命题p：∀x∈R,3x＞0；命题q：∃x∈R，logeq\f(1,2)x2＜0.则下列命题中为真命题的序号是________．①p∧q；②綈p∨綈q；③綈p∧q；④p∧綈q.解析：易知命题p是真命题；取x＝2，则logeq\f(1,2)22＝－2，所以命题q是真命题，所以p∧q为真命题．答案：①8．已知命题p：∃x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，现有以下结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的序号是________．解析：∵命题p：∃x∈R，使tanx＝1为真命题，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也为真命题，∴“p∧q”是真命题，“p∧綈q”是假命题，“綈p∨q”是真命题，“綈p∨綈q”是假命题，故①②③④都正确．答案：①②③④9．(2018·西安模拟)下列说法中正确的序号有________．①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；②“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件；③若命题p：∃x∈R，使得x2－x＋1≤0，则綈p：对∀x∈R，都有x2－x＋1＞0；④若p∨q为真命题，则p，q均为真命题．解析：①中，“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，故①正确；②中，由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，因此“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，故②正确；③中，命题p：∃x∈R，使得x2－x＋1≤0，则綈p：对∀x∈R，都有x2－x＋1＞0，故③正确；④中，由p∨q为真命题，可知p，q中至少有一个为真命题，故④不正确．答案：①②③10．(2018·扬州质量预测)已知函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f(x)mineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))))≥g(x)min(x∈[2,3])，因为f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上为减函数，g(x)在[2,3]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝5，g(x)min＝g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1.答案：(－∞，1]11．命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，eq\r(x)＞x＋1”，则命题p是________________________．解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论进行否定即可．答案：∃x∈(0，＋∞)，eq\r(x)≤x＋112．(2018·江苏海安中学模拟)若命题“∀x∈[1,2]，x2－4ax＋3a2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：根据题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1－4a＋3a2≤0，,f2＝4－8a＋3a2≤0，))解之可得实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)).