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文档简介
随机变量§2.2几种常用分布为了全面地研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,有必要引入随机变量的概念。设E为随机试验,其样本空间为Ω={e}是基本事件的集合,若对每一个基本事件或样本点e
Ω
有一个实数X(e)与之对应,这样就得到一个定义在Ω
上的单值实函数X(e),称X(e)为随机变量,简记为X。引入随机变量后,任何随机事件均可通过随机变量来表示。随机变量建立随机变量的概念后,就可以把一个个孤立的随机试验结果(事件)通过随机变量联系起来,去研究它们的概率分布及随机试验的全部结果,就可能用数学分析的方法来研究整个随机试验。随机变量的分布函数定义:设X是一个随机变量,x是任意实数,函数称为X的分布函数。对于任意实数x1,x2(x1<x2
),有若已知X的分布函数,就可以知道X落在区间(x1,x2]上的概率,从这个意义上来说,分布函数完整地描述了随机变量的统计规律。分布函数是普通函数,正是通过它我们能用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数的性质1.分布函数是不减函数对任意实数x1,x2(x1<x2
)2.3.分布函数是右连续的随机变量的概率密度定义:如果对于随机变量X
的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使得对于任意实数x有则称X为连续型随机变量,函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度概率密度的性质1.2.3.对任意实数x1,x2(x1<x2
)4.若f(x)在x
点连续,则有随机变量的概率密度随机变量的数字特征1.数学期望(代表值)对于离散型随机变量其定义来自于加权平均的概念对于连续型随机变量2.方差与标准差(分散度)3.变异系数(变差系数)当均值一定时,标准差是实验数据分散度的度量标准。标准差的计算是以均值为基准的,因此仅仅根据标准差还不能充分说明分散度的大小。当标准差相同而均值不同时,其相对分散度是不同的。在统计分析中,常采用复合的特征数—变异系数C例:对标准产品M8螺栓进行静载拉伸试验,已知螺栓为滚压螺纹,强度等级4.8级;试验时预紧力不加控制;样本容量n=14。试验结果:螺栓的破断拉伸应力为475.4,478.7,483.6,489.1,497.3,502.7,502.7,510.9,516.4,519.1,519.1,524.6,530.1,543.7(N/mm2)。试计算该样本的均值、标准差及变异系数。解:变异系数31.均匀分布则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)对任意实数c,d(a<c<d<b),都有§2.2几种常用分布f(x)0ab若一、二项分布(贝努里分布)某车间有10台7.5千瓦的机床,如果每台机床使用情况是相互独立的,且每台机床平均每小时开动12分钟,问全部机床用电超过48千瓦的可能性是多少?某系统平均无故障工作时间T=1000h,在1500h的任务期内需要备件更换,现只有3个备件,问能达到的可靠度是多少?2.指数分布则称X服从参数为
>0的指数分布。其分布函数为若若产品的失效概率密度为指数分布,则
即代表其失效率f(x)x0例.机械零件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布(1)求该机械零件寿命超过2年的概率。(2)已知该机械零件已使用了1.5年,求它还能使用2年的概率为多少?解:(1)(2)指数分布无记忆性(无后效性)正态分布也称为高斯(Gauss)分布正态分布是实践中应用最为广泛,在理论上研究最多的分布之一,故它在概率统计中占有特别重要的地位。3.正态分布其中
为实数,
>0,则称X服从参数为(
,
2)的正态分布,记为N(
,
2),可表为X~N(
,
2).若随机变量
f(x)0x(1)单峰对称密度曲线关于直线x=
对称;正态分布有两个特性:f(x)
0x(2)
的大小直接影响概率的分布
越大,曲线越平坦,
越小,曲线越陡峻,f(x)μ0x0.50.40.30.20.1-2246N(3,4/5)N(3,1)N(3,5/4)4.标准正态分布参数
=0,
2=1的正态分布称为标准正态分布,记作X~N(0,1)。f(x)μ0x0.40.30.20.1-224-4分布函数表示为其密度函数表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅
(x)的值。如,若Z~N(0,1),
(0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注:(1)
(x)=1-
(-x);(2)若X~N(
,
2),则设X
N(
,
2),求P{
-3
<X<
+3
}本题结果称为3
原则.在工程应用中,通常认为P{|X|≤3}=0.9974≈1.
如在质量控制中,常用标准指标值±3
作两条线,当生产过程指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.例P{|X|≤3}即Z=±3电车门高度是按男子碰头的机会少于1%来设计的。假设穿皮鞋的男子的平均身高为178cm,标准差为6cm,问车门高度应设计成多大尺寸。多少人中会有一人身高达到226cm?设男子的平均身高为175cm,标准差为6cm,女子的平均身高为163cm,标准差为5cm。问偶然相遇的一对男女中,女子高于男子的概率是多少?若X为随机变量,且随机变量Y=lnX服从正态分布N(μ,σ2),即5对数正态分布则称X是一个对数正态分布变量,X=eY服从对数正态分布,其概率密度函数为:正态分布的密度元为将y=lnx,dy=dx/x代入上式σ=1.6σ=0.5σ=0.2f(x)0x21340.81.6对数正态分布的密度函数曲线(μ=0)对数正态分布的密度函数曲线是单峰的且是偏态的对数正态分布的分布函 数同样,可令可将上式转化为标准正态分布μ
和σ既不是对数正态分布的位置参数和尺度参数,也不是其均值和标准差,而是它的“对数均值”和“对数标准差”。对数正态分布的数字特征对数正态分布的可靠度函数若随机变量X在[0,∞)上取值,具有概率密度函数则称X服从三参数为(m,η,γ)的威布尔分布,记为X~W(m,η,γ)m形状参数η
尺度参数γ
位置参数6威布尔(Weibull)分布三参数威布尔分布的分布函数1/ηm=0.5m=1m=1.5m=2m=3η
=1,γ
=1f(t)0t2134形状参数m的大小,决定了威布尔分布密度函数曲线的形状m>1时,趋向呈单峰性,峰高随m减小而降低,m=3~4时与正态分布近似;m=1时,为二参数指数分布;与t=γ
相交于纵坐标为1/η处。m<1时,密度函数曲线与t=γ
相交不相交,而是与之渐进1/η
η
=1,γ
=1m=0.5m=1m=1.5m=2m=3f(t)0t2134位置函数γ
的大小,反映了威布尔分布密度函数曲线的起始点位置在横坐标上的变化,又称“起始参数”或“转移参数”γ
>0时,起点在+x值区γ
=0时,起点在坐标原点γ
<0时,起点在-x值区可靠性分析中,γ具有极限值的含义,产品在t=γ以前不会失效,又称为最小保证寿命。m=
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