第17讲解直角三角形及其应用测试练习题

第17讲解直角三角形及其应用(时间45分钟满分120分)A卷一、选择题(每小题3分,共21分)1．(2018·天津)cos60°的值等于(D)A.eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)2．(2018·金华)在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝3,则tanA的值是(A)A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)3．(2016·怀化)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sinA＝eq\f(4,5),AC＝6cm,则BC的长度为(C)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm4．(2018·滨州)如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC＝30°,点D是CB延长线上的一点,且BD＝BA,则tan∠DAC的值为(A)A．2＋eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3＋eq\r(3)D．3eq\r(3)(导学号58824159)5．(2018·绥化)某楼梯的侧面如图所示,已测得BC的长约为3.5米,∠BCA约为29°,则该楼梯的高度AB可表示为(A)A．3.5sin29°米B．3.5cos29°米C．3.5tan29°米D.eq\f(3.5,cos29°)米第5题图第6题图6．(2018·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC于D,下列选项中,错误的是(C)A．sinα＝cosαB．tanC＝2C．sinβ＝cosβD．tanα＝1(导学号58824160)7．(2018·重庆B)如图,已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上),某同学从点C出发,沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处,斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4,在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°,则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米,参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)(A)A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米二、填空题(每小题3分,共12分)8．(2018·广州)如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝15,tanA＝eq\f(15,8),则AB＝_17_.9．(2018·烟台)在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝2,BC＝eq\r(3),则sineq\f(A,2)＝_eq\f(1,2)_.10．(2018·山西)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米,则这棵树的高度为_15.3_米．(结果保留一位小数．参考数据:sin54°≈0.8090,cos54°≈0.5878,tan54°≈1.3764)第10题图第11题图11．(2018·苏州)如图,在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头,观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向,在码头B北偏西45°的方向,AC＝4km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B,设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2,若回到A、B所用时间相等,则eq\f(v1,v2)＝_eq\r(2)_(结果保留根号)．三、解答题(本大题4小题,共46分)12．(11分)(2018·张家界)位于张家界核心景区的贺龙铜像,是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC＝45°,且CD＝2.3米,求像体AD的高度(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)解:∵在Rt△DBC中,∠DBC＝45°,且CD＝2.3m,∴BC＝2.3m,∵在Rt△ABC中,∠ABC＝70.5°,∴tan70.5°＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(AD＋2.3,2.3)≈2.824,解得:AD≈4.2.答:像体AD的高度约为4.2m.13．(11分)(2018·黄冈)在黄冈长江大桥的东端一处空地上,有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示),已知标语牌的高AB＝5m,在地面的点E处,测得标语牌点A的仰角为30°,在地面的点F处,测得标语牌点A的仰角为75°,且点E,F,B,C在同一直线上,求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1m,参考数据:eq\r(2)≈1.41,eq\r(3)≈1.73)(导学号58824161)解:如解图,作FH⊥AE于H.由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°,∴AH＝HF,设AH＝HF＝x,则EF＝2x,EH＝eq\r(3)x,在Rt△AEB中,∵∠E＝30°,AB＝5m,∴AE＝2AB＝10m,∴x＋eq\r(3)x＝10,∴x＝5eq\r(3)－5,∴EF＝2x＝10eq\r(3)－10≈7.3m,答:点E与点F之间的距离为7.3m.14．(12分)(2018·陕西)某市一湖的湖心岛有一颗百年古树,当地人称它为“乡思柳”,不乘船不易到达,每年初春时节,人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离,于是,有一天,他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这段距离．测量方法如下:如图,首先,小军站在“聚贤亭”的A处,用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°,此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米,然后,小军在A处蹲下,用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°,这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米)．(参考数据:sin23°≈0.3907,cos23°≈0.9205,tan23°≈0.4245,sin24°≈0.4067,cos24°≈0.9135,tan24°≈0.4452)解:如解图,作BD⊥MN,CE⊥MN,垂足分别为点D、E,设AN＝x米,则BD＝CE＝x米,在Rt△MBD中,MD＝x·tan23°,在Rt△MCE中,ME＝x·tan24°,∵ME－MD＝DE＝BC,∴x·tan24°－x·tan23°＝1.7－1,∴x＝eq\f(0.7,tan24°－tan23°),解得x≈34(米)．答:“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米．15．(12分)(2018·天津)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求BP和BA的长．(结果取整数)(参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05,eq\r(2)取1.414)(导学号58824162)解:如解图,作PC⊥AB于点C.由题意得∠A＝64°,∠B＝45°,PA＝120,在Rt△APC中,sinA＝eq\f(PC,PA),cosA＝eq\f(AC,PA),∴PC＝PA·sinA＝120·sin64°,AC＝PA·cosA＝120·cos64°.在Rt△PCB中,∵∠B＝45°,∴PC＝BC,∴PB＝eq\f(PC,sin45°)＝eq\f(120×0.90,\f(\r(2),2))≈153,∴AB＝AC＋BC＝120·cos64°＋120·sin64°≈120×0.90＋120×0.44≈161.答:BP的长约为153海里,BA的长约为161海里．B卷1．(3分)(2015·牡丹江)在△ABC中,AB＝12eq\r(2),AC＝13,cos∠B＝eq\f(\r(2),2),则BC边长为(D)A．7B．8C．8或17D．7或172．(3分)(2018·龙东地区)△ABC中,AB＝12,AC＝eq\r(39),∠B＝30°,则△ABC的面积是_21eq\r(3)或15eq\r(3)_.3．(3分)(2018·无锡)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于O,则tan∠BOD的值等于_3_.4．(10分)(2018·黔东南州)如图,某校教学楼AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的长为12米,坡角α为60°,根据有关部门的规定,α≤39°时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定对斜坡CD进行改造,在保持坡脚C不动的情况下,学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,eq\r(2)≈1.41,eq\r(3)≈1.73,eq\r(5)≈2.24)解:假设点D移到D′的位置时,恰好α＝39°,过点D作DE⊥AC于点E,作D′E′⊥AC于点E′,∵CD＝12米,∠DCE＝60°,∴DE＝CD·sin60°＝12×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)米,CE＝CD·cos60°＝12×eq\f(1,2)＝6米．∵DE⊥AC,D′E′⊥AC,DD′∥D′E′,∴四边形DEE′D′是矩形,∴DE＝D′E′＝6eq\r(3)米．∵∠D′CE′＝39°,∴CE′＝eq\f(D′E′,tan39°)≈eq\f(6\r(3),0.81)≈12.8,∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8≈7米．答:学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．5．(11分)(2018·乌鲁木齐)一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向,距离港口20海里B处,它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障,在C处等待救援,B,C之间的距离为10海里,救援船从港口A出发20分钟到达C处,求救援艇的航行速度．(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,eq\r(3)≈1.732,结果取整数)(导学号58824163)解:作辅助线如解图所示,BD⊥AD,BE⊥CE,CF⊥AF,由题意知,∠FAB＝60°,∠CBE＝37°,∴∠BAD＝30°,∵AB＝20海里,∴BD＝10海里．在Rt△ABD中,AD＝eq\r(AB2－BD2)＝10eq\r(3)≈17.32海里,在Rt△BCE中,sin37°＝eq\f(CE,BC),∴CE＝BC·sin37°≈0.6×10＝6海里,∵cos37°＝eq\f(EB,BC),∴EB＝BC·cos37°≈0.8×10＝8海里,EF＝AD＝17.32海里．∴FC＝EF－CE＝11.32海里,AF＝ED＝EB＋BD＝18海里,在Rt△AFC中,AC＝eq\r(AF2＋FC2)＝eq\r(182＋11.322)≈21.26海里,21．26×3≈64海里/小时．答:救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．6．(11分)(2018·遵义)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程,由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示),建造前工程师用以下方式做了测量:无人机在A处正上方97m处的P点,测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测),无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处,此时测得C处俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°,求引桥BC的长．(长度均精确到1m,参考数据:eq\r(3)≈1.73,sin80°36′≈0.987,cos80°36′≈0.163,tan80°36′≈6.06)解:(1)由题意知∠ABP＝30°,AP＝97,∴AB＝eq\f(A