通讯网络的设置

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本文主要就通信网络的设计问题进行讨论，其中侧重于通信网络的铺设费用和可靠性。

针对问题1，利用全局最优化的思想建立了基本模型。首先，应求出各节点间的铺设费用，对给出的数据进行预处理，将节点间距离和节点间单位铺设费用MATLAB做乘法处理，所得节点就是各节点间的铺设费用。要使得通信网络的总铺设费用最省，利用lingo编程计算，可知总铺设费用最少为29478百元。

针对问题2，在问题一的基础上，考虑到若其中有一个重要节点发生故障时，会造成八个节点（包括自己）以上故障，那么通信畅通的可能性就不能保证达到90%。本文先后通过节点删除法和节点收缩法找到重要节点（51,70,77），然后再从由重要节点引起故障的其它失效点中，找到一个节点与其它正常节点连通，使得发生故障的节点数少于八个，这样就能保证通信畅通的可能性达到90%。最后，再用MATLAB编程计算，可知总铺设费用最少为30542百元。采取模型对比，可以发现节点收缩法提出的节点重要度方法直接评估了节点正常工作对网络的贡献大小，克服了节点删除法的弊端。针对问题3，对通信网络中链路重要性的评估是考虑链路稳定性的另一大方面，这里运用基于生成树数目的链路删除法，定义最重要的链路删除后，图的生成树数目最少，则这条边最重要。分析得到重要的链路即重要的节点所在的链路（70-62,18-51,76-77），再以分界点（51,70,77）为分区依据，划分为p1,p2,p3,p4,四个区域，通过求前三个区域间的最短路径得出方案（46-71,61-68）的铺设路线的最少费用为30534百元。针对问题4，通过前两问分析出了3个最重要节点以及3条最重要链路，而在这一问中，是采用极限分析法，假设这3个节点以及3条链路同时出现故障，仍能满足通信网络的通畅度不低于百分之九十，这样就能保证其中任意一个重要节点或重要链路出现故障时，也能保持通信畅通的可能性达到90%。出现这种极端情况时，整个通信网络划分成了8个部分，即7个局部区域和1个主体区域（），由于3个节点（51、70、77）已经故障，则最多只能考虑五个节点（66、67、36、8、14）无法连通。根据链路费用的最优性，增加的链路数最少，链路铺设的总费用最小。通过MATLAB程序可得出7个局部区域的集合和一个主体区域连通的最小费用a，观察这7个局部区域，放弃两个节点（66、67）以及三个节点（36、14、8）的两片区域进而达到最优解。再通过MATLAB程序得出剩余五个区域相连通的最小费用b，最后将得出的两个最小费用相加(a+b)，得出满足3个重要节点以及3条重要链路同时出现故障，且能满足通信网络的通畅度不低于百分之九十的线路的最小费用。关键词：全局最优化方法节点删除法节点收缩法邻接矩阵问题重述1.1问题的背景随着当今社会信息的迅猛发展，计算机网络技术在各个领域的应用范围已经逐步广泛起来，其发展也在不断地推动人类社会逐渐走向信息时代。然而，网络技术假设题目所给的数据真实可靠；

2.假设网络中所有节点和边的失效概率相同；

3.；

4.假设节点和链路只有两种状态：正常和失效；

5.假设不考虑铺设过程中因路况的不同而产生的费用差异，即节点间的费用仅由节点间的距离和单位铺设费用决定；

6.通讯设备完好，都没有损害符号说明1.QUOTE错误!未找到引用源。表示节点集合；2.QUOTE错误!未找到引用源。表示节点和节点之间的距离；（单位：百米）；QUOTE错误!未找到引用源。.表示节点和节点之间的铺设费用（单位：元/百米）；QUOTE错误!未找到引用源。.表示节点和节点之间总的铺设费用（单位：元）；5.表示通信网络的无向连通图；QUOTE错误!未找到引用源。.表示的邻接矩阵；QUOTE错误!未找到引用源。.表示重要节点出现故障后造成可靠性小于90%的节点集合；QUOTE错误!未找到引用源。.表示重要节点出现故障后不影响可靠性的节点集合；9.表示通信网络的凝聚度；10.QUOTE错误!未找到引用源。表示QUOTE错误!未找到引用源。到中节点间的最小铺设费用；QUOTE错误!未找到引用源。1.表示QUOTE错误!未找到引用源。到非QUOTE错误!未找到引用源。中节点间的最小铺设费用；QUOTE错误!未找到引用源。12.表示图G的完全关联矩阵；13.表示的重要性14.表示图的生成树数目QUOTE错误!未找到引用源。5.表示节点之间的平均路径长度模型的建立与求解5.1通信网络的总铺设费用5.1.1构造最小生成树计算最少铺设费用为了建立一个最优的网络铺设模型，首先仅考虑铺设成本对最终路线的影响，根据前面的假设，铺设成本仅与铺设长度有关。这样问题就转化为一个保证连通性的最短铺设方案。由于节点间距离是已知的，首先构造节点间距离矩阵，矩阵中第i行j列的元素值就是节点i到节点j的距离。为了表达节点之间的联系，根据距离矩阵，转化为无向赋权连通图。为了求解最小距离，问题抽象为求解这个完全的最小生成树。首先，根据公式：同时，结合附件一种所给节点之间的距离、节点之间的铺设费用等数据计算得节点之间的总铺设费用。利用lingo编程计算，可知总铺设费用最少为29478百元。5.1.2最小铺设费用模型结果根据附件一中通信网络节点连接情况绘制节点连接图如下：图一5.2通信网络节点可靠度评估及最小费用计算5.2.1节点重要度的评估方法（1）将节点的连接度作为节点重要度的评估方法。但是，此种评估方法过于片面，并不是一个节点连接的路径越多，该节点就越重要，因为一些核心节点并没有很大的连接度，比如说桥节点。（2）利用介数衡量节点的重要度，即经过该节点的最短路径越多该节点就越重要。但计算节点介数的方法复杂。（3）基于生成树数目的节点删除法。如果去掉某节点后使得生成树数目最少，则假设该节点生效，通过比较在删除节点前后网络性能的变化来定义节点的重要度。但如果删除多个节点后都使得网络不连通，则这些节点的重要度是相同的。（4）节点收缩法。节点在正常工作的情况下，与该节点有关的边收缩后得到的网络凝聚程度越高，则认为该节点就越重要。5.2.2节点重要度评估的符号说明用图来表示通信网络，为无向连通图，个节点，条边，表示节点的集合，表示边的集合，的邻接矩阵有行列。中元素定义如下： 5.2.3基于生成树数目准则的节点删除法（模型一）假设代表图中任意一个节点，代表图中与其相关联的链路被删除后所得的子图。由于生成树是由图中所有正常工作的节点所得，当某个节点发生故障时，该节点以及相关联的链路将会同时失效，网络的生成树数目也会发生变化。将通信网抽象为图的形式，当节点以及相关联的链路失效后，相应的节点和边从图中删除，若子网络生成树的数目变化越大，则表明该节点越重要。通过子网生成树数目的变化，可以有效的评估通信网中任意两节点间的相对重要性。（2）节点删除后对应子网的生成树数目越少变化越大，则该节点在整个网络中越重要，具有相同生成树数目的节点具有相同的重要性。为了方便操作，故对其进行归一化处理，令其中为节点的重要性，为图的生成树数目，通过以上分析可知越大则该节点越重要。若第个节点删除后对应的子网生成树数目为零，则表明去掉该节点以及相关联的链路后，图是不连通的，这时该节点被认为在网络拓扑结构中具有最重要的地位，相应的节点重要性归一化结果为1。由图分析可知51、70、77三个节点为通信网中最重要的节点。图二表示重要节点出现故障后造成可靠性小于90%的节点集合；表示重要节点出现故障后不影响可靠性的节点集合；（1、26、34、61、50、32）（62、47、2、69、19、28、49、5、29、78、35、40、63、79、42、53、27、37、20、60、24、39、3、7、13）（58、4、38、30、48、59、31、12、60、68、73、41、33、46、65）（9、43、18、52、21、25、55、16）（15、44、10、17、74、11、71、72）（76、45）通过程序求出以及，又由题目所要求的费用最省得出目标函数。编程计算得QUOTE错误!未找到引用源。，QUOTE错误!未找到引用源。，QUOTE错误!未找到引用源。分别为2091（60-61）,536（15-38）,780（1-72）百元。QUOTE错误!未找到引用源。分别为528（61-68），536（15-38）,470（2-10）百元。考虑到可靠性增加的费用最省为min（2561,1064,1316）=1064百元。5.2.3基于网络凝聚度的节点收缩法（模型二）节点收缩节点收缩，即将与节点QUOTE错误!未找到引用源。相连接的QUOTE错误!未找到引用源。个节点都与节点QUOTE错误!未找到引用源。融合，也就是用一个新的节点来代替这个节点，原先与它们相关联的边现在都与新节点相关联。我们把与节点QUOTE错误!未找到引用源。相连接的QUOTE错误!未找到引用源。个节点通过收缩都与节点QUOTE错误!未找到引用源。融合,这相当于节点QUOTE错误!未找到引用源。将它周围的QUOTE错误!未找到引用源。个节点凝聚成了一个节点0。如果节点QUOTE错误!未找到引用源。是一个很重要的核心节点0,那么将它收缩后整个网络将更好的凝聚在一起。最典型的例子就是如果我们将星形网中的中心节点收缩,整个网络就收缩成了一个节点,而将其它节点收缩整个网络的凝聚程度不会发生太大的改变，所以我们可以认为收缩后使得网络凝聚程度越高的节点就越重要。网络凝聚度网络的凝聚程度首先取决于网络中各个节点之间的连通能力,我们用节点之间的平均路径长度来衡量,即所有节点对之间最短距离的算术平均值。其次,网络的凝聚程度还取决于网络中节点数目n。例如在一个社会关系网里,人员之间联系越方便(越小)、人数越少(越小)，整个网络的凝聚程度就越高。我们将网络的凝聚度定义为节点数n与平均路径长度乘积的倒数。（1）式为图的凝聚度，其中，代表节点和节点之间的最短距离。特殊地，当n=1时，我们令QUOTE错误!未找到引用源。=1，则0QUOTE错误!未找到引用源。1，当网络中只有一个节点时，QUOTE错误!未找到引用源。5.2.4基于网络凝聚度的节点重要度的评估我们称为节点的重要度，其中表示将节点收缩后所得到的图。由式（1）和式（2）可得到：又因为，，所以当且仅当为星型网络中的中心节点时，式（4）中等号成立。此时，，，，由式（3）可以看出，节点QUOTE错误!未找到引用源。的重要度取决于两个因素:一是节点的连接度QUOTE错误!未找到引用源。，另外一个是节点QUOTE错误!未找到引用源。在网络中的位置。相同条件下，如果节点QUOTE错误!未找到引用源。的连接度QUOTE错误!未找到引用源。越大，则将该节点收缩以后网络中节点的数目就越少，网络的凝聚度就越大，该节点越重要。另外，如果节点QUOTE错误!未找到引用源。处于要塞位置，则很多节点对之间的最短路径都要经过该节点，那么当把QUOTE错误!未找到引用源。收缩以后网络的平均路径长度将大大减少，从而获得较大的网络凝聚度。5.2.5基于节点重要度的铺设方案及最小铺设费用通过程序得出这80个节点在通信网中的重要程度节点重要程度图11210.85373410.86281610.90927320.951076221420.953119620.91624430.86568230.900102430.863715630.86691340.878171240.86679440.886356640.87300650.942069250.854855450.914592650.86058260.858186260.864383460.898999660.87703270.86568270.96368470.928958670.86238880.881733280.85753480.86281680.85848590.855982290.855329490.85753690.856815100.886356300.906118500.88135700.943583110.858007310.882756510.934594710.913838120.90136320.864443520.945162720.858007130.856934330.896517530.959217730.86281140.864625340.901766540.851666740.886356150.866813350.971414550.861392750.858186160.943104360.881733560.851666760.914592170.886356370.851843570.860462770.924597180.922633380.878171580.862931780.854144190.879198390.85747590.896517790.85753200.876504400.866913600.86281800.85521由上表可以看出这17个节点中任意一个节点出现故障对整个通信网络的影响率高于90%，由下图可以看出这17个点恰好位于以51,70,77这三个节点为分界点的主干道上。图三因此可以51,70,77这三个点为分类依据，将图1划分为四类p1,p2,p3,p4,位于红色主干道上的节点及其支干上的点分为一类，位于70节点以外的节点集（见红色区域）为p1区域（1,34,26,61,50,32），51节点之外的节点集划分为p2区域（30,38,4,58,31,59,60,48,12,46,33,41,68,65,73），77节点之外的节点集为P3区域(71,11,72,74,17,10,44,15)(见下图)。图四p1区域----（1,26,34,61,50,32）p2区域----（58,4,38,30,48,59,31,60,73,68,12,41,33,46,65）p3区域----（15,44,10,17,74,11,71,72）p4区域----其他区域p1,p2,p3区域均不包含出现故障之后造成影响率超过90%的节点，因为在这三个区域任意节点出现故障导致的影响都小于90%，因此只要保证铺设的线路能降低红色主干道上任意节点出现故障造成的影响即可。铺设方案如下：在p1,p2间寻求一条最短路径，使得红色主干道上某一节点出现故障时，其他节点能通过这条新路连通，p3部分通过再与p1或p2建立一条最短路径，就能保证主干道上任一节点出现故障导致的影响低于90%。通过程序求出以及，又由题目所要求的费用最省得出目标函数。（3）编程计算得QUOTE错误!未找到引用源。，QUOTE错误!未找到引用源。，QUOTE错误!未找到引用源。分别为2091（60-61）,536（15-38）,780（1-72）百元。QUOTE错误!未找到引用源。分别为528（61-68），536（15-38）,470（2-10）百元。考虑到可靠性增加的费用最省为min（2561,1064,1316）=1064百元。综上所述，最省费用为29478+1064=30542（百元）。最后的路线图为图4。图五5.3通信网络链路可靠度评估及最小费用计算5.3.1通信网链路重要性的研究链路是通信网的重要组成部分，链路的正常可靠运行将直接影响整个网络的可靠性。因此，通信网的链路重要性评估是网络设计和维护的重要依据。对现有的各种评估链路重要性的算法进行分析，可以发现这些算法对网络中的串联链路的重要性视为相等，但根据整体网络拓扑结构可以发现，往往网络呈现非对称状态。因此，各条串联链路之间也呈现非对称关系，故将某些串联链路的重要性作为同等重要性是不妥当的。当网络中的串联链路上多条链路发生故障时，应合理区分开网络中各串联链路的相对重要性，合理设计通信网络以提高其可靠性。5.3.2网络模型通信网络可以基于图论的知识来表示，设其为,其中对应网络中节点的集合，对应网络中链路的集合，假设其共有个节点、条边，为一无自环无向连通图。假设通信网络具有固定的网络拓扑结构，且各节点相互统计独立互不影响，且具有相同的损坏概率。节点只存在正常和损坏两种工作状态，而链路保持正常的工作。

设图的完全关联矩阵为，共行、列，完全关联矩阵中相应的行对应着网络的相应的顶点，相应的列对应着网络相应的链路。当是无向图时，元素可以表示为：5.3.3理论基础矩阵：对于无向图，假设它的完全关联矩阵为，则其矩阵为定理：设为无向连通图，的所有不同的生成树的个数等于其矩阵任何一个阶主子式的行列式的绝对值，即：其中为图的生成树数目，为图的矩阵任何一个阶主子式。5.3.4链路删除法链路删除法是运用生成树数目的重要性评价方法，定义最重要的链路删除后，图的生成树数目最少，则这条边最重要。运用此方法，可以得出五条最主要链路，分别为（62-47、5-35、53-22、18-51、76-77）。

由于该五条链路中有两条处于其它三条的分界点上，所以可将以上五条主要链路简化为三条最重要链路（70-62、18-51、76-77）。并且对链路删除法的流程描述如下所示：第一步：输入的完全关联矩阵。第二步：计算完全关联矩阵的矩阵，记为矩阵，并用式（5）计算全网络的生成树数目。第三步：删除链路（即删除完全关联矩阵的第列），得到矩阵，并计算矩阵的矩阵。第四步：删除矩阵的第一行和第一列，并用式（5）计算子网的生成树数目。

5.3.5基于链路删除法的铺设方案及最小铺设费用通过MATLAB计算得出链路删除法中删除各链路所得子网的生成树数目如下：

分析得到重要的链路即重要的节点所在的链路（70-62,18-51,76-77），再以分界点（51,70,77）为分区依据，划分为p1,p2,p3,p4,四个区域，通过求前三个区域间的最短路径得出方案（46-71,61-68）的铺设路线的最少费用为30534百元。铺设方案如下：5.4.1综合考虑网络的可靠性以及铺设费用对于综合考虑通信网络的可靠性，基于第二问和第三问得出来的主要节点和链路，我们考虑重要节点和链路同时出现故障的情况，因此把图分为八个区域，分别为、、、、、和剩余点组合成的区域。通过MATLAB程序算出各个区域连接起来的最少费用，区域的节点33和区域的节点31相连，最少费用为441百元；区域的节点61与区域的节点68相连，最少费用为528百元；区域的节点46与区域的节点71相连，最少费用为528百元；区域中节点59和区域中的节点15相连，最少费用为536百元；区域中节点60和区域中节点40相连，最少费用为435百元。因此，总费用最少为Z=29478+441+528+528+536+435=32540百元。这样，三个重要节点和三条重要链路出现故障时，也能保证其它结点间仍然能够保持通信畅通的可能性都达到90%，也可以保证其中任意一个重要节点或重要链路出现故障时，也能保持通信畅通的可能性达到90%。5.4.2制定合理的铺设方案

铺设方案图如下：模型的评价6.1模型的优点（1）模型在解决节点可靠性的时候首先定义了网络的凝聚度，在此基础上提出了节点重要度评估的节点收缩方法，认为收缩后网络的凝聚度越高的节点就越重要。（2）节点收缩法综合考虑了节点的连接度以及经过该节点的最短路径的数目，如果一个节点的连接度越大，所处的位置越关键，那么该节点也就越重要，这与我们直观上判断一个节点的重要度是一致的。本文提出的节点重要度方法直接评估了节点正常工作队网络的贡献大小，克服了节点删除法的弊端。6.2模型的不足与改进6.3模型的推广七、参考文献[1]谭跃进,吴俊,邓宏钟.复杂网络中节点重要度评估的节点收缩方法[J].系统工程理论与实践,2006,11:79-83+102.[2]张品,董志远,沈政.基于网络拓扑评估网络可靠性的新算法[J].计算机系统应用,2012,12:99-102.[3]董志远,张品,陈磊.一种基于两测度的无线链路重要性评价方法[J].杭州电子科技大学学报,2011,05:159-162.[4]TsenFP,TYSung,MYLin,etal.Findingthemostvitaledgeswithrespecttothenumberofspanningtrees[J].IEEETransReliability,1994,43(4):600-602.附录第一问问题一lingo程序求最小费用model:sets:jiedian/1..80/:;link(jiedian,jiedian):cost,x,y;endsetsn=@size(jiedian);@sum(jiedian(j)|j#gt#1:x(1,j))=n-1;@for(jiedian(k)|k#gt#1:@sum(jiedian(i)|i#ne#k:x(i,k))-@sum(jiedian(i)|i#ne#k:x(k,i))=1);@for(link:x<999999*y);min=@sum(link:cost*y);@for(link:@bin(y););data:cost=@ole('C:\Users\Administrator\Desktop\f.xls',cost);enddata问题一lingo最优方案，节点的一一对应以及费用节点节点费用节点节点费用13415435403482533636846821911438430322948340635583734842531484581414394205351014415510578342457642071310246338081490146656361044364721981246207476969012683005032132165214051121001655320513027917101575218284185130252214681928368524355519493455322432202458653377522080191455257922216198594878322453085960172922547261505322256254617011523614562473722364387637930023753366457703243948466679827316070361602742420706284303143706642630382177111472315923171725343341811717418733732307417773426545767728834612737723230352048977711953527320第二问问题2求重要性的MATLAB程序functionZ=jdzy(a,dy)n=size(a,1);%矩阵维数Z=zeros(n,1);%节点重要度向量%由邻接矩阵a得到直接距离矩阵HH=zeros(size(a));fori=1:nforj=1:nifj==iH(i,j)=0;elseifa(i,j)==1H(i,j)=dy(i,j);elseH(i,j)=inf;endendend%用Floyd法计算节点收缩前的最短距离矩阵DD=H;fork=1:nfori=1:nforj=1:nifD(i,k)+D(k,j)<D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);endendendend%计算节点重要度D2=zeros(size(D));fori=1:n%得到与节点i邻接的节点向量II=zeros(1,0);t=0;forj=1:nifa(i,j)==1t=t+1;I=[I,j];endend%计算收缩前的最短距离矩阵D2forp=1:nforq=1:nifp~=i&q~=iifD(p,i)+D(i,q)==D(p,q)D2(p,q)=D(p,q)-2;elseifD(p,i)+D(i,q)==D(p,q)+1D2(p,q)=D(p,q)-1;elseifD(p,i)+D(i,q)>=D(p,q)+2D2(p,q)=D(p,q);endelseifp==i|q==iD2(p,q)=D(p,q)-1;elseD2(p,q)=0;endendendn3=n-t;%收缩后的节点数n3D3=D2;%计算收缩后的最短距离矩阵D3D3(I,:)=[];%删除与节点i邻接的节点对应的行D3(:,I)=[];%删除与节点i邻接的节点对应的列%计算节点i收缩后的节点重要度s=0;forp=1:n3forq=p:n3s=s+D3(p,q);endendl=s/(n3*(n3-1)/2);Z(i)=1/(n3*l);endI问题2求区域最小费用MATLAB程序f=xlsread('F:\Xmp\work\f');i=[12303831596048458684665334173];j=[13461265032368146667];v=f(i,j);[nmin,ind]=min(v)[nmin,ind]=min(nmin)nmin=Columns1through5211285252820702816Columns6through103377560197619381290Column11846ind=141101397114792nmin=528ind=3f=xlsread('F:\Xmp\work\f');i=[12303831596048458684665334173];j=[7111727417104415];p=f(i,j);[nmin,ind]=min(p)[nmin,ind]=min(nmin)nmin=Columns1through5528114836866274600Columns6through8961650536ind=11251012713nmin=528ind=1f=xlsread('F:\Xmp\work\f');i=[13461265032368146667];j=[7111727417104415];p=f(i,j);[nmin,ind]=min(p)[nmin,ind]=min(nmin)nmin=Columns1through5203435317805202645Columns6through83263105001254ind=581481211nmin=645ind=5第三问问题3求链路删除后的生成树的MATLAB程序G=xlsread(‘F:\Xmp\work\guanlian’);A=G*G’;Det(A)Fori=1:79C=AC(:,i)=[];B=C;C=B*B’；C(1,:)=[];C(:.1)=[];Det(C)End问题三求解区域之间最小费用的MATLAB程序f=xlsread('F:\Xmp\work\f');i=[1230383159604845868466533417351];j=[1346126503236814666770];v=f(i,j);[nmin,ind]=min(v)[nmin,ind]=min(nmin)nmin=Columns1through92112852