2024年中考数学二模试卷（南京卷）（全解全析）

年中考第二次模拟考试（南京卷）数学·全解全析注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．第Ⅰ卷选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列数中，是无理数的是（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】解：，0，是有理数；是无理数．故选B．2．光年是天文学上一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于94600亿，用科学记数法表示94600亿是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：94600亿，故选D3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：不等式的解为．解集在数轴上表现为不包括端点的射线，D、B、C都不正确．故选：A．4．如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵与相切于点，，∴，即，∵，∴，又∵在中，是圆心角且所对的弧是，是圆周角且所对的弧也是，∴，即的度数是．故选：A．5．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：设蜡烛火焰的高度是，由相似三角形的性质得到：，解得，即蜡烛火焰的高度是．故选：C．6．如图是一种轨道示意图，其中、、、分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与之间的函数关系用图像表示大致为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：设正方形的边长为1，两个机器人看作点和，两个机器人的速度均为1．当点在边上，点在边上时，．作于点，可得矩形和矩形．，．，．两个机器人之间距离为．．，函数图象为开口向上的二次函数．故选项C和D不符合题意．当机器人未出发时，点在点处，点在点处，如图1．；当机器人分别到达点和点时，如图2．；此时函数的的值和未出发时的值相同，故选：B．

第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）7．计算：

．【答案】/【解析】解：，故答案为：．8．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，故答案为：．9．已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是．【答案】0【解析】解：点与点均在反比例函数的图象上，，即，，，故答案为：010．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为．【答案】14【解析】解：由题意得，解得：；故答案：．11．小明在教室中的座位是第3排第2列，简记作，则表示．【答案】第5排第3列【解析】解：由题意可知座位的表示方法为排在前，列在后，得小华的座位表示第5排第3列．故答案为：第5排第3列．12．如图，从一张圆心角为的扇形纸板剪出一个边长为1的正方形，则图中阴影部分的面积为.

【答案】【解析】解：如图，连接，

∵四边形是边长为1的正方形，，，，，由勾股定理得：，∴阴影的面积是；故答案为：．13．如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，．【答案】2【解析】解：∵中，于E，于F，为的平分线，∴，∵的面积是，∴，∴，∴，∴，故答案为：2．14．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，若时，则的度数．【答案】【解析】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．15．如图，在矩形中，，，E是边上一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点G，垂直平分，分别交，，于点H，M，N．若，则的长为．【答案】【解析】解：∵，，，∴，，∴，∵垂直平分，∴，∵四边形为矩形，点F在边的延长线上，∴，∵，∴，∴，则，∴，在中，，∵，∴，∴，解得．故答案为：．16．如图，正方形中，为边的中点，连接为边AD上一动点，将沿所在直线翻折，若点A的对应点恰好落在的边上，则线段的长为．【答案】1或【解析】解：如图：以点B为圆心，为直径画圆，与分别相交于两点，且为，然后过点B分别作的垂直平分线交于当A的的对称点落在上时，即点；此时P为上的连接∵四边形是正方形∴则即∴∵为边的中点，∴故∴如图：当A的的对称点落在上时，即点；此时P为上的连接交于一点，∵沿所在直线翻折∴即直线是的平分线，过点G作，∴∵四边形是正方形∴∴则设，则∵∴则中，得即解得∵∴则解得综上：线段的长为1或故答案为：1或三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（6分）17．解方程：．【解析】解：，去分母得:，去括号得:，移项得:，合并同类项，得．（8分）18．先化简，再求值：，其中，【解析】解：原式

将，代入原式（8分）19．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．(1)本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图；(2)本次捐款金额的众数为______元，中位数为______元；(3)若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？【解析】（1）解：（人），“捐款为15元”的学生有（人），补全条形统计图如下：（2）解：学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，故答案为：15，15；（3）（3）样本平均数为（元/人），所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为（元），答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元．（8分）20．春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．

(1)任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______；(2)甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．【解析】（1）解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，∴任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率为：故答案为：（2）解：画出树状图，如图：

共有种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有种故甲和乙选到不同活动项目的概率为：（8分）21．如图，在中，，点是中点，．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积．【解析】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形，∵，点D是的中点，∴，∴平行四边形是菱形；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，点D是的中点，∴．（7分）22．创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．(1)求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？【解析】（1）解：设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，由题意可得：，解得：，答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；（2）解：设A型垃圾桶a个，由题意可得：，解得，答：至少需购买A型垃圾桶120个．（8分）23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点的直线与反比例函数的图象交于点.

(1)求此反比例函数的解析式；(2)若点的纵坐标为1，求直线的解析式；(3)求的面积.【解析】（1）∵一次函数的图象过点，∴，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）∵点是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，把代入，则，∴，把代入得，；设直线的解析式为，则有，解得，故直线的解析式为；（3）作轴，交直线于点，则点的纵坐标为1，

代入得，，解得，∴，∴，∴．（8分）24．三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①，②．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西方向米处，且位于C的北偏西方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．（参考数据：，，，）(1)求A与C之间的距离（结果保留整数）；(2)已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）【解析】（1）解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则，由题意可知，，，∴（米），∴（米），即A与C之间的距离为500米；（2）设与的交点为M，由题意可知，，∴四边形是矩形，∴米，（米），米，由题意可知，，∴是等腰直角三角形，∴米，∴米，∴路线①的步行的时间为（分钟）路线②的步行的时间为（分钟）∵，∴走线路①用时更短．（8分）25．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．

(1)在图①中的线段上找一点E，使．(2)在图②中的线段上找一点F，使．(3)在图③中的线段上找一点G，使点G到直线距离之和为4【解析】（1）解：如图，点E即为所求；

理由：根据题意得：，∴，∴，∵，∴；（2）解：如图，点F即为所求；

理由：根据题意得：，∴，，∴，∵，∴，∴，即；（3）解：如图，点G即为所求．

过点G作，分别交于点P，Q，根据题意得：，设点G到的距离为h，∴，∴，由作法得：，∴，，∴，∴，∴，即等于点G到的距离，此时的长等于点G到直线距离之和．（9分）26．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．(1)若是圆的“奇妙四边形”，则是_________（填序号）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如图1，已知的半径为R，四边形是的“奇妙四边形”．求证：；(3)如图2，四边形是“奇妙四边形”，P为圆内一点，，，，且．当的长度最小时，求的值．【解析】（1）解：若平行四边形是“奇妙四边形”，则四边形是正方形．理由∶∵四边形是平行四边形，∴，∵四边形是圆内接四边形，∴，∴，∴平行四边形是矩形，∵四边形是“奇妙四边形”，∴，∴矩形是正方形，故答案为∶③；（2）证明∶过点B作直径，分别连接，，，，∵是的直径，∴，∴，∵四边形是“奇妙四边形”，∴，∴，又，∴，∵，，∴，∴，∵，∴∴；（3）解：连接交于E，设的长度为a，，∵，，∴，∴，∵∴，，∵，∴，∵∴，整理得，∴∴，又，∴，∴a有最小值2，即的长度最小值为2，∴，解得∶，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．（10分）27.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)如图1，点为直线下方抛物线上的一动点，于点轴交于点．求线段的最大值和此时点的坐标；(3)如图2，将抛物线沿着轴向左平移后得到抛物线，若点是抛物线与在轴