高中物理竞赛-话题8：抛体运动的分解和轨道方程

PAGEPAGE1话题8：抛体运动的分解和轨道方程一、抛体运动的分解抛体运动是曲线运动。由于质点在运动中加速度始终为方向竖直向下的重力加速度，因此，抛体运动是匀变速曲线运动。又因为抛体运动中抛射物始终运动在初速度与重力加速度所决定的平面内，所以抛体运动是一个平面运动。运动方程很容易由方程类似给出：其中、分别为质点在刚抛出时的位矢和速度。若把抛出点作为坐标原点，则。根据运动叠加原理，可以把抛体运动看作由两个直线运动叠加而成，即把一个曲线运动分解成两个直线运动的叠加来讨论。通常采用两种分解方法：速度为匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动。以抛射点为坐标原点，在抛射平面(竖直平面)内建立直角坐标系，再把前面方程)中各矢量沿、轴方向分解。如果在抛射平面内分别取水平方向和竖直向上方向分别为、轴方向，那么抛体运动方程的分量形成为：这表示，抛体运动可以看成：沿水平方向的速度为的匀速直线运动和沿竖直向上方向的初始为、加速度为的匀变速直线运动(即竖直上抛运动)。式中为初始抛射角。如果在讨论沿斜面向上(或向下)抛掷物体的抛体运动时，通常令直角坐标的、轴分别指向沿斜面向上(或向下)和垂直于斜面向上的方向更为方便。此时，、方向的运动均为匀变速直线运动，它们在、方向的分运动方程分别为：方程中，正号为沿斜面向下抛掷，负号为沿斜面向上抛掷。以上三种情况，分别示于下图、、。上面给出的是抛体运动的运动学方程，这些方程包含了抛体运动的全部信息。一切待求的物理量均可从这些方程获得。例如：在图中，欲求抛射体射程，可以从方程中，取时的值，得到若要进一步求确定值时的最大射程以及相应的抛射角，从表达式易得在图中，欲求沿斜坡方向抛射体的射程，可以从方程中，取时的值，得到若要进一步求为确定值时的最大射程以及相应的抛射角，可以通过数学方法得到。对表达式中含有的因子作积化和差变换易知，当满足时，取最大值相应的角为在图中，欲求沿斜坡方向抛射体的射程，也可以从方程中，取时的值，得到若要进一步求为确定值时的最大射程以及相应的抛射角，与中同样处理，得相应的角为在图中，欲求抛射体所达最大高度，可以从方程中，取时的值，得到在图中，若抛射体与斜面经无能量耗损的完全弹性碰撞后从原路返回抛射点，欲确定图中与斜面倾角应满足的关系，可以根据抛射体抵达斜面上落地点的运动特点：和，再利用方程中相应的两个方程，消去时间得到这个结论与初速度大小无关。二、抛体运动的轨道方程有时，我们关心的是轨道方程，尽管轨道方程包含的信息没有运动方程所含信息多，因为它没有给出物体何时在何处。在讨论轨道方程时，通常采用前图中坐标。利用方程，联立消去时间，得到轨道方程：在抛射速度和抛射角确定的情况下，这个方程给出了与的关系，即给出了一条轨道。但是，从更广泛的意义上来看，这是一个含有个参量的方程．为了准确理解这个方程，我们作一些与解题关系密切的讨论：设抛射点为坐标原点，抛射初速度大小已知，而为竖直抛射面内的一确定点[这里，而既可以大于零，也可以小于零，还可以等于零(属于图的情况)]，假定这一点能被击中，我们来看一看，此时抛射角为何值?为此，把前方程改写为、解出：通常，有两个解，这说明在此情况，同一个抛射体可以用两个不同的抛射角和均能击中点。我们把此结论示于图，而图作为时的对照。图中射程由前表达式给出。设和为同一射程的两个抛射角，显然有关系那么在图中，和应满足什么关系呢?在现在的情况下，已知，由方程得到两个抛射角和，对应于图中两条抛物线，而点是这两条抛物线共同经过的一个点。在这个意义下，两个解和均满足方程轨道方程，因此，得到其中为在抛射点所看到的点的视角(仰视角为正，俯视角为负)，在此。若为负，则值也为负。最后得到当时，显然是正确的。这个关系式在解题中很有用。、我们再来看图，在一定的条件下，最大射程给出此时。一般情况下，一个射程对应于两个互不相等的抛射角和。如果射程不变，能达射程的最小值为多大?显然而且此时的抛射角必为。与此类似，我们看图。如果大小一定，击中点一般有两个抛射角，那么击中点的最小值就是。时，对应的值可以由方程得到或其中显然的表达式是相同的。、我们对方程重新整理，改写为此式表示，当抛射体初速和击中点坐标一定时，若抛射角满足得极大值这个结论具有实际意义。例1、如图，一人离墙距离处踢一足球，若足球初速为定值，可以由此确定击中墙上可能的最高高度。我们进一步思考这个问题。若墙换成一个竖直放置的大平板(设此平板与抛射面垂直)，足球的初始速度大小和抛射点保持不变，大平板所在坐标可以调节，即可变，那么根据式，每个可能的必给出平板上相应的一个最高高度。由此给出的与的关系式就是表达式，改写为例2、在离墙靶距离为的地上用枪射击，子弹初速度为，墙靶上标有一根离地面高的水平线。为使每次枪弹击中墙靶上水平线，则应要求枪在墙上的瞄准点满足什么条件？为使枪弹击中墙上的位置高于水平线，要求枪在墙上的瞄准点又满足什么条件？解：如图所示，建立坐标系，点为枪发射点，轴垂直墙面(平面)，轴与墙交点。，轴竖直向上，轴与墙面平行，并水平指向。抛体运动原本是在通过抛射点的一个竖直平面内的平面运动，它可以用两个直线运动描述。本问题讨论的是子弹在通过抛射点的不同竖直平面内的运动，必须在三维空间中加以讨论。每次抛射，但是子弹仍在一个平面内运动。任意取一个过点的竖直抛射平面，与地面交线取作轴，它与墙面交点，，如图中所示。若墙上瞄准点为，子弹击中墙平面上直线上的点。设点坐标为，因墙平面上各点的坐标均为。题中要求写出满足条件的与之间的函数关系。我们把子弹的抛体运动分解为以速度为的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动，且子弹击中直线上的点。利用子弹匀速地从点到点的时间等于从点自由落体到达点的时间，写出方程即将此式两边平方，再整理得到这就是为击中墙上水平线，要求枪在墙上的瞄准点所满足的关系。这是一个圆方程，圆心坐标为，圆半径为如图中画出墙平面上的直线和瞄准点构成的圆。不难看出：一般情况下，同一个击中点，对应有两个瞄准点和，即对应两个抛射角。因此，为使墙上击中点高于直线，在初速度相同的情况下，其瞄准点应落在圆的内部。当子弹初速度、墙与发射点距离、墙平面上直线高度一定时，子弹只能击中此水平线的一部分，即从点到点一段，两点连线为一直线。瞄准点圆半径必须满足相应地，不能太小。代入的表达式，确定的条件为例3、一辆汽车沿水平公路以速度无滑动地运动，如果车轮半径为，试求车轮抛出的水滴上升的最大高度和抛出点的位置。解、汽车以速度前进，车轮轴的速度也就是，这是相对地面来说的，如果将坐标轴连在车轮的轴上，则车轮边缘的线速度相对轮轴来说就是。而相对地面来讲，则要和轮轴对地面的水平速度矢量相加。设水滴自抛出。则抛出速度的竖直分量为，如图所示，则水平速度抛出点离地的高度为水滴上升的高度和竖直方向的分运动有关，设水滴上升的最大高度为，由此可见，水滴上升达到的最大高度和有关，也就是和水滴抛出时车轮边缘上的位置有关，车轮边缘上不同位置的水滴抛出后，可能达到的最大高度也是不同的。整理上式得解出和的关系要保证有意义，得满足两个条件：第一个条件是根式应是非负实数，即也就是不可能过大，最大高度应满足说明不论水滴的位置如何，的最大可能值均由上式决定。第二个条件是，要满足这一条件，须分几种情况讨论。,在这种情况下，只有才可能有意义，但当根式等于零时，即时无意义。要使最大，只有当足够小，小到时，得,.,在这种情况下，均可能有意义，取正号解得的最大值是使，,而将代入和的关系，即可得的坐标，即坐标为例4、求应该与水平方向成多大角度抛出石头，才能使整个飞