2024届辽宁省县级重点高中协作体高三上学期末考试数学及答案

高三考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1Ax2xBx2x0AB1.已知集合，，则（）2,02D.A.B.C.zi32，则z（2若复数）A.3B.D.3C.3313.已知抛物线C:yx2的焦点为F，则点F到抛物线C的准线的距离是（）211A.B.C.1D.242中，，则数列的公比是（）a3212a4.在正项等比数列nn1A.4B.2C.1D.25.已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（A.22B.21C.21D.226.甲､乙相约从同一地点同时出发，同向围着一个周长是200米的圆形跑道跑步，甲每秒钟跑2.5米，乙每秒跑3.5米，则“甲､乙相遇”是“甲､乙都跑了400秒”的（））A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件f10f9f8f0f1f107.已知函数yfx1为奇函数，则（）第1页/共4页A.20B.10C.21D.11y28.已知点F是双曲线1:x21的上焦点，M是1下支上的一点，点N是圆4C2:x2y24x30MFMN上一点，则的最小值是（）A.7B.6C.5D.421二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l:x3y40与圆C:x2y22x23y120，则（）2πA.直线l的倾斜角是3B.圆C的半径是4C直线l与圆C相交D.圆C上的点到直线l的距离的最大值是710.已知甲运动员的投篮命中率是0.8，乙运动员的投篮命中率是0.9，甲､乙投篮互不影响.若两人各投篮一次，则（）A.都没有命中的概率是0.02B.都命中的概率是0.72C.至少一人命中的概率是0.94D.恰有一人命中的概率是0.18ππx,x06πfx11.已知函数,(0)恰有5个零点，则的值可能为（）πsinx,0x631125A.4B.5C.D.24ABCDAA，BC的中点，则（112.如图，在棱长为6的正方体中，E，F分别是棱）1111第2页/共4页1D1平面A.πB.异面直线CD1与EF所成的角是6302929B1C.点到平面的距离是195251ABCD所得图形的周长为131D.平面截正方体11122三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.3,4m__________.ab13.向量，，若ab，则14.5名学生的期中考试数学成绩分别为98,120,105,110,m，若这5名学生成绩的第60百分位数为111，m则__________.fxex3x图象上的任意一点，直线，则点A到直线的距离的l:2xy9015.已知点A是函数最小值是__________.l1ax15fxx16.已知函数2,4a在4上为单调函数，则的取值范围为__________.2四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.abcabcac017.在中，角,B,Ca,b,c的对边分别是，且.（1）求角B的大小；（2）若b23,c2a，求的面积.18.如图，在四棱锥P中，PA平面ABCD，四边形ABCD是菱形，E是棱的中点.（1）证明：.AB,60夹角的余弦值（2）若，求平面与平面.19.镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从[30，40[40，50[50，60第3页/共4页[60，70[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这10颗板栗中随机抽取4颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为X，求X的分布列与数学期望.1f(x)axx2(ax20.已知函数2（1）当a1时，求f(x)的最小值；（2）若关于x的不等式f(x)0恒成立，求a的取值范围．满足，a11an1ann21.已知数列.n（1）求的通项公式；an（2）求的前项和Snan.n与定点的距离和它到直线x4的距离的比是常数1，点Mx,yF1,0M的轨迹为C.22.动点2（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）若过F的直线l与C交于,B两点，点P是C上一点，m的最大值为，最小值为，且nm2n2AF,,BF成等比数列，求l的方程.2第4页/共4页高三考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1Ax2xBx2x0AB1.已知集合，，则（）A.2,02D.B.C.【答案】D【解析】【分析】分别计算出集合A、B后，由交集定义运算即可得.xx0，1，即x0，故A【详解】由2x，由2x0，即x2，故Bxx2ABx0x则.故选：D.2.若复数zi32，则z（）A.33B.C.3D.3【答案】B【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则求解z，再由共轭复数的定义求z.zi2i23，所以z3.3【详解】因为故选：B.第1页/共18页123.已知抛物线C:yx2的焦点为F，则点F到抛物线C的准线的距离是（）11A.B.C.1D.242【答案】C【解析】【分析】根据抛物线标准方程的相关知识直接求解.2yp1，则，【详解】由题意可知，抛物线C的标准方程为1.x2即点F到抛物线C故选：C的准线的距离是中，，则数列的公比是（）a3212a4.在正项等比数列nn12A.4B.2C.1D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列通项公式列方程求公比即可.【详解】设数列的公比是，则qanaq2aaq.1121a0n22q，解得q1q20q=2或q1（舍去）.q因为，所以，则故选：B5.已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（）A.22B.21C.21D.22【答案】A【解析】【分析】设圆锥的底面半径，确定母线长，求出侧面积和表面积即可求得答案.【详解】由题意可得轴截面是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为r，则其母线长为1S2r2r2r22r，从而该圆锥的侧面积.12SSr221r2表面积，211S22r222.故21r2故选：A.第2页/共18页6.甲､乙相约从同一地点同时出发，同向围着一个周长是200米的圆形跑道跑步，甲每秒钟跑2.5米，乙每秒跑3.5米，则“甲､乙相遇”是“甲､乙都跑了400秒”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据已知条件及充分必要条件的定义可得结果.【详解】因为乙每秒比甲每秒多跑1米，所以当甲､乙都跑了200秒时，乙比甲多跑了200米，甲､乙第一次相遇.当甲､乙都跑了400秒时，乙比甲多跑了400米，甲､乙再次相遇.所以“甲､乙相遇”是“甲､乙都跑了400秒”的必要不充分条件.故选：C.f10f9f8f0f1f107.已知函数yfx1为奇函数，则（）A.20B.10C.21D.11【答案】C【解析】yyfx1f，进而得到2S221，求出答案.fxx2【分析】根据【详解】因为为奇函数，得到为奇函数，所以1fx，fx1fx1fxfx2，即Sf10f9f8f10，令则Sf10f9f8f10，两式相加得所以2S221，即S21.故选：C第3页/共18页y28.已知点F是双曲线1:x1的上焦点，M是1下支上的一点，点N是圆24C2:x2y24x30MFMN上一点，则的最小值是（）A.7B.6C.5D.421【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.【详解】由圆C2:x2y24x30(x2)22可化为，，半径为1，y1，则C2,02F1CF5的下焦点，则1因为是114由双曲线定义可得，4CF146所以，121C,N,F,M6当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是.21故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l:x3y40与圆C:x2y22x23y120，则（）2πA.直线l的倾斜角是3B.圆C的半径是4C.直线l与圆C相交D.圆C上的点到直线l的距离的最大值是7【答案】BCD第4页/共18页【解析】【分析】对于A：求出直线l的斜率即可得倾斜角；对于B：求出圆的标准式即可；对于CD：求出圆心到直线的距离即可判断.3435π3y40，即yx，A错误；【详解】直线l:x，斜率为，则倾斜角是333623，半径为4，正确；y22x23y120，即x12y316，圆心为B圆C:x2134圆心C圆C到直线l的距离d34lCC，则直线与圆相交，故正确；13347上的点到直线的距离的最大值为l，则正确.D故选：BCD.10.已知甲运动员的投篮命中率是0.8，乙运动员的投篮命中率是0.9，甲､乙投篮互不影响.若两人各投篮一次，则（）A.都没有命中的概率是0.02B.都命中的概率是0.72C.至少一人命中的概率是0.94D.恰有一人命中的概率是0.18【答案】AB【解析】【分析】由对立事件的概率计算甲乙不中的概率，利用独立事件的概率求解判断选项A，B；利用对立事C件的求解判断选项；甲中乙不中和甲不中乙中两种情况求解可判断选项D.【详解】都没有命中的概率为10.810.90.02，A正确；都命中的概率为0.80.90.72，B正确；110.810.90.98C错误；至少一人命中的概率为恰有一人命中的概率为，0.810.910.80.90.26，D错误.故选：.ππx,x06πfx11.已知函数,(0)恰有5个零点，则的值可能为（）πsinx,0x63第5页/共18页112254A.4B.5C.D.【答案】BC【解析】π6πy=cosx,x0的零点个数，再利用【分析】先利用余弦函数的图像性质求得π6πy=sinx,0x的零点个数列出关于的取值范围3的值可能值.ππππx,0x,【详解】由，得.666ππycosx,函数在上的零点个数为2，66又因为函数恰有5个零点，fxπ6πysinx在上的零点个数为3.3所以函数π3ππππxx,由，得，6663ππ17423则π4π，解得.364故选：BC12.如图，在棱长为6的正方体ABCDAA，BC的中点，则（1中，E，F分别是棱）11111D1平面A.πB.异面直线CD1与EF所成的角是6第6页/共18页302929B1C.点到平面的距离是195251ABCD所得图形的周长为131D.平面截正方体11122【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、点到面距离公式，结合正方体的性质逐一判断即可.【详解】如图，以A为坐标原点，AB,AD,AA的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直1角坐标系．因为所以6，所以BCDDEF0)，11BD(6,6,6),CD(6),EF(6,3,DE(0,．1111n(x,y,z)，设平面的法向量为nEF6x3y3zx3则令，得n4)．nDE6y3z1BDn因为所以，1BD11不垂直，则A错误．与平面设异面直线CD1与EF所成的角为，3π则cosCD,，从而，故B正确．162BEBE(6,0,连接，因为，11BEn18123029B11所以点到平面的距离是，则C正确．1n2929第7页/共18页AB,CCAM2，1CN，分别在棱上取点M，N，使得1,FN,ND,DE,EM连接．111ABCD11所得图形为五边形．可知平面截正方体11135215由题中数据可得13,FN,ND,DE35,EM5，1121ABCD所得图形的周长为1111则平面截正方体351595251335513，故D正确．2222故选：BCD【点睛】关键点睛：本题的关键是根据正方体的性质得到截面的形状.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.3,4m__________.ab13.向量，，若ab，则【答案】6【解析】【分析】由已知ab，可得ab0，根据向量的坐标运算求解即可.【详解】由已知ab，所以ab0，可得2m340，解得m故答案为：6.6.14.5名学生的期中考试数学成绩分别为98,120,105,110,m，若这5名学生成绩的第60百分位数为111，m则__________.【答案】112【解析】【分析】由百分位数的定义求解即可.【详解】由53，将成绩从小到大排列，得第60百分位数为第三个成绩和第四个成绩的平均数，m110111，解得m.所以2故答案为：112第8页/共18页fxex3x图象上的任意一点，直线l:2xy90，则点A到直线的距离的l15.已知点A是函数最小值是__________.【答案】25【解析】l:2xy90fxex3x到直线l:2xy90的距离，从而可求解。【详解】因为fxex3xfxex3，所以.令fxex32，得x0，则A0,1，19故点A到直线l:2xy90的距离d25.1222故答案为：2514fxxax1516.已知函数,42a在上为单调函数，则的取值范围为__________.21142,【答案】【解析】1ax15在,414hxx2在hx,4上为4增函数、减函数两种情况讨论，结合0hxa可求得实数的取值范围.ylog2x上单调递增，在【详解】因为函数1ax15在,4所以函数hxx2上为单调函数.4a4142当在，解得a8；hx,4,4上为单调递增函数时，则111ha1504164a141112当在，解得.hx2a上为单调递减函数时，则44h4164a150第9页/共18页1142综上，a的取值范围为,.1142,故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.abcabcac017.在中，角,B,Ca,b,c的对边分别是，且.（1）求角B的大小；（2）若b23,c2a，求的面积.π【答案】（1）B3（2）23【解析】1）由余弦定理解出即可.1SsinB（2）由已知求出各边的长度，再用面积公式【小问1详解】求解.2因为abcabcac0，所以a2c2b2ac，a2c2b212所以B.2acπ0BπB因为，所以.3【小问2详解】c2a，所以bacaca2.因为222因为b23，所以a2，ac2a4则故113的面积SacsinB242322218.如图，在四棱锥P中，PA平面ABCD，四边形ABCD是菱形，E是棱的中点.第10页/共18页（1）证明：.AB,60（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析1（2）7【解析】1）根据题意证明线面垂直进而证明线线垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，结合面面角的向量求法进行计算求解即可.【小问1详解】AC.连接因为四边形ABCDBDAC，是菱形，所以因为PA平面ABCD，且BD平面ABCDPABD，所以，,ACAPAC,，所以平面因为因为平面【小问2详解】平面，且，所以ACBDO，连接记，ABCD是菱形，所以因为四边形，ABCD，且OC,ABCD⊥PAOC,PAOD，所以，因为PA平面平面E,OPC,的中点，所以//，所以OC,⊥，因为分别是所以OC,OD,两两垂直，x,y,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，故以O为坐标原点，OC,OD,的方向分别为第11页/共18页设AB2，则1,0,2，A1,0,0,B3,0,C1,0,0,D3,0,E0,1,PAB3,0,AE0,1,CD3,0,CP2,0,2.故nx,y,z，1设平面的法向量为11nx3y011令x3，得n3，则1nxz011mx,y,z，2设平面的法向量为22mCDx3y22令23，得m3，则mCP2x2z22π20设平面与平面的夹角为，nm3137717coscosn,m则，nm1即平面与平面夹角的余弦值为719.镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从[30，40[40，50[50，60[60，70[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这10颗板栗中随第12页/共18页机抽取4颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）57.58（2）分布列见解析，5【解析】1）先通过分析确定中位数在60内；再设中位数为m，列出方程求解即可.（2）先根据分层抽样确定从质量在50内的板栗中抽取颗，从质量在670,80内的板栗中抽取4颗；再写出X的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案．【小问1详解】因为0.0080.018100.260.5，0.260.032100.580.5所以该板栗园的板栗质量的中位数在60内．m设该板栗园的板栗质量的中位数为，则m500.0320.260.5，解得m57.5，所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．【小问2详解】0.0180.0180.012由题意可知采用分层抽样的方法从质量在40,50内的板栗中抽取10颗，从质量在60.01270,80内的板栗中抽取104颗．0.0180.012X的所有可能取值为2,3,4．C4641C36CC148024,PX1，，PXC144102110C26C243C16C44343PX,PXC1047C3510C441．PXC4210从而X的分布列为X01234第13页/共18页183741P21352103184185EX01234故．1421735(ax2101f(x)axx220.已知函数2（1）当a1时，求f(x)的最小值；（2）若关于x的不等式f(x)0恒成立，求a的取值范围．12f(x)min【答案】（1）12,（2）【解析】1）由题意写出函数解析式，利用导数研究其单调性，求得其最值；（2）根据函数解析式求得导数，结合分类讨论思想，可得答案.【小问1详解】11x121时，f(x)xx2f(x)x当a，则2xx，得f(x)0x1，由f(x)00x1，由，得)则f(x)(上单调递减，在上单调递增，1f(x)f故．2【小问2详解】a(xxa)f(x)x(a由题意可得．xx，得当a0时，由f(x)0，得x1，由f(x)00x1，)则f(x)(上单调递减，在上单调递增，11f(x)f(aa故．2211a因为不等式f(x)0恒成立，所以a0，解得a1a0，不符合题意．．2211a0f时，当22第14页/共18页1,综上，a的取值范围是．2满足，a11an1ann21.已知数列.n（1）求的通项公式；an（2）求的前项和anS.nn31n,为奇数232a【答案】（1）nn为偶数22n1,为奇数4S（2）nn2,为偶数4【解析】1an1n13n2求解即可；n1n1nnn为偶数时，奇数项和偶数项分别为（2为奇数时，奇数项有项，偶数项有222组求和即可.【小问1详解】aannanan1n3n2因为，所以，n1两式相减可得，an1n13n2a1aannaa3a2，所以，2因为所以，，所以1n121aaa5，