2024年吉林省白山市高三一模数学试题及答案

2024年白山市第一次高三模拟考试数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x1.设集合Axyx2，Bxx4≤0，则AB（）D.A.2,4B.2,4C.2,42i3，则z的虚部为（B.i2.复数A.2izii）C.2D.23.已知a2，b，若a在向量b上的投影为c，则向量c（）31A.,62B.,31C.,62D.,555555554.2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（）A.300B.432C.600D.8645.“1≤b1”是“方程A.充分不必要条件1x2xb有唯一实根”的（）B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数2axbya2b2aba，b，x，y，满足≥，当且仅当时，等号成立.则函数xyxy31613fx0x的最小值为（）x13xA.16B.25C.36D.497.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（）A.直线与CF是异面直线B.平面ABF平面ABE4263C.该几何体的体积为2D.平面ABE与平面间的距离为3x2y21ab0上存在两点A，B关于8.不与坐标轴垂直的直线l过点Nx,0，x0，椭圆C:00a2b21l对称，线段的中点M的坐标为x,y.若120，则C的离心率为（）131223A.B.C.D.322二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，最终全红婵以总分438.20分夺冠.已知她在某轮跳水比赛中七名裁判给的成绩互不相等，记为xi2,3,4,5,6,7，平均数为x，方差为m.若7i个成绩中，去掉一个最低分和一个最高分，剩余5个成绩的平均值为y，方差为n，则（）A.y一定大于xB.y可能等于xC.m一定大于nD.m可能等于n51510.公差不为零的等差数列a满足68，，则（）nkk196k1A.70B.d4C.124D.602611.已知函数fx2sinx0,0的相邻两对称轴的之间的距离为，函数fx2为偶函数，则（）A.66B.,0为其一个对称中心C.若fx在a,a单调递增，则0a≤61D.曲线yfx与直线yx有7个交点22412.已知抛物线C:y6x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，若M为C的准线上任意2一点，则（）B.的取值范围为A.直线若的斜率为3，则AB1622743C.OAD.的余弦有最小值为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.5sin1013.化简____________.3cos250n114.已知二项式x的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为_______.2x15.在四面体ABCD中，22，23，且满足，ACBC，ADBD.若该三棱86锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为___________.3fxfy，f11，请写出满足条件的一16.已知函数fx的定义域为R，且fxyfxy个fx__________f2024_________.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等比数列a满足12，且2420.n（1）求数列a的通项公式；nn（2）若数列b满足nna，b其前n项和记为S，求S.nnnn318.（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知abCcsinB.3（1）求角B；（2）过B作BDBA，交线段AC于D，且AD2，求角C.19.（12分）如图所示，在矩形ABCD中，AB3，AD2，DE2EC，O为的中点，以为折痕将△ADE向上折至DAEB为直二面角.（1）求证：DOBC；（2）求平面DAB与平面所成的锐角的余弦值.20.（12.合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉.张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷，出现“完美投掷，则记1；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷，出现“不完美投掷，则记0；若1，则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和33休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为.510（1）求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；（2）求张老师当天穿西装的概率.x22y2221.（12分）已知A，B分别为双曲线E:的左、右顶点，M为双曲线E上异于A、1a,b0ab3B的任意一点，直线、MB斜率乘积为，焦距为27.4（1）求双曲线E的方程；（2）设过T4,0的直线与双曲线交于C，D两点（C，D不与A，BAC，的斜率1k2为k，k，证明：为定值.12x1（kgxax1b.22.（12分）已知函数fx（1）若函数fx有两个零点，求实数k的取值的范围；（2）当k0，设函数hxgxfx，若hx在,e上有零点，求ab2的最小值.222024年第一次高三模拟考试数学监测试卷答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.答案：B【详解】∵A，B4，∴AB4；故选B2.答案：D【详解】∵z2i，∴z的虚部为2；故选D.abb2562553.答案：D【详解】∵c,；故选DbbC42C222NA22A22A33A432；故选B334.答案：B【详解】总的方法数为A21xxb有唯一解，即直线yxb与上半圆y1x2有且仅有一个交25.答案：A【详解】方程点，解得b的取值范围为2，∴1≤b1是方程1x2xb有唯一解的充分不必要条件；故选A.2axbya2b2ab6.答案：D【详解】因为a，b，x，y，则≥，当且仅当时等号成立，又xyxy132423423x13x3x13x140x，即13x0，于是得fx≥49，当且仅当，即3x13x131613x时取“=，所以函数的fx0x最小值为49.7x13x7.答案：D【详解】∵A，E，C，F四点共面，直线与CF是共面的；∴A错取中点G，连接EG、FG，则EGF为二面角EABF的平面角，1其余弦值为；B错3183V4222；∴C错2连接AC、设交于O，则OABE为正三棱锥，其底边长为2，侧棱长为2，所以O到平面ABE的6263距离，所求平面ABE与平面间的距离为；D正确3b28.答案：C【详解】设O为坐标原点，在椭圆C中，kk，又klk1，a2b21b21b2122∴kkl即，又x2x10，∴，所以所求离心率为；故选C.a21a210a22二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分）9.答案：BC【详解】七个数据，去掉最高和最低，对平均值可能没有影响，但数据更加集中于平均值，所以方差变小.10.答案：AD【详解】由aa得，aa0，根据等差数列性质知a0，又a0，∴d06868785151115555由，得2，∴d476da7kk196daa616d6d96k11d；故选：AD.所以1581576011.答案：ACD【详解】由题意T，故2，又yfx的图象向左平移个单位得到6y2sin2x，所以Z，且0，故，所以A正确；kk332266661，所以B不正确；因为fx2sin2x，且f2sin36令2k≤2x≤2kk≤x≤k，kZ，故易知fx在,单调递26236增，故0a≤，C正确；61与曲线yfx直线yx均过点,0，且该直线与曲线yfx均关于该点中心对称，22412当x时，y2，当x时，y2，由对称性可知曲线yfx与直线68681yx有7个交点，故D正确.224故选：ABD.2p12.答案：BCD【详解】对于A选项，设的倾斜角为，则AB8；故A错sin2对于B选项，∵以为直径的圆与准线相切，点M在以为直径的圆上或圆外，∴≤，当M在直线上时，∴AMB0；故B正确2122对于C选项，设Ax,y，Bx,y，121y2yyyy，12112221363xty2743设AB:xty，联立2，易得yy9，∴OA，故C正确122y6x2OA2741274对于D选项，2527212x2222xyyt1y2811622743又yyt，∴≥；故D正确.12258181t1652三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案：25sin105sin105sin105sin10【详解】2.1cos1005cos1005sin10350232222214.答案：31296216【详解】∵Cn1Cn245，解得n9，常数项为7C69xx.8215.答案：【详解】将四面体ABCD放在长方体中，根据锥体的体积，易求得，长方体的长宽高分别为23，22和4，所以四面体外接球的直径为6，体积为.16.答案：2cosx；13【详解】令xy0，则f202f0，解得f02或f00，若f00，令x1，y0，则2f1f1f00，即f10与已知矛盾2fy，∴fx为偶函数∴f02，令x0，则fyfy令y1，则fx1fx1fx，可推出，fx以6为周期结合以上特征，找到满足条件的一个函数为fx2x，结合fx以6为周期，则3f2f20241.四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.1）设等比数列的公比为q，由已知，得q3q100（*）0易观察，2是（*）方程的一个根，∴q2q2q52∴q2又12，∴an2n.（2）由（1）知，bnn2nn2n（1）12∴S1222n2Sn12（2）222n2n13Sn12112212nn2n11n2n12（1）-（2）得，∴Snn12n12318.1）由正弦定理得：sinACsinBsinCsinB.3∵ABC，∴sinAsinBC3∴sinBCsinBcosCBsinCcosCsinBsinCsinB33∴BsinCsinCsinB，3又sinC0，∴B3，又A为三角形内角，∴A.312（2）因为D在AC边上，且AD2，所以BA.332132因为BDBA，所以BDBA0BABCBA020，3所以c2acca.2在△ABC中，ca，B，∴C.3619.（1）证明：由已知DADE2，且O为线段的中点，∴AE又平面平面，且平面平面AECBAE，平面DAE∴平面，又BC平面，∴DOBC.（2）设F为线段上靠近A的三等分点，G为的中点，由已知，又平面∴DOOF，ODOG，以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示坐标系∵2，AB3，∴A1,0，B2,0，D2，E0，C2,0∴AB0,3,0，2，0，DC1,2,2，设平面ADB的法向量为mx,y,z1113y01m0则，即m0x212101不妨令z2，则m21同理，平面的法向量mn13n2,0,2，,nmn13所以平面DAB与平面所成的锐角的余弦值为20.1）随机变量的取值为0，1.243623123613P0，P所以的分布列为：01213P32131E01.33121123229D10333（2）设A表示深色，则A表示穿浅色，B表示穿西装，则B表示穿休闲装.123根据题意，穿深色衣物的概率为PA，则穿浅色衣物的概率为PA，333穿深色西装的概率为PBA0.6，穿浅色西装的概率为PBA，510132325则当天穿西装的概率为PBPBAPAPBAPA.353102所以张老师当天穿西装的概率为.5，Aa,0，Ba,0，21.1）设Mx,y00xab2202x20y202∵∴1，∴y20，a2ba2b2x202ay0y0ab2342kk，x20a2a20a0a又∵焦距为27，可得2c27，则2c7，结合a2b2c2，∴a24，b3，2x2y2∴双曲线E的标准方程为：1.43（2）证明：由（1）知A2,0，B2,0，设Cx,y，Dx,y.2112因为C，D不与A，B重合，所以可设直线CD:xty4.22xy1与E联立：4，3xty4消去x整理可得：t4yty360，222故t，t25760，3t36t3yy，yy，1y23