二项式定理性质

这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的

，其中（r=0,1,2,……,n）叫做

，

叫做二项展开式的通项，用Tr+1

表示，该项是指展开式的第

项，展开式共有_____个项.展开式二项式系数r+1n+1二项式定理

前课复习第1页/共16页1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)61112113311464115101051(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn……表中的每一个数等于它肩上的两数的和这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”第2页/共16页二项式系数的性质

（1）对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：第3页/共16页2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，课堂练习1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是()A第２项B第３项C第４项D第５项则n=__________B6第4页/共16页先增后减n是偶数时，中间的一项（第项）的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间的两项（第项）的二项式系数和相等，且同时取得最大值。（2）增减性与最大值

二项式系数的性质

16152015611112113311464115101051第5页/共16页例1、已知的展开式中只有第10项的二项式系数最大，求第五项。

依题意，为偶数，且解：第6页/共16页1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为

；在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为

.2.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数是（）

A.4032B.-4032C.126D.-126C3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。最大的系数呢？课堂练习462C611=第7页/共16页（3）各二项式系数的和

在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：这是组合总数公式．

二项式系数的性质

赋值法第8页/共16页例2.的展开式的各项系数和为____解：设展开式各项系数和为1注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为1∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，

(2-1)n=∴=（2-1）n=1例题讲解第9页/共16页例3、证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：＝２n-1证明（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…

+Cnran-rbr+…+Cnnbn令a=1,b=-1得特例法赋值法第10页/共16页课堂练习第11页/共16页-2-10941093课堂练习第12页/共16页例4.设二项式展开式的各项系数的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开式的常数项为_________．108n=4例题讲解第13页/共16页解:设项是系数最大的项,则例题讲解第14页/共16页（1）

二项式系数的三个性质:

（2）

数学思想：函数思想。二项式系数之和:

最值:（3）

数学方法：赋值法、递推法当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知,它的后半部是逐渐减小的。当n是偶数时，中间的一项取得最大时；